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1、2.2 基本不等式教学设计一、教学目标1.掌握基本不等式及其结构特点.2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.二、教学重难点1、教学重点基本不等式.2、教学难点基本不等式的应用.三、教学过程1、新课导入乘法公式在代数式的运算中有重要作用. 那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？本节课我们就从这个问题入手来学习一下基本不等式.2、探索新知1. 基本不等式的推导上节课我们学习了一个重要的不等式：，有，当且仅当时，等号成立.特别地，如果，用，分别代替上式中的a，b，可得，（1），当且仅当时，等号成立.通常称不
2、等式为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.利用不等式的性质推导出基本不等式的过程：要证，只要证，要证，只要证，要证，只要证，要证，只要证，显然成立，当且仅当时，中的等号成立.2. 基本不等式的应用例1 已知，求的最小值.分析：求的最小值，就是要求一个，使，都有，观察，发现，联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到.解：因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2.例2 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当时，和有最小值；（2）如果和等
3、于定值S，那么当时，积xy有最大值.证明：因为x，y都是正数，所以.（1）当积xy等于定值P时，所以.当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.（2）当和等于定值S时，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积xy有最大值.上题的内容称为最值定理，即（1）当时，当且仅当时等号成立.（2）当时，当且仅当时等号成立.简记为：和定积最大，积定和最小.3. 基本不等式的实际应用例3 （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：
4、（1）矩形莱园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为.（1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.故当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m.（2）由已知得，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积
5、为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3 m，池底的边长没有确定，如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了，因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元.根据题意，有.由容积为，可得，因此.所以，当时，上式等号成立，此时.所以将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.3、课堂练习1.若，且，则的最小值是( )A.2B.C.D.答案：C解析
6、：因为，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为.故选C.2.已知，且，则xy的最大值是( )A.B.4C.D.8答案：C解析：由题意得，当且仅当，即，时等号成立，所以xy的最大值是.故选C.3.（多选）下列结论正确的是( )A.当时，B.当时，的最小值是2C.当时，的最小值为5D.当，时，答案：AD解析：在A中，当时，当且仅当时取等号，结论正确；在B中，当且仅当时取等号，而，故等号取不到，因此当时，的最小值不是2，结论错误；在C中，因为，所以，则，即时取等号，结论错误；显然D正确.故选AD.4.某气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天即连续使用，使用n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少），一共使用了_天.答案：400解析：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为，当且仅当，即时，等号成立，故一共使用了400天.4、小结作业小结：本节课学习了基本不等式及其应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计2.2 基本不等式1.基本不等式：，有，当且仅当时，等号成立. 称为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.学科网（北京）股份有限公司