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1、我国著名数学家华罗庚教授在其数学的用场与发展中指出: “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”我们先看下面几个具体问题：我们先看下面几个具体问题：(1)如果正方形的边长为如果正方形的边长为a， 那么正方形的面积那么正方形的面积 (2) 如果立方体的边长为如果立方体的边长为a，那么立方体的体积，那么立方体的体积(3) 如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方，那么这个正方形的边长形的边长S=a2，这里，这里S是是a的函数；的函数；V=a3，这里，这里V是是a的函数；的函数；12aS,这里这里a是是S的函数；的函数；想一想
2、想一想这些函数有什么这些函数有什么 共同的特征？共同的特征？它们有以下共同特点：它们有以下共同特点：(1)都是函数；都是函数；(3) 均是以自变量为底的幂；均是以自变量为底的幂；(2) 指数为常数指数为常数. 一般地，函数一般地，函数y=x叫做叫做，其中，其中x x是是自自变量变量，是是常数常数. .幂函数中幂函数中的可以为任意实数的可以为任意实数.注意注意: :议一议议一议: :幂函数与指数函数共同点与不同点是什么幂函数与指数函数共同点与不同点是什么? ? 式子式子 名称名称 a x y指数函数指数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值
3、幂值幂函数与指数函数的对比幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数看看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数1.判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 21)2(xy (3) y= -x2 21)4(xy (5) y=3x2 (6) y=x3-2 2.2.若幂函数若幂函数y=f(x)的图象过点的图象过点 , ,则函则函数的解析式为数的解析式为_ _ (2,2)yxxxx在同一平面直角坐标系内作出幂函数在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=xy=x，y=xy=x2 2，y=xy=x3
4、3，y=xy=x1/21/2，y=xy=x-1-1的图象的图象. .打开几何画板(-,0)减减(-,0减减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共点公共点(0,+)减减增增增增0,+)增增增增单调性单调性奇奇非奇非非奇非偶偶奇奇偶偶奇奇奇偶性奇偶性0,+)R0,+)R值域值域0,+)定义域定义域y=x-1y=x3y=x2y=x 函数函数性质性质常见幂函数的性质常见幂函数的性质12yx|0 xx R x且|0yy R y且(1)幂函数的幂函数的图象都通过点图象都通过点(2) 如果如果， 在在 区间区间0,+)上是上是 如果如果a， 在区间在区间(0,+)上是上是 当当为偶数时，为偶
5、数时， 幂函数为幂函数为探究：幂函数的性质探究：幂函数的性质增函数增函数减函数减函数(3) 当当为奇数时，为奇数时， 幂函数为幂函数为奇函数奇函数偶函数偶函数；(1,1)打开几何X y110y=x2y=x3y=x1/2X y110y=x-1y=x-2y=x-1/2a 0a 0 （1）图象都过（）图象都过（0，0）点和）点和 （1，1）点；）点；（2）在第一象限内，函数值）在第一象限内，函数值 随随x 的增大而增大，即的增大而增大，即 在在0，+)上是增函上是增函 数。数。 （1）图象都过（）图象都过（1，1）点；）点；（2）在第一象限内，函数值随）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在
6、的增大而减小，即在 （0，+）上是减函数。）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。轴无限接近。2xy xy 3xy 1 xy21xy 例一、例一、 比较大小：比较大小： （1）1.53/5 1.73/5 （2）0.71.5 0.61.5 （3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2例二、求下列函数的定义域：例二、求下列函数的定义域： （1）y = (2x+5)1/2 （2）y = (x-3)-1/5(1)解解:y = 52 xx-5/2函数函数y = (2x+5)1/2 的
7、的定义域为定义域为 -5/2，+) .解解：y = 531x解不等式解不等式 x 3 0得得X 3 函数函数y=(x-3)-1/5的定的定义域为义域为(-,3)(3,+).(3,+).解不等式解不等式2x+50 得得例比较下列各组数的大小例比较下列各组数的大小: :3(1)()3和 (-3)1122(2)3 3.1 和1.41.5(3) 3 5和11331122(1) 1.5 1.7(2) 4.1 3.8练习:比较下列各组数的大小。和和练习 将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。1-121-1-4-224642-2-4-6-4-224642-2-4练习 幂函数 在第一象限的图象如图所示，试比
8、较m、n、p的大小。mxy nxy pxy -4-2246642-2-4m mn np p642-2-4-4-2246n np pm mn练习、给定函数解析式：n则图象关于y轴对称的函数是；n则图象关于原点对称的函数是；n则互为反函数的两个函数是。233323213132213231)10( ;)9(;)8( ;)7( ;)6( ;)5(;)4( ;)3( ;)2( ;) 1 (xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy例例2、 xxx的范围求若,)23()1(2121解解:考虑函数考虑函数21xy 在在0,+)上为单调增函数上为单调增函数由条件有由条件有10320132xxxx解得：解得：32
9、1x改为：改为：() （）n例3：已知幂函数 f(x)= 为偶函数且在区间 上是单调减函数，n（1）则函数解析式是；n（2）讨论函数g(x)= 的奇偶性)(322Zmxmm,0)()(xxfbxfa例例 3. 3.证明幂函数证明幂函数 在在0,+)0,+)上是增函上是增函数数( )f xx证明：任取证明：任取x1,x2 0,+)，且，且x1x2，则，则1212()() f xf xxx12120,0,xxxx因为1212xxxx121212()()xxxxxx12( )( ),( )0,).f xf xf xx所以即幂函数在上是增函数小小 结结(1) 幂函数的定义；幂函数的定义；(2)(3)
10、利用幂函数的单调性判别利用幂函数的单调性判别幂函数值幂函数值大小大小 一般地，函数一般地，函数y=x叫做叫做，其中，其中x x是是自自变量变量，是是常数常数. .掌握幂函数掌握幂函数 的图象和性质的图象和性质21132,xyxyxyxyxy课堂小结：课堂小结：1. 幂函数的定义幂函数的定义2. 幂函数的定义域幂函数的定义域3. 幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质课后作业：课后作业：1.比较大小：比较大小：（1）0.53/50.493/5 （2）8.1-1/58.01-1/5（3）(3/5)- 5(4/5)- 5 （4） 2.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1） （2）xy3132)52(xy331341 习题习题3.3