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1、8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心 热力学热力学 (thermodynamics)：根据对宏观根据对宏观热现象的直接观察和试验，总结得出热现象的直接观察和试验，总结得出所遵从的规律；所遵从的规律； 气体动理论气体动理论(kinetic theory of gasas)：通过通过微观粒子运动与宏观热现象之间的内微观粒子运动与宏观热现象之间的内在联系，研究宏观物体的热性质，揭在联系，研究宏观物体的热性质，揭示热现象的微观本质。示热现象的微观本质。 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心8/1
2、6/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.1.0(1)tvVVt 0(1)tpPPt 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心(5.1)mPVRTM 118.31RJ molK 2312308.311.38106.02204510RkJ KN 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.2 气体分子热运动的分布规律气体分子热运动的分布规律 5.2.1 气体分子热运动的特征气体分子热运动的特征 气体分子间距大，分子间相互作用在碰撞之气体分子间距大，分子间相互作用在碰撞之外可以忽略，使气体分子做惯性支配的自由运动。外可以忽略，使气体分子做惯性
3、支配的自由运动。加之频繁碰撞，使其做杂乱无章的加之频繁碰撞，使其做杂乱无章的热运动热运动。 单个分子运动是不可预测、无规律可循的。单个分子运动是不可预测、无规律可循的。大量分子运动是服从统计规律，有一定必然性。大量分子运动是服从统计规律，有一定必然性。特征一特征一布朗运动布朗运动特征二特征二佳洱顿板实验佳洱顿板实验8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.2.2 麦克斯韦气体分子的速率分布律麦克斯韦气体分子的速率分布律 ( )dNfdN dNdN ()(5.3)dNfNd 一、一、 速率分布函数速率分布函数f ( ) 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教
4、学中心 ( )f ( )dNfdN d p 是是小矩形面积小矩形面积( )(5.4)dNfdN 整个曲线下的面积：整个曲线下的面积：0( )1(5.5)fd 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心二、麦克斯韦速率分布函数二、麦克斯韦速率分布函数 2032022( )4 ()(5.7)2mKTmdNfdedNkT )6 . 5()2(4)(2223020 kTmekTmf 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心三、三种特征速率三、三种特征速率p ( )f 2 ( )0dfd 1.41RTM 速率在速率在 p附近的单位间隔内的分子数占总分附近的单位间隔内
5、的分子数占总分子数的百分比最大。子数的百分比最大。MRTmkTp2208/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心分子速率算术平均值。分子速率算术平均值。1122NNN 0( )fd 81.60RTRTMM 速率平方算术平均值。速率平方算术平均值。2221122NNN 20()fd 23RTM 1.73RTM 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心注注 意：意：2p 讨论速率分布时，用最概然速率；计讨论速率分布时，用最概然速率；计算平均自由程时，用平均速率；计算平均算平均自由程时，用平均速率；计算平均平动动能时，则用方均根速率。平动动能时，则用方均根速率。
6、 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心【例【例2】两种气体种类不同，两种气体种类不同，问问：但但,21vv ）方均根速率是否相同？）方均根速率是否相同？）最概然速率是否相同？）最概然速率是否相同？解：解：21,8vvMRTv 且且 2211MTMT 222211213,3MRTvMRTv 又又2221vv 21,2pppvvMRTv 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心【例【例3】已知某种气已知某种气:T=273K ,P=0.01atm 密度密度32/1025. 1mkg求求:(1) 分子的方均根速率分子的方均根速率(2) 确定为何种气体。确定为
7、何种气体。 RTPMRTMmPV ,PRTM 3352/100 .2810013. 101. 01025. 127331. 8mkgMRTv32 sm/493100 .2827331. 833解解8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心 5在一封闭容器内，理想气体分子的平均速率在一封闭容器内，理想气体分子的平均速率 提高为原来的提高为原来的2倍，则倍，则 A. 温度和压强都提高为原来的温度和压强都提高为原来的2倍倍 B. 温度为原来的温度为原来的2倍，压强为原来的倍，压强为原来的4倍倍 C. 温度为原来的温度为原来的4倍，压强为原来的倍，压强为原来的2倍倍 D. 温度和压强
8、都为原来的温度和压强都为原来的4倍倍11.已知分子总数为已知分子总数为N，它们的速率分布函数为，它们的速率分布函数为 f（V），则速率分布在），则速率分布在V1V2区间内的分子的平均速区间内的分子的平均速率为率为A B 21VVdV)V(Vf 21VVdV)V(NVfC D 2121VVVVdV)V(fdV)V(VfNdV)V(Vf21VV 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心12.麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分面积相等，则该图表示两部分面积相等，则该图表示 A 0为最可几速率为最可几速率B 0为平均速率为平均速率C 0
9、为方均根速率为方均根速率D速率大于和小于速率大于和小于 0的分子数各占一半的分子数各占一半 )(f 0 oBA8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.2.3 玻尔兹曼能量分布玻尔兹曼能量分布 一、一、气体分子在重力场中的分布规律气体分子在重力场中的分布规律 不考虑外力作用时，平衡态下的气体分子将均匀分不考虑外力作用时，平衡态下的气体分子将均匀分布在它们占据的空间内，分子数密度布在它们占据的空间内，分子数密度n处处相同。但考处处相同。但考虑气体分子受到外力场作用时，情况将发生变化。下面虑气体分子受到外力场作用时，情况将发生变化。下面以重力场作用为例，给出大气密度随高度变化
10、的规律。以重力场作用为例，给出大气密度随高度变化的规律。 设距离地面设距离地面z处的大气压强是处的大气压强是p，选取，选取高度是高度是dz的、具有单位底面积的空气柱，的、具有单位底面积的空气柱，气柱的密度为气柱的密度为 。在平衡情况下，该气柱在平衡情况下，该气柱满足如下方程满足如下方程zz+dzpp+dpz()ppdpgdz 由理想气体状态方程得出由理想气体状态方程得出mMpVRT dpMgdzpRT gdzdp 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心设温度保持不变，积分后得出设温度保持不变，积分后得出0(5.12)MgzRTpp e 应当明确，实际中的大气温度是随高度变
11、化应当明确，实际中的大气温度是随高度变化的，只有在高度相差不大时，上式的计算结果才与实的，只有在高度相差不大时，上式的计算结果才与实际相符。际相符。 称为重力场中的气压公式。称为重力场中的气压公式。场中的分布规律为场中的分布规律为 00pn kT pnkT 由由 、 得出分子数密度得出分子数密度n在重力在重力00(5.13)m gzkTnn e 若距离地面若距离地面z处分子的重力势能为处分子的重力势能为0pm gz 0(5.14)pkTnn e 则则8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心【例【例4】飞机在起飞前，舱中压力计指示为飞机在起飞前，舱中压力计指示为1个大气压，温
12、度为个大气压，温度为27摄氏度，起飞后，压摄氏度，起飞后，压力计指示为力计指示为0.8大气压，温度不变，试计算大气压，温度不变，试计算飞机距地面的高度。（作业）飞机距地面的高度。（作业）解：解：得得:RTMghePP 038.31 3001.0ln29 109.80.8m31.9610 ()ppMgRTh0ln8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心二、玻耳兹曼能量分布律二、玻耳兹曼能量分布律 考虑到速度的考虑到速度的方向性方向性和和力场力场作用等因素，分作用等因素，分子状态分布应考虑分布区间，于是定义：子状态分布应考虑分布区间，于是定义：,xxxd ,yyyd zzzd
13、,xxdx ,yydy ,zzdz 指速度区间位置区间的共同范围，即指速度区间位置区间的共同范围，即xyzdxdydzddd d rrdr 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心在热平衡状态下，在在热平衡状态下，在状态区间状态区间内的分子数是内的分子数是 xyzdxdydzddd 3020()(5.17)2kTxyzmdNneddddxdydzkT 式中，式中，n0表示在势能表示在势能 p0处单位体积内所含处单位体积内所含各种速度的分子数。各种速度的分子数。 k p 是是分子能量分子能量。（5.17）式称为玻耳兹曼能量分布律。）式称为玻耳兹曼能量分布律。 气体分子占据能量
14、较低状态的概率，比占据能量较气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率要大。高状态的概率要大。221121(5.18)EEEKTKTEKTNeeNe 即即8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心理想气体微观模型：理想气体微观模型：）分子力及重力忽略。）分子力及重力忽略。）分子间及与器壁间碰撞是完全弹性的。）分子间及与器壁间碰撞是完全弹性的。统计假设：统计假设：）沿各向运动的分子数相同。）沿各向运动的分子数相同。）速度分量的各种平均值相同。）速度分量的各种平均值相同。zyxvvv, 0222zyxvvv231v）自身大小可忽略。）自身大小可忽略。）处于平衡态时，
15、分子数密度处处相等。）处于平衡态时，分子数密度处处相等。8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心xyz1l2l3lxm 0 xm 0 1A2A)2(0 xmp xlt 12 一一次次经经历历的的时时间间面面之之间间往往返返面面与与在在212AA单位时间与单位时间与A1面碰的次数面碰的次数12 lx3单位时间动量的改变为单位时间动量的改变为1 碰撞一次动量的改变为碰撞一次动量的改变为102)2(lmPxx 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心xyz1l2l3lxm 0 1A2A 单位时间总平单位时间总平 均力的大小均力的大小 NiixixlmF1102
16、2 Niixlm1120 xm 0面面受受到到的的冲冲量量：及及由由1,. 4AFFPtFI 1022lmIixix 102)2(lmPxx 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心6 压强压强P为为 NiixNlllNm123210 32llFSFP20202031 nmnmVNmxx knmn 32)21(3220 knvnmp 323120 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心23132vnmnPk k n n大大, ,说明大量气体分子每秒与器壁碰撞频说明大量气体分子每秒与器壁碰撞频繁繁, , 大，说明每次碰撞对器壁的冲击力大大，说明每次碰撞对
17、器壁的冲击力大 2、建立了宏观量、建立了宏观量P与微观量的联系，揭示与微观量的联系，揭示 了宏观量的微观实质了宏观量的微观实质.3 3、压强只具有统计意义、压强只具有统计意义, ,离开了离开了“大量分子大量分子”和和“统计平统计平均均”, , 压强便失去意义。压强便失去意义。8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.3.3 温度的微观实质温度的微观实质 由理想气体的压强公式，与理想气体状态方程由理想气体的压强公式，与理想气体状态方程PnkT 比较，可以得到如下公式比较，可以得到如下公式 即平衡态下理想气体的平动动能与温度的关系式。即平衡态下理想气体的平动动能与温度的关系式
18、。 上式说明气体分子的平均平动动能惟一由温度上式说明气体分子的平均平动动能惟一由温度决定，并决定，并与热力学温度成正比与热力学温度成正比。 揭示了温度的微观实质是：气体内部大量分子揭示了温度的微观实质是：气体内部大量分子无规则无规则热运动剧烈程度的度量热运动剧烈程度的度量。 温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。 温度是一个统计概念。对于单个分子没有意义。温度是一个统计概念。对于单个分子没有意义。应当明确：应当明确： kTk23 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.4 自由度自由度 能量均分定理能量均分定理 5.4.1 自由
19、度自由度 一、刚体的自由度一、刚体的自由度一般运动刚体自由度是一般运动刚体自由度是6个：个：（1）质心平动自由度）质心平动自由度3个；个；（2）绕质心轴转动自由度）绕质心轴转动自由度3个个;转轴空间方位转轴空间方位2个（个（ 、b b ）+ 绕轴转动绕轴转动1个（个（q q）xzyocyz x（x、y、z）222coscoscos1 b b 由约束关系由约束关系 、b b、 只有两个独立。只有两个独立。 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心二、分子的自由度二、分子的自由度单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子多原子分子多原子分子 对非刚性分子，还有振动自由度。对非刚性
20、分子，还有振动自由度。对刚性分子，与组成原子数目有关。对刚性分子，与组成原子数目有关。8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.4.2能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理气体分子的平均平动动能表示为气体分子的平均平动动能表示为 222200001111322222txyzmmmmkT 222213xyz由由得出每个自由度分得的平均平动动能为得出每个自由度分得的平均平动动能为 2220001111(5.22)2222xyzmmmkT 在平衡态下，每个平动自由度都均分到在平衡态下，每个平动自由度都均分到 的平均动能。的平均动能。 12kT 在温度为在温度为T的平衡态下，分
21、子任一种运动形的平衡态下，分子任一种运动形式的每一个自由度都具有式的每一个自由度都具有kT/2的能量。的能量。8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心kTi2RTikTiNEmol2)2(0 RTiMmE2 说明：说明：）统计规律；）统计规律；）成立的条件；）成立的条件；）导致能均分的原因）导致能均分的原因8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心【例】试指出下列各式所表示的物理意义：【例】试指出下列各式所表示的物理意义：kT21)1(kT23)2(kTi2)3(RTi2)4(RTiMm2)6(RTMm23)5(8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学
22、中心物理教学中心例例5.22333(1)1.38 10(273 27)22tKT 21222(2)4.14 102.59 1023rtKTJeV 555(3)1.013 102.005.07 10222iiEvRTPVJ t r 一容器内贮有理想气体氧气，压强一容器内贮有理想气体氧气，压强p1.00atm，温度，温度t27.0，体积，体积V2.00m3。求：。求：（1）氧分子的平均平动动能）氧分子的平均平动动能 ；（2）氧分子的平均转动动能）氧分子的平均转动动能 ； （3）氧气的内能。）氧气的内能。解：解：氧分子为双原子分子，自由度氧分子为双原子分子，自由度i5，其中，平动自，其中，平动自由度
23、由度t3，转动自由度，转动自由度r2。由能量均分定理和。由能量均分定理和理想气体的内能公式，可得理想气体的内能公式，可得2126.21 103.88 10JeV 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心例例5.3 容积为容积为2.0 10-2 m2的密闭绝热容器中，有质量的密闭绝热容器中，有质量100g的氦气，的氦气，容器以容器以200 ms-1的速率匀速运动时突然停止，假设全部的定向运的速率匀速运动时突然停止，假设全部的定向运动的动能都转换成气体分子的热运动动能，求热平衡后氦气的内动的动能都转换成气体分子的热运动动能，求热平衡后氦气的内能、压强、温度、分子的平均动能各增加
24、多少？能、压强、温度、分子的平均动能各增加多少？解：解：由题意可知，系统全部的总质量为由题意可知，系统全部的总质量为m，摩尔质量为，摩尔质量为M，氦气的自由度，氦气的自由度i3 。停止后宏观的平动动能转。停止后宏观的平动动能转换成内能，内能的增量为换成内能，内能的增量为 2122m iEmR TM 23MTR 324.0102006.4238.31K 由理想气体的状态方程，可得到压强的变化由理想气体的状态方程，可得到压强的变化3423100.0108.316.426.67102.0104.010amRPTPVM 223222230014.01020021.3310226.0210kmEMJmN
25、NNM 氦气的内能两边求导，可得到分子平均动能的增量为氦气的内能两边求导，可得到分子平均动能的增量为 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心5.5 分子碰撞分子碰撞 平均自由程平均自由程 一、分子碰撞一、分子碰撞 在研究分子碰撞时，一般把分子看做无引力在研究分子碰撞时，一般把分子看做无引力的的刚性球刚性球，把分子间的碰撞视为，把分子间的碰撞视为弹性碰撞弹性碰撞。 对于大量分子的平衡对于大量分子的平衡系统，每个分子在单位时系统，每个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平间内与其他分子碰撞的平均次数，称为分子的均次数，称为分子的平均平均碰撞频率碰撞频率（mean collisio
26、n frequency），简称碰撞频率，简称碰撞频率，用用 表示。反映了气体分子表示。反映了气体分子碰撞的频繁程度。碰撞的频繁程度。ZAd2dd d 球心在圆柱体截球心在圆柱体截面面d d = d 2内的分子内的分子都要与都要与A球相碰。球相碰。 8/16/2022吉林大学吉林大学 物理教学中心物理教学中心平均自由程平均自由程 在时间在时间t内，内，A分子通过的路程为分子通过的路程为t，相应圆，相应圆柱体的体积为柱体的体积为d dt，在此圆柱体的总分子数为，在此圆柱体的总分子数为nd d t。所以，碰撞频率为。所以，碰撞频率为 2n utZn d utd d 可以证明分子平均速率可以证明分子平均速率 与平均与平均相对相对速率速率 的关的关 u系为系为 。2u 22(5.26)Zd n 得得 分子在连续两次碰撞间通过的路程叫分子在连续两次碰撞间通过的路程叫自由程自由程。取分子在连续两次碰撞间所经过的自由程的平均取分子在连续两次碰撞间所经过的自由程的平均值，叫分子的值，叫分子的平均自由程平均自由程（mean free path），为，为 二、平均自由程二、平均自由程215.272Zd n （）25.282kTd P （）PnkT 由由