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1、函数与导数的综合应用一基础再现考点1.导数的概念1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为 考点2.导数的几何意义2.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 考点3.导数的运算3.是的导函数，则的值是考点4.利用导数研究函数的单调性和极大（小）值4.函数的一个单调递增区间是 5.对于总有成立，则= 考点5.函数与导数的综合应用6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个7.设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值二、范例分析：例1：已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1） 求a、b的值与函数f（x）
2、的单调区间（2） 若对x1，2，不等式f（x）c2 恒成立，求c的取值范围。例2:设函数，其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围巩固练习：1、函数在2到4之间的平均变化率为 2、一汽球的半径以2cm/s的速度膨胀，半径为6cm时，表面积对于时间的变化率是 W w w.k s 5u .c o m3、求下列函数的导数：； ； 4、曲线在x2处的导数为 5、已知曲线在点处的导数为1，则_6、设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则 7、在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2
3、，则点P的坐标为_8、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 9、已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则 W w w.k s 5u .c o m10、曲线在点（1，0）处的切线方程为 ；过点（0，3）的切线方程是 11、已知函数在点处的切线为，则函数f(x)的解析式是 12、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 13、设曲线在点（1，1）处的切线x轴的交点的横坐标为，则的值为 W w w.k s 5u .c o m14、函数的单调减区间为 15、函数的单调递增区间是 16、函数的减区间是 17、函数的减区间是_ _，增区间是_18、函数的极
4、小值是_19、若函数在处取极值，则a_ 20、函数在区间上的最小值是_ ；最大值是_21、若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为 22、函数在区间上单调递减，则的取值范围为 23、若在（1，）上是减函数，则的取值范围是 24、已知函数，若对任意都有，则的取值范围是 W w w.k s 5u .c o m25、已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围函数与导数的综合应用 感悟解答1.答案：s=6t2，s|t=3=54. 2.答案：解：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以.评析
5、：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点. 3. 解：是的导函数，则=34. 解：，即或（理科要求：复合函数求导）5. 答案：4评析：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。6.解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的有1个数。7. 解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加
6、，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为例1.已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（3） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间（4） 若对x1，2，不等式f（x）c2 恒成立，求c的取值范围。例1、解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb 2分由f（），f（1）32ab0得 5分a，b2 6分f（x）3x2x2（3x2）（x1）， 7分函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，） 递减区间是（，1） 11分（5） f（x）x3x22xc，x1，2
7、，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。 13分要使f（x）f（2）2c解得c2 16分例2、设函数，其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围例2、解：（） 3分当时， 令，解得， 5分当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数 8分 （）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须恒成立，即有解此不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是 12分（）解：由条件可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的
8、，不等式在上恒成立，当且仅当 即在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是 16分20（）解：，由导数的几何意义得，于是由切点在直线上可得，解得所以函数的解析式为 5分（）解：当时，显然（）这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表： 所以在，内是增函数，在，内是减函数 10分（）解：由（）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是 16分巩固练习：答案1、函数在2到4之间的平均变化率为 解：42、一汽球的半径以2cm/s的速度膨胀，半径为6cm时，表面积对于时间的变化率是 解：说明：考查平均变化率
9、的概念，理解平均变化率与瞬时变化率之间关系,掌握路程,速度,加速度之间关系3、求下列函数的导数：；解：；4、曲线在x2处的导数为 解：5、已知曲线在点处的导数为1，则_解：说明：考查求导公式和求导法则6、设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则 2 7、在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_解：(2，15)8、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 解：9、已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则 解：310、曲线在点（1，0）处的切线方程为 ；过点（0，3）的切线方程是 解：y5 (x1)；y3
10、或4xy3011、已知函数在点处的切线为，则函数f(x)的解析式是 解：f(x)x33x29x12、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 解：4xy013、设曲线在点（1，1）处的切线x轴的交点的横坐标为，则的值为 解：说明：考查导数的几何意义利用导数求曲线的切线斜率，切点坐标，曲线方程中的待定系数已知曲线上一点的坐标，求曲线在这点处的切线方程的一般步骤：（1）根据导数的几何意义，求出曲线在一点处的切线斜率；（2）利用直线的点斜式方程，写出切线方程已知曲线在一点处切线的斜率，求切点坐标的一般步骤：（1）设切点坐标；（2）根据导数的几何意义，求出曲线在这点处切线斜率关于切点坐
11、标的表达式；（3）列关于切点坐标的方程，求出切点坐标14、函数的单调减区间为 解：(1，11)也可填写闭区间或半开半闭区间15、函数的单调递增区间是 解：（2，）16、函数的减区间是 解：17、函数的减区间是_ _，增区间是_解：，18、函数的极小值是_解：019、若函数在处取极值，则a_ 解：320、函数在区间上的最小值是_ ；最大值是_解：1，21、若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围为 解：或22、函数在区间上单调递减，则的取值范围为 解：a23、若在（1，）上是减函数，则的取值范围是 解：24、已知函数，若对任意都有，则的取值范围是 解：(，1)(2，) 说明：考查利用导数研究函数
12、的单调性的方法，已知函数的单调性求参数的取值或取值范围；考查利用导数研究函数的极大值、极小值，最大值、最小值的方法，已知函数的极值求参数的值或参数的取值范围25、已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.25（）解：，由导数的几何意义得，于是由切点在直线上可得，解得所以函数的解析式为 5分（）解：当时，显然（）这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表： 所以在，内是增函数，在，内是减函数 10分（）解：由（）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是 16分8学科网（北京）股份有限公司