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1、-在-此-卷-上-答-题-无-效-绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
2、5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高.第卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则.2.已知是虚数单位，则复数的实部是.3.已知一组数据，的平均数为4，则的值是.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.5.下图是一个算法流程图.若输出的值为，则输入的值是.6.在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是.7.已知是奇函数，当时，则的值是.8.已知，则的值是.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正
3、六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半轻为，则此六角螺帽毛坯的体积是.10.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是.11.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.已知数列的前项和，则的值是.12.已知，则的最小值是.13.在中，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是.14.在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在三棱柱中，平面，分别是，的中点.（1）求证：
4、平面；（2）求证：平面平面.16.（本小题满分14分）在中，角，的对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值.17.（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）.经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式.已知点到的距离为40米.（1）求桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点）.桥墩每米造价（万元）、桥墩每米造价（万元）（）.问为多少米时，桥墩与的总造价最低？18
5、.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；-在-此-卷-上-答-题-无-效-（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标.毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _19.（本小题满分16分）已知关于的函数，与在区间上恒有.（1）若，求的表达式；（2）若，求的取值范围；（3）若，求证：.20.（本小题满分16分）已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.（1）若等差数列是“”数列，求的值；（2）若
6、数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.第卷【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.A.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.（1）求实数，的值；（2）求矩阵的逆矩阵.B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）.（1）求，的值（2）求出直线与圆的公共点的极坐标.C.选修4-5：不等式
7、选讲（本小题满分10分）设，解不等式.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在三棱锥中，已知，为的中点，平面，E为的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值.23.（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.（1）求和；（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）.2020年普通高等学
8、校招生全国统一考试（江苏卷）数学答案解析第卷一、填空题1.【答案】【解析】根据集合的交集即可计算.，故答案为：.【考点】交集及其运算2.【答案】3【解析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.复数，复数的实部为3.故答案为：3.【考点】复数的基本概念3.【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可.数据，的平均数为4，即.故答案为：2.【考点】平均数的计算和应用4.【答案】【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，共4个.出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.【考点】概率的求法，古典概型，列举法5.【答
9、案】【解析】根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值.由于，所以，解得.故答案为：.【考点】根据程序框图输出结果求输入值，指数函数的性质6.【答案】【解析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：.【考点】双曲线的渐近线，双曲线离心率的求法7.【答案】【解析】先求，再根据奇函数求.，因为为奇函数，所以.故答案为：.【考点】根据奇函数性质求函数值8.【答案】【解析】，.故答案为：.【考点】两角和正弦公式，二倍角正弦公式9.【答案】【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.正六棱柱体积为，圆
10、柱体积为，所求几何体体积为，故答案为：.【考点】正六棱柱体积，圆柱体积10.【答案】【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.，当时，故答案为：.【考点】三角函数图象变换，正弦函数对称轴11.【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得，的公差和公比，由此求得.设等差数列公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：4.【考点】等差数列和等比数列的前项和公式12.【答案】【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.，且，当且仅当，即，时取等号.的最小值为.故答
11、案为：.【考点】基本不等式在求最值中的应用13.【答案】或0【解析】根据题设条件可设，结合与，三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.，三点共线，可设，即，若且，则，三点共线，即，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时，重合，此时的长度为0，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【考点】平面向量知识的应用，余弦定理的应用14.【答案】【解析】根据条件得，再用圆心到直线距离表示三角形面积，最后利用导数求最大值.，设圆心到直线距离为，则，所以，令，（负值舍去），当时，；当时，因此当时，取最大值，即取最大值为，故答案为：.【考点】垂径定理，利用导数求最值
12、二、解答题15.【答案】（1）由于，分别是，的中点，所以.由于平面，平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.【解析】（1）通过证明，来证得平面.由于，分别是，的中点，所以.由于平面，平面，所以平面.（2）通过证明平面，来证得平面平面.由于平面，平面，所以.由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.【考点】线面平行的证明，面面垂直的证明16.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得，的值，进而求得的值.由于，所以.由于，所以，所以.所以.由
13、于，所以.所以.【考点】正弦定理，余弦定理解三角形，三角恒等变换17.【答案】（1）120米（2）米【解析】（1）根据，高度一致列方程求得结果.由题意得，米.（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.设总造价为万元，设，（0舍去），当时，；当时，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩与的总造价最低.【考点】实际成本问题，利用导数求最值18.【答案】（1）6（2）（3）或.【解析】（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长.椭圆的方程为，.由椭圆定义可得：.的周长为.（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小
14、值.设，根据题意可得.点在椭圆上，且在第一象限，.准线方程为，当且仅当时取等号.的最小值为.（3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.设，点到直线的距离为.，直线的方程为，点到直线的距离为，.，联立解得，.或.【考点】椭圆的定义，直线与椭圆相交问题，点到直线距离公式的运用19.【答案】（1）（2）（3）因为对任意恒成立，对任意恒成立，等价于对任意恒成立.故对任意恒成立.令，当，此时，当，但对任意的恒成立.等价于对任意的恒成立.的两根为，则，所以.令，则.构造函数，所以时，递减，.所以，即.【解析】（1）求得与的公
15、共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式.由题设有对任意的恒成立.令，则，所以.因此即对任意的恒成立，所以，因此.故.（2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围.令，.又.若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.当时，符合题意.当时，在上递减，在上递增，则，即，符合题意.综上所述，.由当，即时，在为增函数，因为，故存在，使，不符合题意.当，即时，符合题意.当，即时，则需，解得.综上所述，的取值范围是.（3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立.因为对任意恒成立，对任意恒成立，等价于对任意恒成立.故对任意恒成
16、立.令，当，此时，当，但对任意的恒成立.等价于对任意的恒成立.的两根为，则，所以.令，则.构造函数，所以时，递减，.所以，即.【考点】利用的导数求切线方程，利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论的数学思想方法20.【答案】（1）1（2）（3）【解析】（1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果.，.（2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得.，.，.，.（3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果.假设存在三个不同的数列为“”数列.，或，或.对于给定的，存在三个不同的数列为“”数列，且，
17、或有两个不等的正根.可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.当时，即，此时，满足题意.当时，即，此时，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，.【考点】数列新定义，由和项求通项，一元二次方程实根分步第卷21.A.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数，的值.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.，解得.（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.设，则，解得，.【考点】矩阵变换的应用，逆矩阵的求法B.【答案】（1），或0（2）【解析】（1）将，点坐标代入即得结果.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，因为点为直线上，故其直
18、角坐标方程为，又对应的圆的直角坐标方程为：，由，解得或，对应的点为，故对应的极径为或.（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.，当时；当时，舍；即所求交点坐标为当.【考点】极坐标方程及其交点C.【答案】【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果.或或或或所以解集为：.【考点】分类讨论解含绝对值不等式22.【答案】（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果.连，以，为，轴建立空间直角坐标系，则，.从而直线与所成角的余弦值为.（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.设平面一个法向量为，令，设平面一个法向量为，令，因此.【考点】利用向量求线线角与二面角23.【答案】（1），（2）【解析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果.，.（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.，因此，从而，即，.又的分布列为012【考点】古典概型概率，概率中递推关系，构造法求数列通项，数学期望公式数学试卷第21页（共24页）数学试卷第22页（共24页）