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1、微积分（下）内容提要、基本要求及补充习题五、定 积 分（一）、内容提要定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿莱布尼兹（ NewtonLeibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法广义积分定积分的应用（二）、基本要求1 了解定积分的的概念和基本性质，了解定积分中值定理；2 理解变上限定积分定义的函数并会求它的导数，掌握牛顿莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法与分部积分法。3会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题。3 了解广义积分的概念，会计算广义积分。（三）、补充习题1、 填空题1、(034)积分。2、(99
2、3)设有一个原函数，则。3、(003)积分。4、(963)曲线及所围图形面积为。5、设连续，则。6、。7、(043)设，则。8、（ 071）= 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2、 选择题：1、 (871)设为已知连续函数，其中，则之值。 DA) 依赖于和 ；B) 依赖于、 ; C) 依赖于、，不依赖于；D) 依赖于，不依赖于。2、 (953)曲线与轴所围图形之面积为 CA) B) C)D)3、 (023)设
3、且，则 BA)在处不连续 ；B)在连续，但在处不可导；C) 在可导 ,且D) 在可导 ,但不一定4、 (963)设在上连续，且为常数），则曲线及所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体之体积为：BA) B) C) D) 5、(064)设函数与在 0,1上连续，且，则对任何( )A) B) C) D)三、解答题1、 (963)计算2、 (923)计算3、 (933)计算4、 (964)计算5、 (004)计算6、 (013)设 求7、 (993)设连续，且，已知，求8、 (994)设连续，且，求 9、（074）设函数具有连续的一阶导数，且满足,求的表达式10、求极限11 、(043)设在连续且满足 ,
4、 证明: 12、(053)设在上的导数连续，且, 证明对任意 ,有:13、(044)设 S 为轴与曲线之间的面积，对为矩形：之面积，求之表达式，并求之最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 14、(013)已知抛物线在第一象限与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为，（1）问和为何值时，达到最大值？（2）求此最大值。答案：15、 (933)设平面图形 A由与所确定，求图形A绕直线旋转一周所得旋转体之体
5、积。答案：16、(023)设由抛物线和直线及所围成的平面区域，由抛物线和直线所围成的平面区域。1） 试求绕轴旋转一周而成的旋转体之体积 ,绕轴旋转一周而成的旋转体之体积。答案：2） 当时， +的最大值，最大值是多少？答案：六、多元函数微积分学（一）、内容提要多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念 有界闭域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法和隐函数的求导法二阶偏导数全微分多元函数极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单二重积分的计算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - （二）、基本要求1了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义2了解二元函数的极限与连续的直观意义，了解有界闭域上二元连续函数的性质。3了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会用隐函数的求导法则。4了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。4 了解二重积分的
7、概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算无界区域上的较简单的二重积分。（三）、补充习题1、 填空题：1、(954)设，可导，则。（ 2z）2、(014)设，且当时，则。()3、(994)设，其中是由确定的隐函数，则= 。(1) 4、(003)设，其中均可微，则。() 5、()981设，其中均具有二阶连续导数，则。()6、(043)函数由关系式确定，其中函数可微，且，则。()7、(053)设，则 = 。()8、(023)交换积分次序：。() 9、(011)交换积分次序： = 。() 10、(034)设，而表示全平面，则 = 。() 11、（ 073）设是二元可微函数，则
8、= 。() 12、（ 063）设函数可微，且，则在点处的全微分= 。()2、 选择题：1、 (034)设可微函数在点处取得极小值，则下面结论正确的为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - (A)(A)在处的导数等于零; (B) 在处的导数大于零;(C) 在处的导数小于零 ; (D) 在处的导数不存在。2、 (993)设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于(C)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .3、 (0
9、53)设， ，其中，则： (A)(A); (B) ; (C) ; (D) .4、 (964)累次积分可以写成 (D)(A); (B) ; (C) ; (D) 5、(063)设与均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (D) A).若 则 B). 若 则 C). 若 则 D). 若 则 6、(074)设函数连续，则二次积分等于(B) A). B). C). D).3、 解答题：1、 (024)设函数有连续的偏导数，且由方程所确定，求2、 (004)已知，求()3、 (013)设函数有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定：，求 .()4、 (033)设函数有二阶
10、连续偏导数，且满足，又，求()5、 (053)设函数有二阶连续导数，且，求 ()6、 (905)求函数在由直线轴和轴所围成的闭区域上的极值、最大值与最小值。 (在(2,1)处取得极大值 4; 在(2,1)处取得最大值 4; 在(4,2)处取得最小值 -647、 (054)求函数在上的最大值、最小值。 (得最大值 3; 在(4,2)处名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 取得最小值 -2)8、(013)二重积分之值，其
11、中是由直线及所围成的区域。()9、(004)设，而，求 ( )10、(024)设连续，且，其中：，求。 ()11、(033)二重积分之值，其中。()12、 (043)求，其中是由圆和所围成的区域。( )13、 (053)计算二重积分，其中。() 14、(063)计算二重积分，其中D是由直线所围城的平面区域. ()15、（ 073）设二元函数计算二重积分，其中 ( )七、无穷级数（一）、内容提要常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与 p级数的收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼兹定理幂级数及其收敛半径、收敛区间
12、（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式（二）、基本要求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。2掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。3了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌握交错级数的莱布
13、尼兹判别法。4会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。5了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求简单幂级数在收敛区间内的和函数。5 掌握、和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数（三）、补充习题一、填空题1. 设的部分和为 , 则_ () 2. 级数_ (2) 3. 级数_ (2) 4. 已知 , 则_ (1) 5.(924)级数的收敛域为 _ ( (0,4) )二. 选择题1. 若级数收敛 , 则下列结论中成立的为: ()必收敛 ; 未必收敛 ; ; 发散.2. 下列各项中正确的是: , 均收敛 , 则也收敛 ;若收敛 , 则, 均收敛
14、 ;若正项级数发散 , 则;若收敛 , 且. () 则也收敛 .3.(914) 设 () 则下列级数必定收敛的为: ; ; ; .4. (921)级数 其中为常数 ,则级数 : 发散; 条件收敛 ; 绝对收敛 ; 收敛性与有关5. 设, 则发散 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 ; 收敛性与值有关 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 6. 已知级数 , 则下述结论中不正确的为: 当时发散 ; 当时收敛 ;当时发散 ;
15、当时收敛 .7. 级数收敛 , 则发散; 条件收敛 ; 绝对收敛 ; 敛散性不定 .8.(053) 设. 若发散 , 收敛, 则有: 收敛, 发散; 收敛, 发散;收敛; 收敛.9. (033)设, , , 则下列命题正确的为: 若条件收敛 , 则与均收敛 ;若绝对收敛 , 则与均收敛 ;若条件收敛 , 则, 的敛散性不确定 ;若绝对收敛 , 则, 的敛散性不确定 .10. 若级数 当时发散 ,而在处收敛 ,则 1; -1; 2 ; -2.11. 对于任意 ,有= 0; 1; ; .12、(043)设有以下命题： 1)、若收敛，则收敛； 2)、若收敛，则收敛；3）、若，则发散；4）若收敛，则，
16、都收敛。则以上命题正确的是（）A).1)2) B).2)3) C).3)4) D).1)4)13、(063)若级数收敛，则级数（） A). 收敛； B) 收敛, C). 收敛; D). 收敛三. 解答题 :1. 求下列幂级数的收敛域及其和函数1) 2) 3) 2. (053)求在区间 (-1,1)内的和函数 .3. (003) , 求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4. (013)已知满足 (为正整数 )且.
17、求函数项级数之和 . ( ( )5、 (033)幂级数 1+ ( )的和函数及其极值.( 极大值 )3、 (063)求幂级数的收敛域及其和函数4、 将展成的幂级数 , 并指出其收敛域 .( )5、 (073)将展成的幂级数 , 并指出其收敛域 .6、 将下列函数展开成指定点的级数:1) 在处2) 在处七、 (043)设级数的和函数为 ,求:1) 所满足的一阶微分方程; 2) 的表达式 . 微分方程与差分方程（一）、内容提要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线
18、性差分方程微分方程与差分方程的简单应用。（二）、基本要求1了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念2掌握变量可分离的微分方程，齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。3会解二阶常系数齐次线性微分方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4会解自由项为多项式、指数函数、正项函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程5了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。6掌握一阶常系数线性差分方程的
19、求解方法。6 会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。三）、补充习题1微分方程满足的特解为 .()2（051）微分方程满足的解为 .()3（053）微分方程满足初始条件的特解为 . ()4（032）已知是微分方程的解，则的表达式为(A)5.(073)微分方程满足的特解为。()6(071)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 。 ()7（042）微分方程的特解形式可设为(A)8、设都是微分方程：的解，则该微分方程的通解为。9、差分方程的通解。()10、已知是差分方程的两个特解，则；。()11、(063)设非齐次线性微分方程有两个不同的解, 为任意常数，则该方程的通解为（ ）(B) A).
20、 B). C). D).12、求解下列微分方程：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1、 )2、 ()3、 ( )13（022）已知函数在内可导，.且满足求. ()14. (033)设,其中函数在内满足以下条件:,且, (1) 求所满足的一阶微分方程 ; () (2) 求出的表达式 . ()15. (022) 求微分方程的一个解 , 使得由曲线与直线 , 以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小. ()
21、16.(034) 设是第一象限内连接点 , 的一段曲线 , 为该曲线 上任意一点 , 点为在轴上的投影 , 为坐标原点 . 若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为. 求的表达式. ()17. 连续函数满足，求 ()18.(973) 设在上连续且 求 ()19、(044) 设具有连续偏导数，且满足, 求 所满足的一阶微分方程，并求其通解。 ()20、（073）在xoy坐标平面上，连续曲线 L过点, 其上任意点处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于（常数）1). 求L的方程; ()2). 当L与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. ()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -