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1、二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质1二次函数的概念二次函数的概念定义定义：形如：形如y_(a，b，c是常数，是常数，a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数注意注意：二次项系数：二次项系数a0.考考 点点 知识知识ax2bxc2二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质二次函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，为常数，a0)图图象象(a0)(a0，开口向上，开口向上，a0时，抛物线与时，抛物线与y轴的交点在轴的交点在y轴的轴的_半轴上；半轴上；(2)c0抛物线与抛物线与x轴有两个交点；轴有两个交点；b24ac0抛物线与抛物线与x轴有一个交点；轴有一个交点；b24ac0抛物线与抛物
2、线与x轴没有交点轴没有交点类型之一二次函数的图象和性质类型之一二次函数的图象和性质 2017中考预测中考预测已知二次函数已知二次函数yx24x3.(1)用配方法求该函数的顶点用配方法求该函数的顶点C的坐标，并描述该函数的的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与求函数图象与x轴的交点轴的交点A，B的坐标，及的坐标，及ABC的面的面积积解解：(1)yx24x3x24x41(x2)21，该函数的顶点该函数的顶点C的坐标为的坐标为(2，1)当当x2时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大.(2)令令y0，则，则x24x30，解得，解得
3、x11，x23，当点当点A在点在点B左侧时，左侧时，A(1，0)，B(3，0)，当点当点A在点在点B右侧时，右侧时，A(3，0)，B(1，0)，【归纳归纳】 (1)从函数图象上可知二次函数图象的如下特征：从函数图象上可知二次函数图象的如下特征：开口方向；开口方向；对称轴；对称轴；顶点坐标；顶点坐标；与与y轴的交点坐标；轴的交点坐标；与与x轴的交点坐标轴的交点坐标(2)求二次函数的顶点坐标有两种方法：求二次函数的顶点坐标有两种方法：配方法；配方法；顶点公顶点公式法式法12016兰州兰州二次函数二次函数yx22x4化为化为ya(xh)2k的形式，下列正确的是的形式，下列正确的是 ( )Ay(x1)
4、22 By(x1)23Cy(x2)22 Dy(x2)24BA开口向上开口向上B与与x轴有两个重合的交点轴有两个重合的交点C对称轴是直线对称轴是直线x1D当当x1时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小D类型之二二次函数的平移类型之二二次函数的平移 2016山西山西将抛物线将抛物线yx24x4向左平移向左平移3个个单位，再向上平移单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为个单位，得到抛物线的表达式为 ( )Ay(x1)213 By(x5)23Cy(x5)213 Dy(x1)23【解析解析】因为因为yx24x4(x2)28，所以抛物线，所以抛物线yx24x4的顶点坐标为的顶点坐标为(2，8)，
5、把点，把点(2，8)向左平移向左平移3个单位，再个单位，再向上平移向上平移5个单位所得对应点的坐标为个单位所得对应点的坐标为(1，3)，所以平移后的，所以平移后的抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y(x1)23.D12016舟山舟山把抛物线把抛物线yx2先向右平移先向右平移2个单位，再向个单位，再向上平移上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是个单位，平移后抛物线的表达式是_2将抛物线将抛物线yx2bxc向右平移向右平移2个单位长度，再向个单位长度，再向下平移下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为个单位长度，得到的抛物线的解析式为yx22x3，则，则b，c的值为的值为 ( )Ab2，c
6、2 Bb2，c0Cb2，c1 Db3，c2y(x2)23B【解析解析】先把先把yx22x3配方为配方为y(x1)24，逆向思考把，逆向思考把y(x1)24向左平移向左平移2个单位，再向上平移个单位，再向上平移3个单位得到解析式个单位得到解析式为为y(x12)243(x1)21，化为一般式是，化为一般式是yx22x，故，故选选B.【归纳归纳】 (1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的解析式后求
7、出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的解析式(2)图象的平移规律：上加下减，左加右减图象的平移规律：上加下减，左加右减 类型之三二次函数的解析式的求法类型之三二次函数的解析式的求法 2016淄博淄博如图如图172，抛物线，抛物线yax22ax1与与x轴仅有一个公共点轴仅有一个公共点A，经过点，经过点A的直线交该抛物线于点的直线交该抛物线于点B，交，交y轴于点轴于点C，且点，且点C是线段是线段AB的中点的中点 (1)求这条抛物线对应的函数解析式；求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线求直线AB对应的函数解析式对应的函数解析式 解解：(1)抛物线抛物线yax22ax1与与x轴仅轴仅有一
8、个公共点有一个公共点A， 4a24a0，解得，解得a10(舍去舍去)，a21， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x1；图图172(2)yx22x1(x1)2，顶点顶点A的坐标为的坐标为(1，0)，点点C是线段是线段AB的中点，的中点，即点即点A与点与点B关于关于C点对称，点对称，B点的横坐标为点的横坐标为1，当当x1时，时，yx22x11214，则则B(1，4)，设直线设直线AB的解析式为的解析式为ykxb，把把A(1，0)，B(1，4)代入得代入得2016宁波宁波如图如图173，已知抛物线，已知抛物线yx2mx3与与x轴轴交于交于A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，点，点B的
9、坐标为的坐标为(3，0)(1)求求m的值及抛物线的顶点坐标的值及抛物线的顶点坐标(2)点点P是抛物线对称轴是抛物线对称轴l上的一个动点，当上的一个动点，当PAPC的值的值最小时，求点最小时，求点P的坐标的坐标图图173解解：(1)把点把点B的坐标的坐标(3，0)代入抛物线代入抛物线yx2mx3得：得：0323m3，解得解得m2，yx22x3(x1)24，顶点坐标为顶点坐标为(1，4)(2)连接连接BC交抛物线对称轴交抛物线对称轴l于点于点P，则此时则此时PAPC的值最小，的值最小，设直线设直线BC的解析式为：的解析式为：ykxb，由由yx22x3的解析式可知，的解析式可知，C(0，3)，且对称
10、轴为直线，且对称轴为直线x1.变式跟进答图变式跟进答图【归纳归纳】 (1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采用一般式般采用一般式yax2bxc(a0)(2)当已知抛物线顶点坐标当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值或对称轴或最大、最小值)求解析求解析式时，一般采用顶点式式时，一般采用顶点式ya(xh)2k.(3)当已知抛物线与当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式般采用两根式ya(xx1)(xx2)类型之四二次函数与方程的关系类型之四二次函数与方程的关系 2016衢州衢州已
11、知二次函数已知二次函数yx2x的图象如图的图象如图174所示所示.图图174(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2x1的根在图上近似地表示出来的根在图上近似地表示出来(描点描点)，并观察图象，写出方，并观察图象，写出方程程x2x1的根的根(精确到精确到0.1)解解：(1)作图描点如答图作图描点如答图(1) 例例4答图答图(1)x11.6，x20.6.例例4答图答图(2)12016宿迁宿迁若二次函数若二次函数yax22axc的图象经过点的图象经过点(1，0)，则方程，则方程ax22axc0的解为的解为 ( )Ax13，x21 Bx11，x23C
12、x11，x23 Dx13，x21C【解析解析】二次函数二次函数yax22axc的图象经过点的图象经过点(1，0)，方程方程ax22axc0一定有一个解为一定有一个解为x1，二次函数二次函数yax22axc的图象与的图象与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为(3，0)，方程方程ax22axc0的解为的解为x11，x23.22016永州永州抛物线抛物线yx22xm1与与x轴有两个不同轴有两个不同的交点，则的交点，则m的取值范围是的取值范围是 ( )Am2C0m2 Dm0，解得，解得m0，不论不论m为何值，该抛物线与为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点轴一定有两个公共点 类型之五二次函数的图象特征与
13、类型之五二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系之间的关系 2016广安广安已知二次函数已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图的图象如图175所示，并且关于所示，并且关于x的的一元二次方程一元二次方程ax2bxcm0有两个不相等有两个不相等的实数根下列结论：的实数根下列结论： b24ac0； abc2. 其中，正确的个数有其中，正确的个数有 ( ) A1 B2 C3 D4图图175B【解析解析】图象与图象与x轴有两个交点，轴有两个交点，b24ac0，故，故错误；错误；图象开口向上，图象开口向上，a0，对称轴在对称轴在y轴右侧，轴右侧，a，b异号，异号，b0，图象与图象与y轴交于轴交于x轴
14、下方，轴下方，c0，故，故正确；正确；当当x1时，时，abc0，故，故错误；错误；二次函数二次函数yax2bxc的顶点纵坐标为的顶点纵坐标为2，且关于且关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bxcm有两个不相等的实数有两个不相等的实数根，根，m2，故故正确故选正确故选B. 2016兰州兰州二次函数二次函数yax2bxc的图象的图象如图如图176所示，对称轴是直线所示，对称轴是直线x1，有以下，有以下结论：结论：abc0；4ac0.其中正确的结论的个数是其中正确的结论的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4图图176C【解析解析】抛物线开口向下，抛物线开口向下，a0，b2a0，abc0，正确；
15、正确；抛物线与抛物线与x轴有轴有2个交点，个交点，b24ac0，4ac0，abc0，正确正确【归纳归纳】 二次函数的图象特征主要包括开口方向，与二次函数的图象特征主要包括开口方向，与x轴有轴有无交点，与无交点，与y轴交点及对称轴的位置，根据这些特征可以确定轴交点及对称轴的位置，根据这些特征可以确定a，b，c及及b24ac的符号，有时也可把的符号，有时也可把x的特殊值代入根据图象确定的特殊值代入根据图象确定y的符号的符号类型之六二次函数的综合运用类型之六二次函数的综合运用 2016枣庄枣庄如图如图177，已知抛物线，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线的对称轴为直线x1，且经过，且经过
16、A(1，0)，C(0，3)两两点，与点，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为B.图图177(1)若直线若直线ymxn经过经过B，C两点，求直线两点，求直线BC和抛物线的解析式；和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴在抛物线的对称轴x1 上找一点上找一点M，使点使点M到点到点A的距离与到点的距离与到点C的距离之和最小，的距离之和最小，求点求点M的坐标；的坐标；(3)设点设点P为抛物线的对称轴为抛物线的对称轴x1上的一个上的一个动点，求使动点，求使BPC为直角三角形的点为直角三角形的点P的坐标的坐标(2)MAMB，MAMCMBMC.使使MAMC最小的点最小的点M应为直线应为直线BC与对称轴与对称
17、轴x1的交点的交点.把把x1代入直线代入直线yx3，得，得y2.M(1，2)(3)设设P(1，t)，结合，结合B(3，0)，C(0，3)，得，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若若B为直角顶点，则为直角顶点，则BC2PB2PC2，即，即184t2t26t10，解得，解得t2.若若C为直角顶点，则为直角顶点，则BC2PC2PB2，即，即18t26t104t2，解得，解得t4.若若P为直角顶点，则为直角顶点，则PB2PC2BC2，即，即4t2t26t1018，如图如图178所示，二次函数所示，二次函数yx22xm的图象与的图象与x轴的一个交点为轴的一个
18、交点为A(3，0)，另一，另一个交点为个交点为B，且与，且与y轴交于点轴交于点C.(1)求求m的值；的值；(2)求点求点B的坐标；的坐标；(3)该二次函数图象上有一点该二次函数图象上有一点D(x，y)(其其中中x0，y0)，使，使SABDSABC，求点，求点D的坐的坐标标图图178【解析解析】(1)将将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式的坐标代入二次函数解析式yx22xm；(2)令令y0，解一元二次方程；，解一元二次方程；(3)由由SABDSABC，则，则C，D关于二次函数对称轴对称关于二次函数对称轴对称解解：(1)将将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式，得的坐标代入二次函数解析式，得32
19、23m0，解得，解得m3.(2)二次函数解析式为二次函数解析式为yx22x3，令，令y0，得得x22x30，解得，解得x3或或x1，点点B的坐标为的坐标为(1，0)(3)SABDSABC，点，点D在第一象限，在第一象限，点点C的纵坐标与点的纵坐标与点D的纵坐标相等，的纵坐标相等，点点C，D关于二次函数对称轴对称关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为由二次函数解析式可得其对称轴为x1，点，点C的坐标为的坐标为(0，3)，点点D的坐标为的坐标为(2，3)【归纳归纳】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是利用二次函数的性质解决问题的关键利用抛物线的轴对称性，是利用二次函数的性质解决问题的关键.(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程列方程(组组)求解求解(3)已知二次函数图象上的点已知二次函数图象上的点(除顶点外除顶点外)和对称轴，便能确定与和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标此点关于对称轴对称的另一点的坐标