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1、第一章知识点一、知识结构 : 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：集合基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合运算：交、并、补. 主要性质和运算律包含关系：等价关系：集合的运算律：交换律：结合律 : 分配律 :. 0-1 律：等幂律：求补律： A(UA=A(UA=U (UU= (U=U (UU(UA)=A 反演律： (U(AB)= (UA) (UB) (U(AB)= (UA)(UB) 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合
2、A 的基数，记为card( A)规定card() =0. 基本公式：(3) card(UA)= card(U)- card(A) （4）设有限集合A, card(A)=n,则()A 的子集个数为；()A 的真子集个数为；()A 的非空子集个数为；()A 的非空真子集个数为. （5）设有限集合A、 B、C， card(A)=n，card(B)=m,mn,则() 若,则 C的个数为；() 若,则 C的个数为；() 若,则 C的个数为；() 若,则 C的个数为 . 例 1 判定以下关系是否正确(2)1，2，33， 2，1 (4)00 分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集解根据子集、真子集
3、以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素0 的集合非空例 2 列举集合 1，2，3的所有子集分析子集中分别含1， 2，3 三个元素中的0 个， 1 个， 2 个或者 3 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 含有 1 个元素的子集有1，2，3；含有 2 个元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有 3 个元素的子集有1，2， 3共有子集8 个_分析A 中必含有元素a， b，又 A 是a，b，c，d真子
4、集，所以满足条件的A 有： a， b，a，b，ca，b，d答共 3 个说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束 分析作出 4 图形答选 C说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便点击思维例 5 设集合 Ax|x 54aa2，aR，By|y 4b24b2，b R，则下列关系式中正确的是 分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x54aa2(2a)211，y4b24b2(2b 1)211，所以它们的值域是相同的，因此AB答选 A说明：要注意集合中谁是元素M 与 P的关系是 AMUPBM P 分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：MUNU(UP)P；
5、三是利用画图的方法答选 B说明：一题多解可以锻炼发散思维例 7 下列命题中正确的是 AU(UA)A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析D 选择项中AB 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素AB答选 D说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意例 8 已知集合A2，4，6，8，9， B1，2，3，5， 8，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都
6、加2 后，就变为 A 的一个子集； 若各元素都减2 后，则变为 B的一个子集，求集合 C分析逆向操作： A中元素减2 得 0，2，4，6， 7，则 C中元素必在其中；B 中元素加2 得3，4，5，7，10，则 C中元素必在其中；所以C中元素只能是4 或 7答C4或7或4，7说明：逆向思维能力在解题中起重要作用例 9 设 S 1，2，3，4，且 MxS|x2 5xp0，若 SM1，4，则 p_分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM 1，4，M 2， 3则由韦达定理可解答p236说明：集合问题常常与方程问题相结合例 10 已知集合S 2，3，a22a3，A|a1| ，2，SA a3，求 a
7、 的值S这个集合是集合A 与集合 SA的元素合在一起 “补成” 的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用解由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足在(1)中，由得a0 依次代入检验，不合，故舍去在(2)中，由得a 3，a2，分别代入检验，a 3 不合，故舍去，a2 能满足故a2 符合题意说明：分类要做到不重不漏 AMN DM 与 N 没有相同元素分析分别令 k, ，1，0，1，2，3，, 得答选 C说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性例 1 已知 My|y x21，xR，Ny|y x21，xR则 MN 是 A0，1 B(0，1) C1
8、D以上均不对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析先考虑相关函数的值域解My|y 1，Ny|y 1，在数轴上易得MN 1选 C取值范围是 Am4Bm4 C0m4D0m4 可得 0 m 4答选 D例 3 设集合 Ax| 5x1，Bx|x 2，则 AB Ax| 5x1Bx| 5x2 Cx|x 1Dx|x 2 分析画数轴表示B)答选 D说明：集合运算借助数轴是常用技巧例 4 集合 A(x，y)|x y0，B(x，y)|x
9、 y2，则 AB_分析A B即为两条直线xy0 与 xy2 的交点集合所以 AB(1， 1)说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么B)；为 A1B2 C3 D4 分析根据交集、并集的定义，是错误的推理答选 C例 6 已知全集UR，Ax| 4x2，B x| 1x _号的值解观察数轴得， ABx| 1x2，AB (UP)x|0 x 2例 7 设 AxR|f(x) 0，BxR|g(x)0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -
10、 ACA(UR) BC A(UB) CCA B DC(UA)B 分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归xR|f(x) 0 且 g(x)0 xR|f(x) 0 xR|g(x)0 A(UB)答选 B说明：本题把分式的意义与集合相结合例 8 集合 A 含有 10 个元素，集合B含有 8 个元素，集合AB 含有 3 个元素，则集合AB 有 _个元素分析一种方法，由集合AB含有 3 个元素知， A，B仅有 3 个元素相同，根据集合元素的互异性，集合AB的元素个数为108315另一种方法，画图110 观察可得答填 15例 9 已知全集Ux|x 取不大于30 的质数 ， A，B 是 U 的两个子集，
11、且 A(UB)5，13，23，(UA)B11，19，29， (UA)(UB)3，7求 A，B分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图111 直观地求解解U 2，3，5，7，11，13， 17，19，23，29 用图形表示出A(UB)，(UA)B 及(UA)(UB)得U(AB)3，7， AB2，17，所以A2，5，13，17，23，B2，11，17，19，29说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形例 10 设集合 A x2，2x1， 4，Bx5，1 x，9，若 A B9，求 AB分析欲求 AB，需根据 AB9列出关于x 的方程， 求出 x，从而确定A、B，但若将 A、B中元素为9 的
12、情况一起考虑， 头绪太多了， 因此，宜先考虑集合A， 再将所得值代入检验解由 9A 可得 x2 9 或 2x19，解得 x 3 或 5当 x3 时， A9，5， 4，B2， 2，9，B 中元素违反互异性，故x3 应舍去；当 x 3 时， A9，7，4，B8，4，9，A B9满足题意，此时A B7，4， 8，4，9 当 x5 时，A25，9，4，B0，4，9，此时 AB4，9，这与 AB9矛盾故 x5 应舍去从而可得x 3，且 AB8， 4，4， 7，9说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的例 11 设 Ax|x2 4x0，Bx|x2 2(a1)xa210，若 ABB，求
13、 a 的值需要对 A 的子集进行分类讨论设 0B，则 a210，a 1，当 a 1 时， B0符合题意；当a 1 时， B0， 4也符合题意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 设 4B，则 a1 或 a7，当 a7 时， B4， 12不符合题意 1综上所述， a 的取值范围是a 1 或 a1例 12 (1998 年全国高考题)设集合 Mx| 1x2，Nx|x A(， 2B1， ) C(1， ) D1， 2 分析分别将集合M、N 用数轴表示，可知：k 1 时， M答选 B例 13(2000 年全国高考题 )如图 112：U 为全集， M、P、S是 U 的 3 个子集，则下图中的阴影部分为 _分析利用交集、并集、补集的意义分析解阴影部分为： (MP)(US)说明：你能否指出M(PS)是图形上的哪一区域？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -