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1、首都师范大学学报(自然科学版)第27卷 第5期2006年10月Journal of Capital Normal University(Natural Science Edition)Vol. 27 ,No. 5Otc.2006如何在Matlab中优化基本周期图法对随机信号进行的功率谱估计瞿海雁(北京工业大学建工学院,北京 100022)李 鹂 钱小凌(首都师范大学物理系,北京 100037)摘要对于一个随机信号,自相关函数往往最能完整地表征它的统计平均值.我们可以用功率谱密度( Power spectraldensity ,PS D)来表征它的统计平均谱特性.此外功率谱估计在测量噪声频谱、
2、最优化线性滤波等其他应用中也有着非常重要的作用,因此对功率谱估计如何进行优化显得更加重要.本文就如何在Matlab中优化基本周期图法对随机信号进行的功率谱估计进行了简单讨论.关键词 :功率谱, MATLAB ,随机信号.中图分类号:O 441 ,TN 911收稿日期:2005211205对于一个随机信号,不论是地震信号,还是爆炸信号 ,它本身的傅立叶变换是不存在的,因此无法像确定性信号那样用数学表达式精确地表述它,而只能用统计平均量来表征它.其中,自相关函数最能完整地表征它的统计平均值.而一个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅立叶变换.因此我们可以用功率谱密度( P ower spectr
3、aldensity,PS D) 来表征它的统计平均谱特性. 此外功率谱估计在测量噪声频谱 、 最优化线性滤波等其他应用中也有着非常重要的作用 .功率谱估计有多种方法,一般可以分为参数化方法和非参数化方法1 .由于参数方法中的参数取值相当麻烦,通常要凭实验和经验才能确定,因此往往只有在一些特殊要求的工程中才较为常用 ,因此不在此具体讨论. 而非参数方法运用比较广. 非参数方法中有周期图法、 韦尔其 (Welch) 等方法 ,这些都是一些经典谱估计的常用方法2 . 但是 ,在经典谱估计中,由于受DFT 算法影响,存在固有缺陷,比如存在泄漏误差和混迭误差,分辨率低,不适于处理短数据,谱线不平滑,起伏
4、剧烈,难以拟合出光滑曲线等等3 . 因此对经典功率谱估计如何进行优化显得更加重要.本文就如何在Matlab中优化基本周期图法对随机信号进行的功率谱估计进行了讨论 ,并且将优化后的周期图法绘出的谱估计图形与 Welch方法绘出的谱估计图形进行了比较,突出其优势 .利用周期图法进行功率谱估计的常用步骤为:首先计算出样本信号序列的傅立叶变换,然后取变换结果幅值的平方,并除以样本序列的个数N作为真实功率谱的一个估计. 这就是我们常用的基本周期图法 .本文以实例说明如何在Matlab 中优化基本周期图法对随机信号进行的功率谱估计,为了不失一般性 ,给出一随机信号:xn = sin(2pi100t) +
5、2sin (2pi200t) +randn (size( t) )其采样抽样频率为1 000Hz ,以下各例均相同.当抽样数据个数为256 个时 ,编 制 相 应 程 序 ( 见 附 录111) ,运行程序绘制功率谱估计图形如图1.通过除以样本长度N,为确保估计值渐进无偏. 然而对于确定的样本长度N而言 ,周期图法是有偏的 ,只有在N趋向于无穷大时周期图法的期望值才趋向于真实功率谱密度.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - -
6、 - 图1下面就上述的同一样本序列,采用抽样频率仍然为1 000 Hz ,但抽样数据个数为896 个时 ,编制相应程序 (见附录112) ,运行程序绘制功率谱估计图形如图 2.图2通过上两图比较发现:将数据长度为896的例子与数据长度为256的例子做比较,发现虽然随着样本长度N增长 ,估计值渐进无偏,但是随着样本长度N的增长 ,周期图法并没有变得更平滑. 可见 ,基本的周期图估计方法估计方差仍然比较大,难以满足一致性估计的条件.为此 ,希望能将基本周期图法进行改进和优化,可采用平均法思路展开,一方面将长度为N 的数据分为若干段 ,分别求出每一段的功率谱,然后加以平均,同时可以准许每段数据进行部
7、分重叠. 通过对分段数目分段大小及数据重叠数目进行权衡达到最佳优化. 具体讨论平均法降低功率谱估计的方差效果,仍然 采 用 上 述 的 同 一 样 本 序 列 , 抽 样 频 率 仍 为1 000Hertz,抽样数据个数为896个 ,分段为 1 256 、257 512 、 513 768三段 ,然后将三段数据相加除以 (3 256) ,其中每段数据互不重叠.编制相应程序(见附录 113) ,运行程序绘制功率谱估计图形如图3.数据重叠平均法为:先将数据分做 1 256 、 129图3384 、 257 512 、 385 640 、 513 768 6 41 896六段 ,然后将六段数据相加除
8、以(6 256) . 其中每段数据重叠个数为128 个 .编制相应程序( 见附录 114) ,运行程序绘制功率谱估计图形如图4.图4采用数据重叠方法后,图形变得较平滑,起到一定优化作用 . 继续通过比较数据重叠图形和数据非重叠图形结果发现:由于数据重叠,一方面使得数据偏差渐进无偏,但另一方面由于数据重叠使得数据具有统计相依性,能导致方差增大. 同时 ,随着分段的增加 ,一方面可以导致方差减小,另一方面却导致偏差增大 .用 Welch 方法编制程序(见附录 115) ,运行程序绘制功率谱估计图形如图5.图543首都师范大学学报(自然科学版)2006年名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
9、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 将 Welch方法绘制的谱估计图形与优化的谱估计图形比较,易于发现在频率300Hz 至 350Hz 这一段 ,Welch 方法为了过分追求平滑已将数据中有些部分处理掉了,在一定程度上将导致数据失真. 在这一点上优化的周期图法则将数据较好地保真. 而这一点在工程中比较重要.总之 ,当采用平均周期图估计 方 法 时 ,将 比Welch 方法能较好地保真,而且比基本周期图法具有一定的优化作用. 至于在优化过程中的分段数目、分段长短以
10、及数据重叠数目需要根据工程实际需要在估计期望值和估计方差之间则需要由工程人员进行权衡确定 .附录111fs = 1000 ; t = 0 :lfs :l ;xn = sin(23pi31003t)+ 23sin(23pi32003t ) + randn(size(t) ) ;Pxx=(abs(fft (xn , 896) ) ) . 2896 ;Pxx-short= (abs(fft (xn , 256) ) . 2256 ;figure ;plot(10003(0:128)256 , 103log10(Pxx-short(1:129) ) );title (数据长度= 256) ; ylab
11、el (功率谱( dB) ;xlabel (频率(Hz) ; grid ;112Figureplot (0 :448)8963fs , 103log10(Pxx(1 : 449) ) ) ;title (数据长度= 896) ;xlabel (频率(Hz) ; ylabel(功率谱(dB) ;grid ;113Pxx1= (abs(fft (xn(1:256) ) ) .2 + (abs(fft (xn(257 :512) ) ) ) . 2+ (abs(fft (xn(513 :768) ) ) ) .2)(25633) ;figureplot ( (0:128)2563fs , 103lo
12、g10( Pxx1(1 :129) ) ) ;title (平均周期图(非重叠) ; xlabe1(频率(Hz) ; ylabel(功率谱(dB) ;grid ;114Pxx2= (abs(fft (xn(1:256) ) ) . 2 + (abs(fft (xn(129:384) ) ) . 2+ (abs(fft (xn(257 :512) ) ) ) . 2 +(abs(fft ( xn(385 :640) ) ) ) . 2.+ ( abs (fft (xn ( 513: 768) ) ) . 2 + ( abs (fft (xn ( 641:896) ) ) ) . 2)(25636
13、) ;figureplot ( (0:128)2563fs , 103log10( Pxx2(1 :129) ) ) ;title (平均周期图(128样本重叠) ; xlabel (频率( Hz) ;ylabel (功率谱(dB) ; grid115nfft = 256 ;window = hanning(256) ;noverlap = 128; Pxx4, f = pwelch(xn ,window ,noverlap ,nfft ,fs) ;figureplot (f ,103log10(Pxx4) ) ;title (韦尔奇谱估计) ; xlabel (频率(Hz) ; ylabel
14、 (功率谱(dB) ;grid ;参考文献1 魏鑫,张平.周期图法功率谱估计中的窗函数分析J .现代电子技术,2005 , (4) :116.2 傅广操,樊明捷. Matlab在现代功率谱估计中的应用J .电脑学习,2003 ,(6) :54.3 段沛沛,罗丰.一种有效的短序列功率谱估计算法及其应用J .雷达科学与技术,2004 ,(6) :25.53第5期瞿海雁等:如何在Matlab中优化基本周期图法对随机信号进行的功率谱估计名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，
15、共 4 页 - - - - - - - - - How to Use MAT LAB to Optimize Power Spectral Estimation ofRandom Signals Treated by the Basic Period Map MethodQu Haiyan(Civil Engneeringcollege, Beijing industry University100022 )Li Li Qian Xiaoling(Departmentof Physics, Capital Normal University , Beijing10037)AbstractAs
16、for a randomsignal, self- correlatedfunction canalwaysbethe integratetokenof its statisticaverage value. Itsstatistic spectralcharacteristicscan be shownby power spectraldensity. In addition, power spectralestimationplays animportantrole in measuringnoisefrequencyspectra, optimizing linearity filtra
17、ted waveetc. S o it is of great importanceabouthow to optimize power spectralestimate. This essaydiscussedabout how to simply optimize the power spectraldensityof randomsignalsby usingbasicperiod diagramwayoften seenin practice.Key words:power spectra, Matlab, randomsignal.(上接第14页) 7 Lee T D. Phys.L
18、ett. B122(1983) 217. 8 Madea S.Lagrangian formulation on discrete systemsand concept of difference space.Math.Jap. 27(1982)345. 9 Veselov A P. Integrable systems with discrete time and difference operators. Func. Anal. Appl. 22(1988) 8393. Morse J ,Veselov A P. Discrete versionsof some classical int
19、egrable systemsandfactorization of matrix polynomials. Commun. Math. Phys.139(1991) 217243.10 Wu Y H. The generatingfuntion for the s olution of ODEs and its discrete method. C omput. Math. Appl. 15(1988)10411050.11 MarsdenJ E ,Parthrick G W ,Shkoller S.Multisympleatic geometry,variational integrato
20、rs and nonlinear PDEs. Commun. Math.Phys.199(1998) 351395.12 MarsdenJ E ,West M. Discrete mechanics and variational integrator. Acta Numerica 10(2001) 357514.13 Bridges T J. Multisymplectic Structures and Wave Propagation.Math. Proc. Camb.Phil. Soc. 121(1997) 147190.14 Olver P J. Applications of Lie
21、 Groups to DifferentialEquations.2nd Ed. S pringer-Verlag ,1993.15 Zhou B ,Guo H Y,Pan J Z ,Wu K. The Euler-Lagrange Cohomology and Geral Volume-PreservingSystems.Mod. Phys.Lett. A18(2003) ,19111923;and referencestherein. .16 Guo H Y,Pan J Z ,ZhouB. The generalizedLiouvilles theoremsvia Euler-Lagran
22、gecohomology on symplectic manifold. ArXiv :math-ph0408034.17 Li Y. Q. ,博士论文(2003) .18 Guibout V M ,Bloch A. Discrete variational principles and Hamilton-Jacobi theory for mechanical systemsand optimal controlproblems. arXiv eprint ,math. DS0409296.Variation , Discrete Difference form of Cohomology
23、and Their ApplicationWu Ke1 ,2G uo Han-ying3(1 Schoolof MathematicalScience, CNU , Beijing100037; 2 Key Laboratoryof MathematicsMechanization, CAS, Beijing100080;3 Institute of TheoreticalPhysics,CAS ,Beining100080 )AbstractBased upon review of variation principle , Euler-Lagrangecohom ology,conserv
24、ationof sym plectic structure andLiouville theoryin classicalmechanics,thenwe mainly introduce the discretedifferenceversionand methodof variationprinciple , Euler-Lagrangecohom ology , conservationof sym plectic structure and Liouville theory as well as someapplications.Key words:Discrete variation, Euler-Lagrangecohom ology, sym plectic alg orithm63首都师范大学学报(自然科学版)2006年名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -