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1、-在-此-卷-上-答-题-无-效-绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试用时120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A.B.C.D.3.在的展开式中，的系数为（）A.B.5C.D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）正（主）
2、视图侧（左）视图俯视图A.B.C.D.5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.76.已知函数，则不等式的解集是（）A.B.C.D.7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为、是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A.经过点B.经过点C.平行于直线D.垂直于直线8.在等差数列中，记，则数列（）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知，则“存在使得”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（D
3、ay）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（）A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_12.已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_；的焦点到其渐近线的距离是_13.已知正方形的边长为2，点满足，则_；_14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未
4、达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体中，E为的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值17.在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）的值
5、：（）和的面积条件：，；条件：，注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _-在-此-卷-上-答-题-无-效-假设所有学生对活动方案是否支持相互独立（）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
6、（）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明）19.已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值20.已知椭圆过点，且（）求椭圆的方程：（）过点的直线交椭圆C于点，直线分别交直线于点，求的值21.已知是无穷数列给出两个性质：对于中任意两项，在中都存在一项，使；对于中任意项，在中都存在两项，使得（）若，判断数列是否满足性质，说明理由；（）若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；（）若是递增数列，且同时满足性质和性质
7、，证明：为等比数列.2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】，故选：D.【考点】集合交集概念【考查能力】分析求解2.【答案】B【解析】由题意得，.故选：B.【考点】复数几何意义，复数乘法法则【考查能力】基本分析求解3.【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【考点】二项式定理的核心是通项公式4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：.故选：D.5.【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，
8、当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.【考点】圆的标准方程6.【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【考点】图象法解不等式7.【答案】B【解析】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到，的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.【考点】抛物线的定义的应用8.【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.【考点】等差数列
9、的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想9.【答案】C【解析】（1）当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；（2）当时，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【考点】充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用10.【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，则.故选：A.【考点】圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长【考查能力】计算二、填空题11.【答案】【解析】由题意得，故答案为：【考
10、点】函数定义域【考查能力】基本分析求解12.【答案】【解析】在双曲线中，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.【考点】根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离【考查能力】计算13.【答案】【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.【考点】平面向量的模，数量积的计算，平面直角坐标系【考查能力】计算14.【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【考点】两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，平方关系的应用【考查能力】
11、数学运算15.【答案】【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：【考点】斜率应用，切线斜率应用，函数图象应用【考查能力】基本分析识别能力三、解答题16.【答案】（）证明见解析（）.【解析】（）如下图所示：在正方体中，
12、且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、，设平面的法向量为，由，得，令，则，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.【考点】线面平行的证明，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值【考查能力】计算17.【答案】选择条件（）8（）,；选择条件（）6（）,.【解析】选择条件（），（），由正弦定理得：，选择条件（），由正弦定理得：，（）【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式【考查能力】基本分析求解18.【答案】（）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为（）（）【解析】
13、（）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：；（）【考点】利用频率估计概率，独立事件概率乘法公式【考查能力】基本分析求解19.【答案】（）（）【解析】（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设（时，结果一样）时，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.【考点】利用导数的几何意义求切线方
14、程，利用导数求函数的最值20.【答案】（）（）1【解析】（1）设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.（2）设，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：，.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且：，注意到：，而：，故，.从而.【考点】解决直线与椭圆的综合问题21.【答案】（），不具有性质；（），具有性质；，具有性质，；（）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然，假设数列中存在负项，设，第一种情况：若，即，由可知：存在，满足，存在，满足，由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若，由知存在实数，满足，由的定义可知：，另一方
15、面，由数列的单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明：利用性质：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列的前项成等比数列，不妨设，其中，（，的情况类似）由可得：存在整数，满足，且（*）由得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，由可得：（*）由（*）和（*）式可得：，结合数列的单调性有：，注意到，均为整数，故，代入（*）式，从而.总上可得，数列的通项公式为：.即数列为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时
16、必有，即，即，成等比数列，不妨设，然后利用性质：取，则，即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，否则，由数列的单调性可知，在性质中，取，则，从而，与前面类似的可知则存在，满足，若，则：，与假设矛盾；若，则：，与假设矛盾；若，则：，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，同理可得：，从而数列为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列为等比数列.【考点】数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用【考查能力】转化能力和推理能力数学试卷第17页（共20页）数学试卷第18页（共20页）