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1、绝密本科目考试启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z=2+i，则z z （A）3（B）5（C）3（D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）1 （B）2（C）3 （D）4（3）已知直线l的参数方程为1 3,24xtyt （t为参数），则点（1，0）到直线l的距离
2、是（A）15 （B）25 （C）45 （D）65 （4）已知椭圆2222 1xyab（ab0）的离心率为12，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x，y满足|1|xy，且y 1，则 3x+y的最大值为（A）7（B）1（C）5（D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=52lg21EE，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是 26.7，天狼星的星等是 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）10 10.1（7）设点A，B，C不
3、共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|ABACBC”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221|xyx y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）函数f（x）=sin22x的最小正周期是_（10）设等差数列a
4、n的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_ （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_ 题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经（12）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l 以其中的两个论断作为条件
5、，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（13）设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是 R上的增函数，则a的取值范围是_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大
6、值为_ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC中，a=3，bc=2，cosB=12（）求b，c的值；（）求 sin（BC）的值（16）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAE P的余弦值；（）设点G在PB上，且23PGPB判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由 题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为
7、已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经（17）（本小题 13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000（1000，2000 大于 2000 仅使用
8、 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用 A和仅使用 B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由（18）（本小题 14 分）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（）求
9、抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1 分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（19）（本小题 13 分）已知函数321()4f xxxx（）求曲线()yf x的斜率为 1 的切线方程；（）当 2,4x时，求证：6()xf xx；（）设()|()()|()F xf xx aa R，记()F x在区间 2,4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值（20）（本小题 13 分）题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直
10、程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项（i1i2im），若12miiiaaa，则称新数列12miiiaaa，为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na若pq，求证：0ma0
11、na；（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为 2s1，且长度为s末项为 2s1 的递增子列恰有 2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式 绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）B （3）D （4）B （5）C （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2 （10）0 10 （11）40 （12）若lm，l，则m.（答案不唯一）（13）1 (,0 （14）130 15 三、解答题（共6小题，共
12、80分）题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经（15）（共 13 分）解：（）由余弦定理2222cosbacacB，得 222132 32bcc .因为2bc，所以2221(2)32 32ccc .解得5c.所以7b.（）由1cos2B 得3sin2B.由正弦定理得5 3sinsin14cCBb.在ABC中，B是钝角，所以C为锐角
13、.所以211cos1 sin14CC.所以4 3sin()sincoscossin7BCBCBC.（16）（共14分）解：（）因为PA平面ABCD，所以PACD 又因为ADCD，所以CD平面PAD（）过A作AD的垂线交BC于点M 因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD 如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AEPCAP 所以12 222 2 4,33 333 3 3PFPCAFAPPF.设平面AEF的法向量为n=（
14、x，y，z），则 0,0,AEAFnn即0,2240.333yzxyz 题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经令z=1，则1,1yx 于是=(1,1,1)n 又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以3cos,|3 n pn pn p.由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为33 （）直线AG在平面AEF内 因为点
15、G在PB上，且2,(2,1,2)3PGPBPB，所以242442 2,333333 3PGPBAGAPPG.由（）知，平面AEF的法向量=(1,1,1)n.所以4220333AG n.所以直线AG在平面AEF内.（17）（共13分）解：（）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100 30 25 5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为400.4100.（）X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A
16、的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且93141()0.4,()0.63025P CP D.题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经所以(2)()()()0.24P XP CDP C P D，
17、(1)()P XP CDCD ()()()()P C P DP C P D=0.4（1 0.6）+（1 0.4）0.6 =0.52，(0)()()()0.24P XP CDP C P D.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的数学期望E（X）=00.24+10.52+20.24=1.（）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C4060P E.答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事
18、件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.（18）（共 14 分）解：（）由抛物线2:2C xpy 经过点(2,1)，得2p.所以抛物线C的方程为24xy，其准线方程为1y.（）抛物线C的焦点为(0,1)F.设直线l的方程为1(0)ykxk.由21,4ykxxy 得2440 xkx.设 1122,M x yN x y，则124x x .直线OM的方程为11yyxx.令1y ，得点A的横坐标11Ax
19、xy.题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经同理得点B的横坐标22Bxxy.设点(0,)Dn，则1212,1,1xxDAnDBnyy ，21212(1)x xDA DBny y 2122212(1)44x xnxx 21216(1)nx x 24(1)n .令0DA DB，即24(1)0n ，则1n 或3n .综上，以AB为直径的
20、圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3).（19）（共 13 分）解：（）由321()4f xxxx得23()214fxxx.令()1fx，即232114xx，得0 x 或83x.又(0)0f，88()327f，所以曲线()yf x的斜率为 1 的切线方程是yx与88273yx，即yx与6427yx.（）令()(),2,4g xf xx x.由321()4g xxx得23()24g xxx.令()0g x 得0 x 或83x.(),()g x g x的情况如下：x 2(2,0)0 8(0,)3 83 8(,4)3 4()g x 题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执
21、行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经()g x 6 0 6427 0 所以()g x的最小值为6，最大值为0.故6()0g x，即6()xf xx.（）由（）知，当3a 时，()(0)|(0)|3MFgaaa ；当3a 时，()(2)|(2)|63MFagaa ；当3a 时，()3M a.综上，当()M a最小时，3a .（20）（共13分）解：（）1，3，5，6.（答案不唯一）（）设长度为q
22、末项为0na的一个递增子列为1210,qrrrnaaaa.由pq，得10pqrrnaaa.因为na的长度为p的递增子列末项的最小值为0ma，又12,prrraaa是na的长度为p的递增子列，所以0pmraa.所以00mnaa（）由题设知，所有正奇数都是na中的项.先证明：若2m是na中的项，则2m必排在2m 1之前（m为正整数）.假设2m排在2m 1之后.设121,21mpppaaam是数列na的长度为m末项为2m 1的递增子列，则121,21,2mpppaaamm是数列na的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是na中的项.假设存在正偶数不是na中的项，设不在n
23、a中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k 1之前（k=1，2，m 1），所以2k和21k不可能在na的同一个递增子列中.又na中不超过2m+1的数为1，2，2m 2，2m 1，2m+1，所以na的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为1(1)2 2 22 1 122mmm 个.与已知矛盾.题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲
24、线恰好经最后证明：2m排在2m 3之后（m2为整数）.假设存在2m（m2），使得2m排在2m 3之前，则na的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列na只可能为2，1，4，3，2m 3，2m，2m 1，.经验证，数列2，1，4，3，2m 3，2m，2m 1，符合条件.所以1,1,nnnann为奇数，为偶数.题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知复数则执行如图所示的程序框图输出的值为已知直程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则件既不充分也不必要条件数学中有许多形状优美寓意美好的曲线曲线下列三个结论就是其中之一如图给出曲线恰好经