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1、关于二元函数的极限第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),)(lim0Axfxx所谓当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0语言表示用Axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方
2、向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX0Ayzxof (X)第三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 0, 0, 当 ,时对应的函数值满足| f (P) A | 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。在在U(P0, )内，函数内，函数),(yxfz 的图形总在平面的图形总在平面 Az及及 Az之间。之间。第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月7)(lim22)1 , 2(),(yxyxyx例1 用“”定义验证极限 722yx
3、yx) 1(2)4(22yxyx) 1)(1() 1(2)2()2)(2(yyyyxxx证明 因为 3122yyyxx第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月111, 12),(yxyx先限制在点（2，1）的的方邻域内讨论，则有 541413yyy5) 1()2(2yxyx7512yx722yxyx1527yx127yx 所以 第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月014, 1min2x1y) 1, 2(),(yx722yxyx14277)(lim22)1 , 2(),(yxyxyx于是 ，取，则当时，就有 由二元函数极限定义知 第十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例例
4、 求证求证 证证. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时，22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立原结论成立第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月).0 , 0(),( , 0),0 , 0(),( ,),(2222yxyxyxyxxyyxf0),(lim)0 , 0(),(yxfyxcosrx sinry )0, 0(),(yx0r例2设证明 证明： 对函数的自变量作极坐标变换 这时等价于对任何都有.由于0),(yxf44sin4222222rryxyxx
5、y 第十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月02220yxr0),(yxf0),(lim)0 , 0(),(yxfyx因此，只须取，当时，不管取什么值都有所以 第十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月APfDPPP)(lim0DE0PE0lim( )PPP Ef PA定理16.5 的充要条件是：对于的任一子集,只要是的聚点，就有 1ED0P1E01lim( )PPP Ef P0lim( )PPP Df P推论1 设是的聚点.若不存在，则也不存在 第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月12,E ED0P011lim( )PPP Ef PA022lim( )PPP Ef
6、PA12AA0lim( )PPP Df P推论2 设是它们的聚点，但,则不存在 若存在极限第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月0lim( )PPP Df PD0nPP0limnnPP nP()nf P推论3 极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛. 上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数的海涅归结原则 第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月注意：注意： 是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0 .0PP ,)(lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim
7、0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky 第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法：(1)(1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； (2)(2) 找两种不同趋近方式，
8、使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 第十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例例3. 设f (x, y) = ,0 ,2222时当yxyxxy,0 , 022时当 yx证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.
9、如图对应函数值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限),(lim0yxfkxyx21kk请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.)1 (lim2220kxkxx当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月),(lim00yxfyx沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 000lim20 xx沿
10、y 轴, x = 0. 函数极限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此断定该二重极限为0第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月其余部分时当0,01),(2xxyyxf),(yx),(yxf),(yx)10(2kkxy),(yxf1例4 二元函数请看p95图16-7，沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限沿抛物线的值趋于而不趋于零，尽管当就是零，因为当趋于原点时 所以该极限不存在.第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月非正常极限 极限),(lim),(),(00yxfyxyx的定义 ),(yxf2RD 0PD0M0DPUP),(0
11、0MPf)(),(yxfD0PP 设二元函数为定义在上的二元函数，为的一个聚点，如果使得当 时，都有则称在上当时，存在非正常极限记作 点),(lim),(),(00yxfyxyx)(lim0PfPP 或 第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月)(lim0PfPP)(lim0PfPP仿此可类似地定义与22321),(yxyxf),(lim)0, 0(),(yxfyx例5 设函数 证明 证明： 因为 2222432yxyx 0MM21220yx，只要取，当时，都有 Myx2122第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月Myxyx14322222Myx22321),(lim)0
12、, 0(),(yxfyx由此推得即 所以 第二十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月二元函数极限的性质性质（四则运算）与一性质（四则运算）与一 元函数运算相同 除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。第二十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例例 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx .
13、 2103120 二元函数的极限运算举例二元函数的极限运算举例第二十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 第二十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月二二. 累次极限累次极限),(yxf, x y00,xyxy0 x0y),(yxf中的两个自变量以
14、任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限.与依一定次序趋于与时的极限，称为累次极限. 对于两个自变量),(yxfxy0 x0y),(limlim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy对于二元函数在与依一定次序趋于与时的累次极限有两个 和 第三十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月22),(yxxyyxf),(yxf)0, 0(0y0lim220yxxyx0limlim2200yxxyxy0limlim2200yxxyyx例6 设, , 求在点解 当时，有 从而有 同理可得 的两个累次极限.第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月1.两个累次极限可以相等也可以不相
15、等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序. 例7 函数yxyxyxyxf22),( 关于原点的两个累次极限分别是 yxyxyxxy2200limlimyyyy20lim11lim0yyyxyxyxyx2200limlimxxxx20lim1) 1(lim0 xx与.第三十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例如 设 22),(yxxyyxf 两个累次极限都存在 0limlim2200yxxyxy0limlim2200yxxyyx且相等. 但二重极限),(lim)0 , 0(),(yxfyx却不存在. 第三十三张，
16、PPT共三十八页，创作于2022年6月3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例8 函数xyyxyxf1sin1sin),( 由于yxxyyx1sin1sin，故由定义知二重极限存在,且0),(lim)0, 0(),(yxfyx 0y0 x),(yxfxy1sin但对任何，当时的第二项不存在极限 第三十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月0 x0y),(yxfyx1sin同理对任何，当时的第一项不存在极限，从而两个累次极限都不存在.第三十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理16.6 若二重极限限极限 和累次极限 (或另一次序)都
17、存在 , 则它们必相等. ),(limlim00yxfyyxx00( , )(,)lim( , )x yxyf x y),(lim),(),(00yxfyxyx),(limlim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy推论1 若二重极限和累次极限都存在 , 则必相等.二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限的关系第三十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月),(limlim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy),(lim),(),(00yxfyxyx推论2 若累次极限与都存在，但它们不相等，则必不存在.二重极限第三十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月感谢大家观看第三十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月