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1、重点(zhngdin)多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用(yngyng)，多元函数极值。难点(ndin)复合函数求导，多元函数极值。函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。第1页/共31页第一页，共32页。掌握多元(du yun)函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续深刻理解二元函数(hnsh)偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，掌握全微分(wi fn)概念会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，会求多元函数
2、极值基本要求第2页/共31页第二页，共32页。（1）邻域(ln y)（2）区域(qy)一、多元(du yun)函数的概念第3页/共31页第三页，共32页。例如(lr)，即为开集第4页/共31页第四页，共32页。例如(lr)，例如(lr)，连通的开集称为(chn wi)区域或开区域第5页/共31页第五页，共32页。有界闭区域(qy)；无界开区域(qy)（3）聚点第6页/共31页第六页，共32页。说明(shumng)：内点一定(ydng)是聚点；边界点可能(knng)是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0)是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是
3、聚点也都属于集合第7页/共31页第七页，共32页。（4）n维空间说明(shumng)：n维空间的记号(j ho)为 n维空间中两点间距离(jl)公式 第8页/共31页第八页，共32页。特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离 n维空间中邻域(ln y)、区域等概念邻域(ln y)：内点、边界点、区域(qy)、聚点等概念也可定义设两点为第9页/共31页第九页，共32页。（5）二元函数(hnsh)的定义类似地可定义三元及三元以上(yshng)函数第10页/共31页第十页，共32页。例1 求 的定义域解所求定义域为第11页/共31页第十一页，共32页。（6）二元函数 的图形（如右图）二元函数的
4、图形(txng)通常是一张曲面.第12页/共31页第十二页，共32页。二、多元函数(hnsh)的极限第13页/共31页第十三页，共32页。（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关(yugun)结论以巩固和加深理解。说明(shumng)：第14页/共31页第十四页，共32页。证当 时，原
5、结论(jiln)成立例2 求证(qizhng)第15页/共31页第十五页，共32页。例3 求极限(jxin)解其中(qzhng)第16页/共31页第十六页，共32页。例4 证明 不存在 证取其值随k的不同(b tn)而变化，故极限(jxin)不存在第17页/共31页第十七页，共32页。确定(qudng)极限不存在的方法：第18页/共31页第十八页，共32页。利用点函数的形式有第19页/共31页第十九页，共32页。例5 讨论函数在(0,0)处的连续性三、多元(du yun)函数的连续性第20页/共31页第二十页，共32页。解取当 时故函数(hnsh)在(0,0)处连续.例6 讨论(toln)函数
6、在(0,0)的连续性第21页/共31页第二十一页，共32页。解取其值随k的不同(b tn)而变化，极限(jxin)不存在故函数(hnsh)在(0,0)处不连续闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次第22页/共31页第二十二页，共32页。（2）介值定理(dngl)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得(qd)两个不同的函数值，则它在D上取得(qd)介于这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过(jnggu)有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
7、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第23页/共31页第二十三页，共32页。多元函数(hnsh)的定义多元函数极限(jxin)的概念（注意(zh y)趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质四、小结第24页/共31页第二十四页，共32页。思考题第25页/共31页第二十五页，共32页。不能.例取但是 不存在.原因(yunyn)为若取思考题解答(jid)第26页/共31页第二十六页，共32页。练 习 题第27页/共31页第二十七页，共32页。第28页/共31页第二十八页，共32页。第29页/共31页第二十九页，共32页。练习题答案(d n)第30页/共31页第三十页，共32页。感谢您的观看(gunkn)！第31页/共31页第三十一页，共32页。内容(nirng)总结重点。连通的开集称为区域或开区域。(0,0)既是边界点也是聚点。(0,0)是聚点但不属于集合(jh)。边界上的点都是聚点也都属于集合(jh)。（2）二元函数的极限也叫二重极限。如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、。等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。在(0,0)处的连续性。故函数在(0,0)处连续.。在(0,0)的连续性。故函数在(0,0)处不连续。第30页/共31页。感谢您的观看第三十二页，共32页。