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1、自动控制理论第版夏德钤翁贻方第七章非线性系统的分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生自持振荡。3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭
2、加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。对非线性系统分析研究的重点是：对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。二、典型非线性系统及对系统性能的影响二、典型非线性系统及对系统性能的影响1、死区非线性常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系统产生稳态误差，且用提高增量的方法也无法消除。2、饱和非线性常见于放大器中，在大信号作用下，放大倍数小，因而降低了稳态精度。3、间隙非线性常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。4、继电器特
3、性继电器特性中包含了死区、回环和饱和特性，因此对系统的稳态性能、暂态性能和稳定性都有不利影响。相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。三、非线性系统的分析方法三、非线性系统的分析方法1、相平面法 时域方法2、描述函数法 频域方法7.2 7.2 非线性系统的相平面分析方法非线性系统的相平面分析方法用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S)必须是二阶。一、线性二阶系统奇点的类型一、线性二阶系统奇点的类型线性二阶系统的齐次微分方程为：相平面图是在 平面中，绘制 随时间t 变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是 。奇点是指 的点
4、。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。xx ,xx)0(),0(xx00dxxd022xxxnn xx ,xx)0(),0(xx00dxxd022xxxnn 1、无阻尼运动、无阻尼运动二阶系统的极点分布和相平面图如下无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。0)(2、欠阻尼运动、欠阻尼运动系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。1)0(3、过阻尼运动系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。1)(4、系统的自由运动是发散振荡。相
5、轨迹是以原点出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。0)-1(5、系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。)-1(6、 是对称于原点的实轴是对称于原点的实轴系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。以上以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。21,二、非线性系统的相平面分析二、非线性系统的相平面分析借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。例1：有死区继电器非线性的系统框图如下系统线性部分的传递函数 ，该二阶系统的无阻尼自然振荡角频率 ，阻尼比 ，根据前面对奇点的分类
6、，可知为稳定焦点。) 1(1)(SSSGsradn/15 . 0继电器的输入输出关系为在 平面，根据继电器的非线性特性，可分为三个区域， 设初始状态 ， ，绘制相轨迹如图所示，(设r=3) 根据系统的相轨迹，可对系统的性能分析如下：)(efy, 1, 0, 1. 1; 11; 1eeeee3)0(e0)0(e 2、相轨迹最后没有到达原点，即 ，说明系统在阶跃信号输入下，存在稳态误差，引起稳态误差的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表明，系统是型系统，对阶跃响应的稳态误差应为0，可见死区继电器非线性对稳态精度的影响。0)(limtet1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定焦
7、点。e e是单调衰减的。例2：非线性系统框图如下其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节的输入输出关系为y M 0e, ae0e, ae或M 0e, ae0e, ae或根据上述关系，可将 平面分为二个区域。分别绘制初始状态分别为 和 的两条相轨迹。ee0)0( e5,. 0)0( e0)0( e1,. 0)0( e从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。 一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对于此系统，通过减
8、少继电器回环的宽度a，可减小振荡。7.3 7.3 描述函数描述函数 描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。设非线性环节的输入为tsinx x其输出的稳定分量y是与x同周期的非正弦周期信号，可用傅氏级数表示11)sin()sincos(nnnnnntntntnYABAA00y式中BABAYBAnnnnnnnnarctgtdtntytdtnty222020)(sin)(1)(cos)(1由于y的高次谐波幅值小于基波幅值，且系统的线性部分 都具有低通滤波性质，可以假设只有基波分量起作用，而将高次谐波忽略不计。)(),(21ss
9、GG一、描述函数的定义一、描述函数的定义设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量y的基波为00A)11111tsin(tsintcosYBAy非线性特性的描述函数定义为)(1)(1111ABeYjXXXNj这是一个复函数，模为输出基波幅值与输入幅值之比，相角是输出基波对输入的相位移。描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与X在幅值和相位上的关系。二、典型非线性特性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数1、死区非线性的描述函数、死区非线性的描述函数aXxaxaxakaXN(X)xaxakxxaBY)21(arcsin2100)1(arcsin2121112、理想继电器非线性的描
10、述函数、理想继电器非线性的描述函数XXN4)(7.4 7.4 非线性系统的谐波平衡法分析非线性系统的谐波平衡法分析和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理，允许线性部分是任意阶次。非线性系统的特征方程为)(1)(0)()(1XNjGjGXN即：称 为描述函数的负倒幅特性。)(1XN如果满足上式，表示 与 有交点，此时非线性系统将出现自持振荡，这相当于线性系统的极坐标图 在复平面中穿过（1，j 0）点。)(1XN)(jG)(jG将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。一、非线性系统稳定一、非线性系统稳定包围不被)()(1jGXN相交与)()(1jGXN三、非线性系统产生自持振荡三、非线性系统产生自持振荡图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。二、非线性系统不稳定二、非线性系统不稳定包围被)()(1jGXN例：例：4)(1XXN，是与负实轴重合的直线。1 . 2)(12)(66. 1)(1)(XXNjGXNjG幅值的，的频率交点处。交点的坐标是与结论：该非线性系统存在自持振荡，振荡频率为 ，振幅为2.1。2