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1、关于二次函数的图象和性质PPT第一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月二次函数二次函数二次函数的图象二次函数的图象二次函数所描述的关系二次函数所描述的关系实际问题情景实际问题情景二次函数的定义二次函数的定义用多种方式进行表示用多种方式进行表示y=xy=x，y=-xy=-xy=axy=ax，y=ax+cy=ax+cy=a(x-h)+ky=a(x-h)+k，y=ax+bx+cy=ax+bx+c二次函数的对称轴和顶点坐标公式二次函数的对称轴和顶点坐标公式用二次函数解决实际问题用二次函数解决实际问题体育运动体育运动何时获得最大利润何时获得最大利润最大面积是多少最大面积是多少第二张，PPT共三十四
2、页，创作于2022年6月 一般地如果一般地如果 , , 那么那么Y Y叫做叫做x x的二次函数的二次函数. . Y=ax+bx+c(abc是常数是常数,且且a0)1-2-3 2.2.二次函二次函y=3x+2xy=3x+2x中中a=_,b=_,c=_ a=_,b=_,c=_ 32040 -7 1.1.二次函数二次函数Y=x-2x-3Y=x-2x-3中中a=_,b=_,c=_a=_,b=_,c=_一一. .二次函数的定义：二次函数的定义：3.3.二次函数二次函数y=4x-7y=4x-7中中a=_,b=_,c=_a=_,b=_,c=_4.4.当当m= m= 时，时，y=(m+2)xy=(m+2)xm
3、 m2 2+3m+2+3m+2是二次函数，是二次函数， -1 第三张，PPT共三十四页，创作于2022年6月x性性质质图象图象 a0a a的符号的符号开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标增减性增减性最值最值二二. .二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质开口向上开口向上开口向下开口向下abx2abx2ab2( ， )abac442ab2( ， )abac442 当当 时时, y有最小值为有最小值为abac442abx2abac442 当当 时时, y最大值为最大值为abx2 当当 时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小; ;当当 时，时，y y随随x x的的增大而增大增大而
4、增大. .abx2abx2 当当 时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大; ;当当 时，时，y y随随x x的的增大而减小增大而减小. .abx2abx2第四张，PPT共三十四页，创作于2022年6月三三. .二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：y=ax+bx+c(a0)y=ax+bx+c(a0)类型类型y=a(x-h)+k(a0)y=a(x-h)+k(a0)y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0)(a0)一般式一般式顶点式顶点式交点式交点式对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标最大最大(小小)值值abx2hx 221xxx)44,2(2abacab),(
5、khabacyabx4422当当 时时, , 最值最值化成一般式求化成一般式求化成一般式求化成一般式求当当 时时, , 最值最值y=khx 第五张，PPT共三十四页，创作于2022年6月1.1.二次函数二次函数y=2(x-3)+7y=2(x-3)+7的图象顶点坐标是的图象顶点坐标是，对称轴是对称轴是2.2.二次函数二次函数y=3(x+1)-5y=3(x+1)-5顶点坐标是顶点坐标是，对称，对称轴是轴是3.3.抛物线抛物线y=x2+2x-4y=x2+2x-4的开口方向是的开口方向是 , ,对称轴对称轴 是是 , , 顶点坐标是顶点坐标是 . . 4.4.已知二次函数已知二次函数y=x2-6x+m
6、y=x2-6x+m的最小值是的最小值是1, 1, 那么那么m m的值是的值是 . . (3,7)X=3(-1,-5)X=-15.5.请你写出一个二次函数请你写出一个二次函数y yaxax2 2bxbxc c，使它同时具有，使它同时具有如下性质：图象关于直线如下性质：图象关于直线x x1 1对称；当对称；当x x2 2时，时，y0y0；当；当x x2 2时，时，y y00 a0ab0 c0 与与y y轴正半轴相交轴正半轴相交与与y y轴负半轴相交轴负半轴相交 =00与与x x轴有唯一交点（顶点）轴有唯一交点（顶点）与与x x轴有两个交点轴有两个交点与与x x轴没有交点轴没有交点第八张，PPT共三
7、十四页，创作于2022年6月1.1.一次函数一次函数y=ax+by=ax+b与与y=axy=ax2 2-b-b在同一坐标系中的大致图象是在同一坐标系中的大致图象是（ ）x0yx0 xyx0 xyx0yBACDB2. 2. 函数函数y=axy=ax2 2+a+a与与y= y= （a0)a0)在同一坐标系中在同一坐标系中 的大致图象是（的大致图象是（ ）xaDyx0 xy0 x0yx0yABCD做一做做一做: :第九张，PPT共三十四页，创作于2022年6月3.3.二次函数二次函数y yaxax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示，那的图象如图所示，那abcabc，b b2 24ac4ac，2
8、a2ab b，a ab bc c，a ab bc c 这五个代数式中，值为这五个代数式中，值为正数的有（正数的有（ ）A4个个 B3个个C2个个 D1个个yx- -11 4.4.小明从右边的二次函数小明从右边的二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象观察得出下的图象观察得出下面的五条信息：面的五条信息： a a 0 0； c c0 0； 函数的最小值为函数的最小值为-3-3； 当当x x0 0时，时，y0y0； 当当0 0 x x1 1x x2 22 2时，时，y y1 1 y y2 2你认为其中正确的个数有（你认为其中正确的个数有（ ） A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5
9、5 yx02- -3第十张，PPT共三十四页，创作于2022年6月5.5.已知二次函数已知二次函数y yaxax2 2+ +bxbx+ +c c的图象与的图象与x x轴交于（轴交于（x x1 1，0 0）、（）、（x x2 2，0 0），且），且00 x x1 111， 11x x2 2211，3 3a a+ +b b00a a+ +b b22， a a-1-1，其中正确的个数有（其中正确的个数有（ ） (A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个第十一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 抛物线抛物线对称轴对称轴顶点顶点坐标坐标 结论结论 平移
10、平移规律规律五五. .二次函数图象的平移：二次函数图象的平移：y=axy=ax2 2 y=axy=ax2 2 +k+ky=a(x-h)y=a(x-h)2 2 y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k y y轴轴y y轴轴直线直线X=hX=h直线直线X=hX=h(0,0)(0,0)(0,c)(0,c)(h,0)(h,0)(h,k)(h,k)左加右减，上加下减左加右减，上加下减 抛物线抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k与与y=ax2 的形状相同，位置不同，经过的形状相同，位置不同，经过平移后可以互相重合。平移后可以互相重合。 抛物线抛物线y=ax2向左（向左（h0）平移）平
11、移|h|个单个单位位, 向上（向上（k0）、向下（）、向下（k0, 点点A,点点B在原点同侧在原点同侧x1x20,点点A,点点B在原点两侧在原点两侧，原点左侧021 xx原点右侧, 021 xxAOBOxx, 021BOAOxx，021xyoABx1x2ABx1x2ABx1x2ABx1x2六六. .二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：acxxabxx2121,221xxx|aAB=|x1-x2|=第十八张，PPT共三十四页，创作于2022年6月1.根据下列表格中二次函数根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量与函数的自变量与函数值的对应值，判断方程值的对应值，判
12、断方程ax2+bx+c =0（a0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（为常数）的一个解的范围是（ ）x6.176.186.196.20yax2bxc- -0.03- -0.010.020.04A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19C- -0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20做一做做一做: :第十九张，PPT共三十四页，创作于2022年6月O123456781020304050607080h/mt/s (3)(3)何时小球离地面的高度是何时小球离地面的高度是60m60m？：利用图象：解方程604052tt2.2.竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度 h(m) h(
13、m) 与运动时间与运动时间 t(s) t(s) 的关系可以的关系可以 用用公式公式 h=-5t+vh=-5t+v0 0t+ht+h0 0 表示，其中表示，其中 h h0 0(m) (m) 是抛出时的高度，是抛出时的高度， v v0 0(m/s) (m/s) 是抛出时的速度。是抛出时的速度。 一个小球从地面被以一个小球从地面被以40m/s40m/s的速的速度竖直向上抛起，小球的高度度竖直向上抛起，小球的高度 h(m) h(m) 与运动时间与运动时间 t(s) t(s) 的关系的关系如图所示，那么如图所示，那么(1)h(1)h与与t t的关系式是什么？的关系式是什么？(2)(2)小球经过多少秒后落
14、地？小球经过多少秒后落地？tth4052s 8做一做做一做: :第二十张，PPT共三十四页，创作于2022年6月3.3.已知抛物线已知抛物线y yaxax2 22 2x xc c 经过点经过点( (1 1，0)0)、(0(0，3)3)（1 1）求此抛物线解析式，并在直角坐标系中画出这条抛物线求此抛物线解析式，并在直角坐标系中画出这条抛物线XyX X -2 -1 0 1 2 3 4y = =- -X X2 2+2X+3+2X+3-5 03 4 3 0 -5 做一做做一做: :第二十一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月y ax22xc3.3.已知抛物线已知抛物线y yaxax2 22 2x
15、 xc c 经过点经过点( (1 1，0)0)、(0(0，3)3) （2 2）x x取何值时，取何值时，y y 随随 x x 的增大而增大；的增大而增大； x x取何值时，抛物线在取何值时，抛物线在 x x 轴的上方；轴的上方； x x取何值时，取何值时，y y 随随 x x 的增大而减小且的增大而减小且 y y 。 （3 3）利用图象求方程）利用图象求方程 axax2 22 2x xc c5 5 解。解。 做一做做一做: :第二十二张，PPT共三十四页，创作于2022年6月（4 4）若将上题的）若将上题的5 5 改为改为2 2x x1 1，又如何利用图象，又如何利用图象 求方程求方程axax
16、2 22 2x xc c2 2x x1 1的解呢？的解呢？ 并比较并比较axax2 22 2x xc c与与2 2x x1 1的大小。的大小。y ax22xcy 2x-1y1 y2 （3 3）利用图象求方程）利用图象求方程 axax2 22 2x xc c5 5 解。解。 第二十三张，PPT共三十四页，创作于2022年6月xy（5）判断方程）判断方程 的解的个数。的解的个数。 xxx2122第二十四张，PPT共三十四页，创作于2022年6月拓展与应用拓展与应用 已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2bxbxc c与与x x轴相交于点轴相交于点A(-3A(-3，0)0)，对称轴为，对称轴为x
17、=-1x=-1，顶点，顶点M M到到x x轴的距离为轴的距离为2 2，求此抛，求此抛物线的解析式物线的解析式 第二十五张，PPT共三十四页，创作于2022年6月拓展与应用拓展与应用 已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2bxbxc c，其顶点在，其顶点在x x轴的轴的上方，它与上方，它与y y轴交于点轴交于点C(0C(0，3)3)，与，与x x轴交于点轴交于点A A及点及点B(6B(6，0)0)又知方程：又知方程：axax2 2bxbxc c0(a0)0(a0)两根平方和等于两根平方和等于4040(1)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)(2)试问：在此抛物线上是否存在一点试问
18、：在此抛物线上是否存在一点P P，在，在x x轴上轴上方且使方且使S SPABPAB=2S=2SCABCAB如果存在，求出点如果存在，求出点P P的坐标；的坐标；如果不存在，说明理由如果不存在，说明理由 第二十六张，PPT共三十四页，创作于2022年6月1.1.已知圆已知圆P P的圆心在反比例函数的圆心在反比例函数 图象上，并与图象上，并与x x轴相轴相交于交于A A、B B两点两点 且始终与且始终与y y轴相切于定点轴相切于定点C C(0(0，1)1)(1)(1)求经过求经过A A、B B、C C三点的二次函数图象的解析式三点的二次函数图象的解析式; ; (2) (2)若二次函数图象的顶点为
19、若二次函数图象的顶点为D D，问当，问当k k为何值时，为何值时， 四边形四边形ADBPADBP为菱形为菱形第二十七张，PPT共三十四页，创作于2022年6月2.2.已知抛物线已知抛物线 其中其中a a、b b、c c分别分别是是ABCABC的的A A、B B、C C的对边。的对边。4)(22cxbaxy求证：该抛物线与求证：该抛物线与x x轴必有两个交点轴必有两个交点设有直线设有直线y=ax-bcy=ax-bc与抛物线交于点与抛物线交于点E E、F F，与，与y y轴轴交于点交于点M M，抛物线与，抛物线与y y轴交于点轴交于点N N，若抛物线对称轴，若抛物线对称轴为为x=a,x=a,MNE
20、MNE与与MNFMNF的面积之比为的面积之比为5 5：1,1,求证求证ABCABC是等边三角形。是等边三角形。当当S SABCABC= = 时，设抛物线与时，设抛物线与x x轴交于轴交于P P、Q Q，问，问是否存在过是否存在过P P、Q Q两点且与两点且与y y轴相切的圆？若存在轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心坐标；若不存在，请说明理这样的圆，求出圆心坐标；若不存在，请说明理由。由。3第二十八张，PPT共三十四页，创作于2022年6月3.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点的图象过点A(2,4),顶顶点横坐标为点横坐标为 ，它的图象与，它的图象与x轴交于两点轴交于两点B
21、(x1,0),C(x2,0)与与y轴交于点轴交于点D，且，且x12+x22=13。试。试问：问：y轴上是否存在点轴上是否存在点P使得使得POB与与DOC相相似（似（O为坐标原点）？若存在，请求出过为坐标原点）？若存在，请求出过P、B两点的直线解析式；若不存在，请说明理由。两点的直线解析式；若不存在，请说明理由。21第二十九张，PPT共三十四页，创作于2022年6月4.4.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与 x x轴交于不同轴交于不同的两点的两点A A、B,B,点点A A在点在点B B左边左边, ,与与y y轴交于点轴交于点C.C.若若AOC AO
22、C 与与 BOCBOC的面积之和为的面积之和为6,6,且这个二次函数的且这个二次函数的图象顶点坐标为图象顶点坐标为( 2,-a),( 2,-a),求这个二次函数解析式。求这个二次函数解析式。5.5.设二次函数设二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴交于两点轴交于两点A A、B,B,与与y y轴交于点轴交于点C,C,若若AC=20, BC=15, ACB=90AC=20, BC=15, ACB=900 0, ,求求这个二次函数解析式。这个二次函数解析式。第三十张，PPT共三十四页，创作于2022年6月6.6.已知抛物线已知抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c
23、+bx+c与与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A(m,0)A(m,0)、B(n,0),B(n,0),且且m+n=4m+n=4，n=3m.n=3m.(1)(1)求此抛物线解析式；求此抛物线解析式；(2)(2)设此抛物线与设此抛物线与y y轴的交点为轴的交点为C ,C ,过过C C 点作一点作一条平行于条平行于x x轴的直线交抛物线于另一点轴的直线交抛物线于另一点P ,P ,求求ACPACP的面积。的面积。第三十一张，PPT共三十四页，创作于2022年6月7.7.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象经过点的图象经过点 A(2,4)A(2,4)，其顶点横坐标为其顶点横坐
24、标为 , ,它的图象与它的图象与x x轴交点为轴交点为B(xB(x1 1,0),0)、C(xC(x2 2,0),0),且且x x1 12 2+x+x2 22 2=13.=13. (1) (1)求此函数解析式；求此函数解析式； (2)(2)在在x x 轴上方的抛物线上是否存在点轴上方的抛物线上是否存在点D,D,使得使得S SABCABC=2S=2SBDCBDC, ,若存在若存在, ,求出所有满足条件的求出所有满足条件的点点D,D,若不存在若不存在, ,请说明理由。请说明理由。21第三十二张，PPT共三十四页，创作于2022年6月 数学思想方法是数学中的精髓数学思想方法是数学中的精髓, ,是联系数
25、学是联系数学中各类知识的纽带中各类知识的纽带, ,是数学知识的重要组成部分是数学知识的重要组成部分. .学习本章知识学习本章知识, ,要注意领悟和掌握蕴涵其中的数要注意领悟和掌握蕴涵其中的数学思想和方法学思想和方法. . 本章主要的数学思想有本章主要的数学思想有函数思想、数形结合函数思想、数形结合思想思想和和方程思想方程思想, ,主要方法是主要方法是待定系数法待定系数法和和配方配方法法. .特别是特别是数形结合的意识力越强，发现和辨认隐数形结合的意识力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉也就越强，让形象思维与抽象蔽的和谐关系的直觉也就越强，让形象思维与抽象思维结合，焕发出独特的精彩。思维结合，焕发出独特的精彩。小结小结: :第三十三张，PPT共三十四页，创作于2022年6月感谢大家观看第三十四张，PPT共三十四页，创作于2022年6月