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1、2.2 基本不等式学案一、学习目标1.掌握基本不等式及其结构特点.2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.二、知识归纳1.基本不等式：，有，当且仅当时，等号成立. 称为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、习题检测1.若，且，则的最小值是( )A.2B.C.D.2.已知函数，则函数的最小值等于( )A.B.C.5D.93.已知，且，则xy的最大值是( )A.B.4C.D.84.若正数x，y满足，当取得最小值时，的值为( )A.B.2C.D.55
2、.已知，若不等式恒成立，则m的最大值等于( )A.10B.9C.8D.76.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为( )A.300吨B.400吨C.500吨D.600吨7.（多选）已知两个不等正数a，b满足，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.8.（多选）下列结论正确的是( )A.当时，B.当时，的最小值是2C.当时，的最小值为5D.当，时，9.某气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天
3、即连续使用，使用n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少），一共使用了_天.10.若正数a，b满足，则_，_.11.设，则的最小值为_.12.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少?（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）13.已知正数a，b满足.（1）若，求的值；（2）求的最大值
4、.答案以及解析1.答案：C解析：因为，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为.故选C.2.答案：C解析：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选C.3.答案：C解析：由题意得，当且仅当，即，时等号成立，所以xy的最大值是.故选C.4.答案：B解析：，当且仅当，即时等号成立，此时.故选B.5.答案：B解析：因为，所以.又因为，当且仅当时等号成立，所以，故m的最大值为9.故选B.6.答案：B解析：设每吨的平均处理成本为s元，由题意可得，其中.由基本不等式可得，当且仅当，即时，每吨的平均处理成本最低.故选B.7.答案：ACD解析：对于A，因为a，b为两个不等正数，所以，可得，故A正确；对于B，因为，
5、所以由选项A可知，故B不正确；对于C，因为，所以由A可知C正确；对于D，因为，所以由选项A可知，故D正确.故选ACD.8.答案：AD解析：在A中，当时，当且仅当时取等号，结论正确；在B中，当且仅当时取等号，而，故等号取不到，因此当时，的最小值不是2，结论错误；在C中，因为，所以，则，即时取等号，结论错误；显然D正确.故选AD.9.答案：400解析：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为，当且仅当，即时，等号成立，故一共使用了400天.10.答案：1；解析：因为，当且仅当且，即，时，等号成立，所以，.11.答案：解析：由，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，故所求的最小值为.12.解析：设楼房每平方米的平均综合费用为y元.依题意得.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，y取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.13.解析：（1）由，可得，则.（2）由（1）得，则，当且仅当中，即时，等号成立.学科网（北京）股份有限公司