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1、一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度速度即即sv 加速度加速度,ddtsv tvadd )dd(ddtst 即即)( sa引例：引例：变速直线运动变速直线运动例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 2. 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则: :则则阶
2、导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()3(kknnkknnvuCvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式vu 3)( vuvuvu )( vu)( vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(0)()(kknnkknnvuCvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解)20(22)20()(xeyx 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18
3、(22)19(22)20(2 xexexexxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算通过四则运算, 变量代变量代换等方法换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.1)(!)1(
4、)1( nnnxnx!)()(nxnn 例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn三、小结三、小结高阶导数的定义高阶导数的定义; ;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则( (
5、莱布尼兹公式莱布尼兹公式););n n阶导数的求法阶导数的求法; ;1.1.直接法直接法; ; 2.2.间接法间接法. .思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考题解答思考题解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )( xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 练练 习习 题题5.设设 , 存在，则存在，则 =_.6.设设 , 则则 =_.7.设设 ( 都是常数都是常数)
6、，则，则 =_.8、设、设 , 则则 =_.)(2xfy )(xf y nnnnnaxaxaxaxy 122116)10()( xxf)2(f naaa,21)(ny)()2)(1()(nxxxxxf )()1(xfn 三、试从三、试从 ，导出：，导出：ydydx 1322)(yydyxd 1、2、5233)()(3yyyydyxd 一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22cos2sin2ln2cos2xxxxxx ；3 3、232)1(xx . .练习题答案练习题答案五五、1 1、)4cos()2( nxexn ； 2 2、1)1(!2)1( nnxn； 3 3、)2(,)1(1)2(8!)1(11 nxxnnnn； 4 4、)22sin(241 nxn + +)26sin(6)24sin(4 nxnxnn. . 26 结束语结束语