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1、第 1 页 共 10 页绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A= x|x|2 ，B= 2，0，1，2 ，则 AB= （A）0 ，1 （B） 1，0，1 （C） 2，0，1，2 （D） 1，0，1，2 （2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第
2、三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 10 页做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率
3、为f，则第八个单音的频率为（ A）32 f（B）322 f（ C）1252 f（D）1272 f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （6）设 a，b 均为单位向量，则“33abab ”是“ ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点 P（cos ，sin ）到直线20 xmy的距离，当 ，m 变化时， d 的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （8）设集合(, )|1,4,2,Ax yxyaxyxay则（A）对任意实数a
4、， (2,1)A（B）对任意实数a， （2，1）A（C）当且仅当af（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在 0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆22221(0)xyMabab：，双曲线22221xyNmn：若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 _；双曲线 N的离心率为 _三、解答题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题13 分）在 ABC 中， a=7，b=8，cosB=17（）求 A；（）求AC边上的高（16） （本小题14 分）如图，在三棱柱ABC
5、-111A BC中，1CC平面 ABC，D，E，F，G 分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点， AB=BC =5 ，AC=1AA=2（）求证： AC平面 BEF；（）求二面角B-CD -C1的余弦值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 10 页（）证明：直线FG 与平面 BCD 相交（17） （本小题12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四
6、类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510 好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k”表示第k类电影得到人们喜欢， “0k”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出方差1D，2D，3D，4D，5D，6D的大
7、小关系（18） （本小题 13分）设函数( )f x=2(41)43axaxa ex（）若曲线 y= f （x）在点（ 1，(1)f）处的切线与x轴平行，求 a；（）若( )f x 在x=2处取得极小值，求a的取值范围学科*网（19） （本小题14 分）已知抛物线C：2y =2px 经过点P（1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，且直线PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点， QMQO ， QNQO ，求证：11为定值（20） （本小题 14分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
8、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 10 页设n 为正整数，集合A=12|( ,),0,1,1,2, nnt tttkn对于集合A 中的任意元素12(,)nxxx和12(,)ny yy，记M（，）=111122221(|)(|)(|)2nnnnxyxyxyxyxyxy（）当 n=3 时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求 M（,）和 M（,）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集， 且满足： 对于 B 中的任意元素,，当,相同时， M
9、（，）是奇数；当,不同时， M（，）是偶数求集合B 中元素个数的最大值；学#科网（）给定不小于2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,，M（，）=0写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 10 页绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1A 2D 3B 4D 5C 6C 7C 8D二、
10、填空题963nan10121123123 13 y=sinx（不答案不唯一）14312；三、解答题（15） （共 13 分）解：（）在ABC 中， cosB=17， B（2， ）， sinB=24 31cos7B由正弦定理得sinsinabAB7sin A=84 37，sinA=32B（2， ）， A（0，2）， A=3（）在 ABC 中， sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=3114 3()2727=3 314如图所示，在ABC 中， sinC=hBC，h=sinBCC=3 33 37142，AC 边上的高为3 32（16） （共 14 分）解： （）在三棱柱AB
11、C- A1B1C1中，CC1平面 ABC，四边形A1ACC1为矩形又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，ACEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 10 页AB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（ I）知 ACEF，ACBE，EFCC1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE平面 ABC， EFBE如图建立空间直角坐称系E-xyz由题意得B（ 0，2，0） ，C（- 1，0，0） ，D（
12、1，0，1） ，F（0，0，2） ，G（0，2，1） =(20 1)=(1 2 0)CDCBuu u ruu r， ， ， ，设平面 BCD 的法向量为()a b c，n，00CDCBuu u ruurnn，2020acab，令 a=2，则 b=-1，c=- 4，平面 BCD 的法向量(214)，n，又平面CDC1的法向量为=(02 0)EBuu r， ， ，21cos=21|EBEBEBuu ruu ruu rnnn由图可得二面角B-CD- C1为钝角，所以二面角B- CD- C1的余弦值为2121（）平面BCD 的法向量为(214)，n，G（0，2，1） ，F（0，0，2） ，=(02 1
13、)GFuuu r， ，2GFuuu rn，n与 GFuu u r不垂直，GF 与平面 BCD 不平行且不在平面BCD 内， GF 与平面 BCD 相交（17） （共 12 分）解： （）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 10 页第四类电影中获得好评的电影部数是200 0.25=50故所求概率为500.02520
14、00（）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为P（ ABAB）=P（ AB ）+P（ AB）=P（A） （1 P（B） ）+（1 P（A） ）P（B） 由题意知： P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为0.25 0.8+0.75 0.2=0.35（）1D4D2D=5D3D6D（18） （共 13 分）解：（）因为( )f x =2(41)43axaxaex，所以 f （x）=2ax （4a+1） ex+ax2 （4a+1）x+4a+3ex（xR）= ax2 （2a+1）x+2exf (1)
15、=(1 a)e由题设知f (1)=0 ，即(1 a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得f （x）=ax2 （2a+1）x+2ex=（ax 1）(x 2)ex若 a12，则当 x(1a，2)时， f (x)0所以 f (x)0 在 x=2 处取得极小值若 a12，则当 x(0，2)时，x 20，ax 112x 10所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知， a的取值范围是（12，+）（19） （共 14 分）解： （）因为抛物线y2=2px 经过点 P（1，2） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
16、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 10 页所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线 l 的方程为y=kx+1（k 0） 由241yxykx得22(24)10k xkx依题意22(24)410kk，解得 k0 或 0k1又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线l 不过点（ 1，-2） 从而 k -3所以直线l 斜率的取值范围是（- ，- 3）（ - 3，0）（ 0，1） （）设A（ x1，y1） ，B（x2，y2） 由（ I
17、）知12224kxxk，1221x xk直线 PA 的方程为y2=1122(1)1yyxx令 x=0，得点 M 的纵坐标为1111212211Mykxyxx同理得点N 的纵坐标为22121Nkxyx由=QMQOuuu ruuu r，=QNQOuuu ruuu r得=1My，1Ny 所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11MNkxxx xxxkkyykxkxkx xkk所以11为定值学科 &网（20） （共 14 分）解：（）因为 =（1，1，0）， =（0，1，1），所以M( ， )=12(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0
18、-0|)=2，M( ， ） =12(1+0 |1-0 |)+(1+1 |1 1|)+(0+1 |0 1|)=1（）设 =（x1，x2，x3，x4） B，则 M( ， ）= x1+x2+x3+x4由题意知x1，x2，x3，x40，1，且M(， )为奇数，所以 x1，x2，x3，x4中 1 的个数为1 或 3所以 B(1 ，0，0，0），（ 0，1，0，0)，（ 0，0，1，0)，（ 0，0，0，1)，（ 0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
19、名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 10 页将上述集合中的元素分成如下四组：（1， 0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（ 0，1，1，1). 经验证，对于每组中两个元素 ， ，均有 M( ， ）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素所以集合B 中元素的个数不超过4. 又集合 （1， 0，0，0），（ 0，1，0，0），（ 0，0，1，0），（ 0，0，0，1)满足条件，所以集合B 中元素个数的最
20、大值为4. （）设 Sk=( x1，x2， xn）|( x1，x2， xn）A，xk =1，x1=x2=xk 1=0）（ k=1，2， n)，Sn+1=( x1，x2， xn）| x1=x2=xn=0 ，则 A=S1S1 Sn+1对于 Sk（k=1，2， n 1）中的不同元素 ， ，经验证， M( ， ) 1. 所以 Sk（k=1，2 ， n 1）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素所以 B 中元素的个数不超过n+1. 取 ek=( x1，x2， xn）Sk且 xk+1=xn=0（k=1，2， n 1）. 令 B=（e1，e2， en 1） SnSn+1，则集合 B 的元素个数为n+1，且满足条件. 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -