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1、高三数学二轮复习专题：高三数学二轮复习专题：排列、组合与概率排列、组合与概率“排列、组合和二项式定理”在高考题中多以客观题的形式出现，考查其基本知识的应用，逻辑划分、转化等思想方法，难度不大。 “概率”是每年高考新课程卷的必考内容，客观题、 主观题均能出现， 主要考查等可能事件的概率、 互斥事件的概率、 对立事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验，难度多为中档或中档偏上。 特别指出，近几年高考中考查概率常与离散型随机变量的分布列、期望、方差相结合，复习时不可小视。专题热点：专题热点：（1）分类计数原理与分步计数原理的灵活应用。（2）排列、组合数的计算及排列、组合的综合应用。（3）利用二项式定
2、理解决展开式指定项或系数问题， 利用二项式定理解决近似估值问题。（4）等可能事件的概率公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式、事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率计算公式的独立应用，或几个方面相结合的综合问题。（5）概率与随机变量分布列、期望和方差相结合的综合题。（6）利用分类思想、化归转化思想解决排列组合和概率的问题。特别提醒：特别提醒：（1）互斥事件有一个发生的概率公式P(A+B)=P(A)+P(B)。其中“A+B”为事件A、B 中有一个发生的事件；公式适合范围是事件A 与 B 互斥；推广：若事件A1、A2、An两两互斥，则 P(A1+A2+An)=P(A1)+
3、P(A2)+ +P (An)。（2）相互独立事件同时发生的概率公式P(AB)=P(A)P(B)。其中“AB”为事件 A、B 同时发生的事件；公式适合范围是事件 A 与 B 独立；推广：若事件 A1、A2、An相互独立，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2) P (An)。（3）独立重复试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概kknk率为Pn(k) Cnp (1 p)。注意： “恰有次发生”和“指定事件发生次”的差异，kknkknk对独立重复试验来说，前者概率为Cnp (1 p)，后者的概率为p (1 p)。热点题型选讲：热点题型选讲：例例1 1、从 6
4、名短跑运动员中选出4 人参加 4100m 接力。试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？（1） 、甲不能跑第一棒和第四棒；（2） 、甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒。解析：解析： （1）方法一：优先考虑特殊位置，让其选元素，一、四棒共有 5 个元素可供选择，故2222有A5种排法；其余两棒有 4 个元素可供选择，故有A4种排法，所以有A5A4=240 种参赛方案。方法二：优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：第一类、甲不参赛有A5种排法；第二类、甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有A241313413种排法；其余 5 人占 3 个位置有A5种排法，故有A2A5种方案
5、。所以有A5+A2A5=240 种参赛方案。方法三： 先着眼于整体， 后局部剔除不合要求的参赛方案。 首先 6 个人占 4 个位置有A63434种占法； 其次， 甲跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有2A5种。 所以有A62A5=240种参赛方案。（2）方法一：优先考虑特殊位置。13112第一类、乙跑第一棒有A1A5=60 种排法；第二类、乙不跑第一棒有A4A4A4=192 种排法。故有 60+192=252 种参赛方案。方法二：优先考虑特殊元素。第一类、甲和乙都不参赛，有A4=24 种排法；第二类、甲和乙中恰有一人参赛，有133432A3A4=144（或 2C4（A4A3）=144）种排法
6、；第三类、甲和乙都用类似方法一的方法，1121122432知有A1A3A4+A2A2A4=84（或C4（A42A3+A2）=84）种排法。综上所述有424+144+84=252 种参赛方案。方法三、去杂法（淘汰法） 。共有A6=360 种参赛方案，其中不合要求的有：112 甲跑第一棒，乙跑第四棒，有A1A1A4=12 种排法；112 甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有A1A4A4=48 种排法；112 甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有A1A4A4=48 种排法；4综上所述有 360124848=252 种参赛方案。归纳总结：归纳总结： （1）排列组合问题常可以分类处理， 实现各个击破； 或分步解决， 实
7、施逐级推进；也可整体设计，避免分类分步。（2） 第一问中的三种解法是处理有限制条件的排列应用题的常用思考方法， 要准确选择简捷的方案解题需靠对题情的把握以及解题经验的积累方能做到。 一般地， 是优先位置还是元素，常根据特殊元素或特殊位置的个数来确定， 少者优先；而去杂法是在正面考虑较复杂时采用的一种方法。（3）第二问中的去杂法极易产生如下错解，即将不符合要求的方案分为如下两类：第1313一类，甲跑第一棒有A1A5=60 种排法；第二类，乙跑第四棒有A1A5=60 种排法，从而共有 3606060 = 240 种。错误在于分类重复，两类均含有甲跑第一棒同时乙跑第四棒的不合要求的 12 种情况，将
8、此种情况补全后便可产较为简捷的“去杂法” 。即共有A642A11A53+A42=250 种参赛方案。例例2 2、有 4 名男生 5 名女生全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？、甲不在中间也不在两端；、甲、乙两人必须排在两端；、男女生分别排在一起；、男女相间；、甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定。解析：解析：、方法一：元素分析法选排甲有 6 种，其余有A8种，共有 6A8=241920 种排法。方法二： 位置分析法中间和两端有A8种排法， 包括甲在内的其余 6 人有A6种排法，36故共有A8A6=336720=241920 种排法。3688方法三：等机会法9 个人的全排列有种A9，甲排
9、在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间和两端的排法总数是A9996=241920 种。9988方法四：间接法A93A8=6A8=241920 种。27、先排甲、乙，再排其余7 人，共有A2A7=10080 种排法。245、捆绑法A2A4A5=5760 种、插空法先排 4 名男生有A4种方法，再将5 名女生插空，有A5种方法，故共有45A44A55=2880 种排法。、方法一：等机会法9 人共有A9种排法，其中甲、乙、丙三人有A3种排法，因而在A种排法中每A9933种对应一种符合条件的排法，故共有939A9=60480 种排法。3A336方法二：C9A6=60480 种。归纳总结：归纳
10、总结： 解决排列、 组合综合问题的关键是认真审题， 把握问题的实质， 分清是排列问题、是组合问题、还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类。常见的解题策略有以下几种：特殊元素优先安排的策略；合理分类与准确分步的策略；排列、组合混合问题先选后排的策略；正难则反、等价转化的策略；相邻问题捆绑处理的策略；不相邻问题插空处理的策略；定序问题除法处理的策略；分排问题直排处理的策略。 1例例 3 3 、已知2x2（1）若展开式中的第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数。（2
11、）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。点拨：点拨：求展开式中二项式系数的最大值， 应根据二项式系数的性质。而求系数的最大值，则应根据该项的系数比它前一项和后一项的系数均不小的特点列式不离值。4652解析：解析： （1）CnCn 2Cnn 21n98 0n=7 或 n=15n当 n=7 时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数=C7( ) 2 31243354134T5的系数=C7( ) 2 70；22当 n=15 时，展开式中二项式系数最大的项是T8T8的系数=C14( ) 2 3432012（2）由CnCnCn 79得 n=1271277设Tk1项的系数
12、最大，则kkk1k1C 4 C4112121212(12x) ( ) (14x)kk2k1k12C124 C124129.4k10k=10展开式中系数最大的项为T11T11=( ) C124 x121210101016896x10例例 4 4、在一次口试中，要从 20 道题中随机抽出 6 道题进行回答，全部答对或对 5 道就获得优秀，答对其中的 4 道题就获得及格。某考生会回答20 道题中的 8 道题。试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？点拨：点拨：要解答以上两个问题，需要分别计算从该考生会做的8 道题中随机抽取 6 道、5 道、4 道的抽法种数，以及从
13、 20 道题中任取 6 道题的抽法种数，再根据题设要求即可求得所求的两种概率。 从 20 道题中任取 6 道题的结果数， 即是从 20 个元素中任取 6 个元素的组合数。由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等地。651解析：解析： （1）记“他至少答对 5 道题”为事件 A1，他至少答对 5 题的结果有C8C8C12 700种，则事件 A1的概率为 P(A1)=70035。6C201938(2)记“他至 少答对4 道题 ”为事 件 A2，由于他答 对 4 道题的 可能结果 有12C86C85C12C84C12 5320种，事件 A2的概率为 P(A2)=53207。6C2051答：他获得
14、优秀的概率为735，获得及格以及及格以上的概率为。511938归纳总结：归纳总结：本例考查等可能性事件、 互斥事件的定义及其概率公式， 还有分类讲座思想与逻辑思维能力。 解决这类问题的关键是正确地求出各事件所包含的基本事件总数， 然后分清事件的性质，只有对于等可能事件A 来说，才能运用公式P(A)=m，对于互斥事件 A、B、Cn只有一个发生时，才能运用公式 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)，一定要注意公式成立的前提条件。当一个事件所包含的基本事件个数的计算情况较复杂时， 不要急于求解，而是将它们分解成若干步骤和类别，然后逐步逐类求解，或者是先求此事件的对立事件的概率。排列组合问题
15、是解决概率问题的基础， 正确地计算排列数或组合数是解决概率问题的关键。 本例在计算获得优秀的概率时， 需考虑从考生会做的 8 道题中选出 6 道与 5 道的两种情况； 而在计算获得及格与及格以上的情况时， 应包括从考生会做的 8 道题中选出了 4 道以上的情况，如果有遗漏情况就会产生计算错误。例例 5 5、袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取2 个都是白球的概率为1。现有甲、乙两人从7袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止。 每个球在每一次被取出的机会是等可能的， 用表示取球终止时所需要的取球次数。求袋中原有白球的个数；求随机变量的概率分布
16、；求取到白球的概率。解析：解析： （1）设袋中原有 n 个白球，由题意知n(n1)1Cn(n1)2767C7622n27所以n(n1) 6，解得n 3，舍去n 2即袋中原有白球 3 个。（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5，P(1)34324336；P( 2) ；P(3)77677653543233432131P( 4) ；P(5) 7654357654335所以，取球次数的分布列为：；1234532631P77353535（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1 次、第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球”的事件为 A，则 P(A)=P(“=1”或“=3”或“=5”)因为“=1”
17、、 “=3” 、 “=5”事件两两互斥，所以P(A)=P(=1)+P(=3)+P(=5)=36132+=。7353535归纳总结：归纳总结：本题主要考查两个原理的应用， 等可能事件、互斥事件的概率及随机变量的概率分布。第（1）问应灵活应用正向和逆向思维。第（2）问应注意若第 1、2、3、4 次均取黑球时， 第 5 次到球必为白球 （即取球终止） ， 故取值的最大值是 5 ， 可通过P( i) 1i15检验求解的正确性。第（ 3）问体现了数学的分类思想，求解时应注意两点：一是准确转化，即“甲取到白球”等价于“事件=1、=3、=5” ；二是事件“=1” 、 “=3” 、 “=5”两两互斥。例例 6
18、 6 、甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛时采用五局三胜制（结果保留三个有效数字）（1）在前两局中乙队以 20 领先的条件下，求最后甲、乙各自获胜的概率；（2）求甲队获胜的概率。点拨：点拨： （1）甲胜：后三局甲胜乙的比分为30； “乙胜”即为“甲胜”的对立事件； （2）甲胜：甲胜乙的比为 30 或 31 或 32。解析：解析： （1）设最后甲获胜的事件为A，乙获胜的事件为B，则P(A)=0.6=0.216P(B)=1P(A)=0.784（2）设甲获胜的事件为C，其比分可能为 30 或 31 或 32322222P(C)=0.6 C30.6 0.40.6C40.6 0
19、.4 0.6 0.6833归纳总结：归纳总结：第（1）问若不能准确理解“前两局中乙队以20 领先”的条件，会误认为前两局乙胜的概率为0.4。本题主要考查对立事件、互斥事件、 独立事件的概率。对于以下几点应重视： 简化意识，第（1）问求乙胜的概率时，由于考虑到无平局情况，则利用了“乙胜与甲胜为对立事件”使问题简化。转化意识，如第（3）问将“甲胜”转化为甲胜乙的比为 30 或 31或 32（注意每种情况下最后一局应甲胜而结束） ，进而再利用独立事件或互斥事件概率公式计算。总之求较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是求事件 A 的对立事件的概率由 P(A)=1P(A)可得；二是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值。2