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1、学习必备欢迎下载小学数学简便运算和巧算一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。（一）其方法有：一：利用运算定律、性质或法则。(1) 加法：交换律， a+b=b+a, 结合律， (a+b)+c=a+(b+c). (2) 减法运算性质： a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b, (a+b)-c=a-c+b=b-c+a. (3): 乘法：利用运算定律、性质或法则。交换律， ab=ba, 结合律，（ ab）c=a(b c), 分配率，（ a+b）c=ac+bc, (a-b)c=ac-b c. (4) 除法运
2、算性质：a(bc)=abc, a （bc)=abc, a bc=acb, (a+b)c=ac+bc, (a-b)c=ac-b c. 前边的运算定律、 性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中， 加号或乘号后面加上或去掉括号，。 后面数值的运算符号不变。例 1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600 （运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。例 2：657-263-257=657-257-263=400-263=147. （运用减法性质，相当加法交换律。）例 3：195-（95+2
3、4）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质）例 4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. (同上) 例 5：（0.75+125）8=0.758+1258=6+1000=1006. ( 运用乘法分配律 ) 例 6：（ 125-0.25 ）8=1258-0.25 8=1000-2=998. (同上) 例 7：（1.125-0.75 ）0.25=1.125 0.25-0.75 0.25=4.5-3=1.5 。（ 运用除法性质）例 8: (450+81) 9=4509+819=50+9=59. ( 同上，相当乘法分配律 ) 例 9： 375 （1250
4、.5 ）=375125*0.5=3*0.5=1.5. (运用除法性质 ) 例 10：4.2 （0。60.35 ）=4.20.6 0.35=70.35=20. (同上) 例 11：121250.25 8=(1258) (120.25)=1000 3=3000(运用乘法交换律和结合律 ) 例 12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227( 运用加法性质和结合律）例 13：（48253）8=488253=6253=450. (运用除法性质 , 相当加法性质 ) （5）和、差、积、商不变的规律。1：和不变：如果 a+b=c,那么，（ a+
5、d）+(b-d)=c, 2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（ a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c 3: 积不变：如果 a*b=c, 那么,(a*d)*(bd)=c, 4: 商不变：如果 a b=c, 那么， （a*d）(b*d)=c, (ad)(bd)=c. 例 14：3.48+0.98= （3.48-0.02 ）+（0.98+0.02 ）=3.46+1=4.46 （和不变）例 15：3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
6、1 页，共 15 页学习必备欢迎下载例 16： 74.6 6.4+7.46 36=7.4664+7.4636=7.46(64+36)=7.46 100=746.( 积不变和分配律）例 17: 12.250.25 =(12.25*4)(0.25*4)=49 1=49. (商不变 )。二：拆数法：（1）凑整法， 19999+1999+198+6= （19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2 =22202 (2)利用规律， 7.5 2.3+1.9 2.5-2.5 0.4=7.5 (0.4+1.9)+1.92.5 -2.5 0.4 =7.5 0.4+7.5 1.9+1.9 2.5-2.5
7、 0.4=0.4 (7.5-2.5)+1.9(7.5+2.5)=2+19=21. 2. 1992 20052005-200519921992=1992 2005(10000+1)-2005 1992(10000+1)=0 三：利用基准数： 2072+2052+2062+2042+2083= （2062x5）+10-10-20+21=10311 四：改变顺序，重新组合。（1）： （215+357+429+581 ）- （205+347+419+571 ）=215+357+429+581-205-347-419-571 =（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571
8、）=40 （2）：（ 378525）(40.8 3.78)=378 52540.8 3.78=(3783.78) (254)x(5 0.8) =100 x100 x4=40000 ，五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时，有：和 =中间数 x 个数。 当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x 个数的一半。 (1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+10=(1+10)*10 2=55. 2:求分数串的和。 因为 1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以：（1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1
9、/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11 =1/6-1/11=5/66 （2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。 +41/400-43/460 =（1/2+1/3 ）-（1/3+1/4 ）+（1/4+1/5 ）-（1/5+1/6 ）+（1/6+1/7 ）-（1/7+1/8 ）。 +（1/20+1/21 ）- （1/21+1/22 ）=1/2-1/22=5/11 3 ：变形约分法。求：（ 1.2+2.3+3.4+4.5 ）（ 12+23+34+45 ）的值。因为分母各项是分子各项的10 倍。所以有：原式 =0
10、.1 六：设数法：求（ 1+0.23+0.34 ）*（0.23+0.34+0.65 ）-（1+0.23+0.34+0.65 ）*（0.23+0.34 ）的值。 设 a=0.23+0.34 . b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-(1+b)*a =b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65. （二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题， 以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。精选学习资料 - -
11、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载一：利用数的整除特征和某些特殊规律。特殊问题来求解。重在一个“巧”。（1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13 整除。为什麽？解; 六位数 abcabc=abc1000+abc=abc1001. 1001=7 1311. 六位数 abcabc 必能被 7、11、13 整除。（2）：六位数 865abc 能被 3、4、5 整除，当这个数最小时， a,b,c 各是数字几？解 ：因为该数能被 4,5 整除,b,c 必都是零，要使该数能被3 整除，它各位数字和应能被 3 整除
12、， a 只能是 2。所以 a,b,c分别是 2 ,0 ,0。（3）：化简：（ 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）（ 888888888888） =88(888888888888)=1（111111111111）=1/12345654321. (因为： 11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321, 所以。 ) 二：估算法：求：a=1(1/1992+1/1993+1/1994+ +1/2003) 的整数部分。解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。假定除数部分各加数都是1/1992， 则 a=1(12/1992)=166
13、 。若除数部分各加数都是1/2003，则 a=1(12/2003)=166+11/12 所以它的整数部分是166。三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。（1）：除了本身， 合数 7854321的最大因数是多少？一般想法是将其分解质因数求之，但这个数很大，做起来很繁琐。巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。因为该数各位数字和能被 3 整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是： 78543213=261807。（2）：某厂人数在 90-110之间，做工间操排队时，站3 列正好；站 5列少 2 人；站 7列少 4 人，这厂有多少人？解：按所给数值正面求解很难，若换个角度
14、从反面做，把它转化为：该厂工人站 3 列多 3 人；站 5 列多 3 人；站 7 列多 3人求这厂人数的问题。即求比 3，5,7 的最小公倍数多 3 的数是多少。【 3,5,7 】=105， 105+3=108 人。这厂有 108 人。四：慎密的逻辑推理：（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5 块，则差 27 块。每人分 4 块，正好分完。这个幼儿园有多少小朋友？分了多少饼干？解：一般用方程法：设有 x 个小朋友。 5x-4x=27, x=27. 饼干为： 274=108块。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必
15、备欢迎下载巧解：每人分 4 块，正好分完，每人多分一块（5 块）差 27块，说明小朋友为：271=27个，饼干为： 274=108块 (2):某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120 盒，各卖出 164 盒后，乙剩下的是甲剩下的 3 倍，求原来两台各有多少盒磁带？一般用方程法：设甲剩x 台，乙剩 3x 台. (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180. 甲原有： 60+164=224盒， 乙原有 180+164=344盒。推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120 盒，乙是甲的 3 倍，这就转化为差倍问题了。120（3-1）=60。603=180. 甲原
16、有： 60+164=224盒， 乙原有： 180+164=344盒 (3):甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8 时，乙骑到全案程6/7 ，这时两人相距 140 米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？解： 一般方法：7/8:6/7=49:48.140 （7/8-6/7 ） =7840 ， 7840:x=49:48, x=7680 7840-7680=160米推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8 时比乙多走 140 米甲走 1/8 时比乙多走 140/7=20 米。 所以甲走 8/8（全程）时，比乙多走 140+20=160米（4）：求分母为 40 以内
17、所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3 ）+（1/4+2/4+3/4 ） +（1/5+2/5+3/5+4/5 ）+。 +39/40 解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到 1、2 、3、4/ 。 39。所以， (2039)2=390 即为所求。（5）：一正方形，当竖边减少20% ，横边增加 2 米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。解：一般思路：因为正方形面积=边长边长。所以应先求边长。. 用方程解：设正方形边长为一个单位长度， 则面积为一个单位面积。长方形的宽为： 1(1-20%)=80% 个单位长度，长为：一个单位面积80%
18、个单位长度 =1.25 个单位长度，与 2 米对应的单位长度为： 1.25-1=0.25个单位长度。所以正方形边长（一个单位长度） =20.25=8 米，正方形面积 =8x8=64平方米。很繁琐。巧解思路：因竖边减少20% ，在原图形上减少的面积与后来因横边增加 2 米，增加的面积相等。所以设原正方形边长为x 米，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载 20%x x=80%x 2 x=8米。 正方形面积 =88=64平方米 . （6）：某班有 40 名学生，考数学时有 2 人缺考，这 38人平均分数
19、是 89，这 2 名学生补考后，两人的平均成绩比全班40 人的平均成绩多 9.5 分，这两人的平均成绩是多少？解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩为 x, 则： x-(89*38+2x)40=9.5, x=99. 推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分数多 9.5 分，把 9.5 2=19补给 38 名学生，每人增加 0.5 分，所以这两人平均分 数为： 89+0.5+9.5=99。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均数的一般方法 : 公式法，平均数 =总数量总份数。但当份数相等时，巧解法： 平均数 = （第一份数量 +第二份数量 +。
20、 。 。 。 。+第 n 份数量）份数。如： 某人晨练， 第一个 5 分钟的速度是 100 米/ 分，第二个 5 分钟的速度是 110 米/ 分，求他这 10 分钟内的平均速度一般解法：平均数 =（1005+1105）(5+5)=105 米/ 分因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）2=105米/ 分。（2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100 千米的两地出发相向而行，甲速度为 6 千米/ 小时，乙速为 4 千米/ 小时，狗速为 10 千米/ 小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。直到甲乙两人相遇。这狗走了多少米？解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。相遇时走
21、的路程，再加起来是很困难的。一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间 =100（4+6）=10小时， 狗走的路程 =1010=100千米. 这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程 =100千米。总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。（三） 总练习题（用简便方法计算1-16 题，用多种方法计算 17-30 题，并指出最巧方法。 1730 题只给出巧解答案。）（1） 925-28-72+75 （2） （64125)(16 28) (3)12.34825 (4) 55 55/56 (5
22、)3.8+3.75+3.85+3.75 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载 (6)123454321 （5555555555）（1111=121, 111111=12321, 11111111=1234321.) (7)185/7-5 4/7 (8)999222+333334 (9)(4.87.5 8.1) (2.4 2.7 4) (10)8.364+1.765 （11） 12.5*(36-7.2)3.6 (12)43*11.8+860*0.91 (13)(9+2/7+7+2/9)(5/7+5/9)
23、 (14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 （15） （1+1/2+1/3+ 。 。 。 。 。+1/1999）（1/2+1/3+1/4+ 。 +1/2000）-(1+1/2+1/3+.+1/2000)(1/2+1/3+1/4.+1/1999) （15）4327-98 （16）求： 5+10+15+20+ 。 +200的和（17）比较 9/10 和 11/12 的大小。（提示：有比较分子、比较分母、比较与 1 的差、比较它们的倒数、 变成整数比较和用真分数特点比较等方法。但最巧的比较方法是用“规律”比较：分子分母都相差 1 时，分母大的分数大。）（18）比较： 2222221/22
24、22223 和 3333331/3333334 的大小。（提示：巧法是先比较他们与 1 的差。）（19）某厂工人植树，若每人植5 棵，剩 50 棵，若每人植 6 棵，差 40 棵。这厂有多少工人？他们共植多少棵树？巧解：由题意可知，每人多种1 棵，就多种 50+40=90棵，所以这场工人有 901=90人， 共植 5*90+50=500 棵。（20）张老师用 216 元买钢笔奖励学生，若每支便宜1 元，可多买 3 支，钢笔原价是多少？巧解：因为总价 =单价数量，所以把216 分解成两个数相乘有2 和108 、3 和 72 、4 和 54 、6 和 36 、8 和 27 、 9 和 24。根据题
25、意，从后两组数可知每支笔原价是9 元。（21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少1/6 ，每人捐出 20元后，李比王多 25% ，两人原来存款各是多少？巧解：由王比李少 1/6 可知 ；李存款是他两存款差的6 倍，由李比王多 25% 可知，捐出 20元后李存歀是他两存款差的5倍，捐款前后“差”不变，李捐出 20 元后，自己的钱变成“差”的5 倍，所以“差”是 20 元。李原有钱为 20*6=120 元 。王原有钱 120-20=100 元。 (22)甲乙两消防队共有 338 人，从甲队调出 1/3 ，从乙队调出 1/7 的和是 78人，甲乙两队各有多少人？巧解：假设甲乙调出的人数都扩大到3
26、 倍，则共调出 783=234，原消防队只剩乙队的4/7 ，所以原乙消防队有： （338-234）4/7=182 人，原甲队有 338-182=156 人。（23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9 ，第二天吃余下的1/8 ，第三天吃又余下的 1/7 。第八天吃余下的1/2 ，第九天吃了一个正好吃完，原有桃多少个？巧解：从题意可知：每天都吃了总数的1/9 ， （第二天吃 8/9 1/8=1/9,第三天吃 7/9*1/7=1/9.),所以桃子总数为： 11/9=9 个。 (24)妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝15 件，比规定日期晚2 天，每天缝 18件，就可提前 3 天，这批上衣是多少件？巧解：按工程问
27、题做：（2+3）（ 1/15-1/18 ）=450件。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载（25）：一架飞机的燃料最多可用6 小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/ 小时，返回时逆风，速度为1200 千米/ 小时，飞机最多飞出多远就要往回飞？巧解：按工程问题（相遇问题）思路来解答。按题意转化为往返多少千米用 6 小时。 6（1/1500+1/1200 ）=4000千米。（26）：某人卖商品，第一天按11 元/ 个的利润卖出 10 个，第二天是五一，按 5 元/ 个的利润卖出 11个，两天卖出的总价（
28、营业总额）相同，求该商品的进价？巧解：因为总价 =（利润 +进价）个数。第一天利润为1110=110元，第二天若卖 10 个，利润为 510=50元，总额少 60 元，多卖出一个，利润仅为 511=55元，第二天少得利润 60-5=55元，所以，一件商品的进价为55元。（27）一农民死前立遗嘱：要把17 头牛分给三个儿子，大儿子得1/2 ，二儿子得 1/3 ，三儿子得 1/9 ，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你应如何分？巧解：17 不是 2 、3 、9 的倍数，不能安分率分配，应把三个分率看成分牛时每人得的份数。1/2:1/3:1/9=9:6:2，所以： 17（9+6+2）=1头，三个儿子分别
29、应分： 9 头，6 头，2 头。另一巧解方法是：三个分率的分母最小公倍数是18，可以 18 头牛为单位“ 1”，进行分配。 181/2=9,18 1/3=6,18 1/9=2 (28)学校买进一批白色、 彩色粉笔， 白色是彩色的 3 倍，开学后平均每周用 36 盒白色的、 8 盒彩色的。几周后，白色的用完，彩色的还剩 36 盒，原来购进白、彩粉笔各多少盒？巧解：因为白是彩的 3 倍，若每周按比例白36盒，彩 12盒使用，則同时用完， 现在每周少用彩笔12-8=4 盒，可见用了 364=9 周，所以 白色粉笔为：369=324盒， 彩色粉笔为： 89+36=108盒。（29）前六（2），若甲、乙
30、速度不变，狗速变为15千米/ 小时，甲乙两人相遇时，狗跑了多少千米？巧解：因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比. x/100=15/10, x=150千米。（30）某蓄水池长、宽、深分别为10 米、8米、3 米。一进水管以 0.6小时使水深达 0.3 米的速度往池内放水，多少时间可放满水池？巧解：思路：水深达到3 米，就满池了。因为放水速度不变，所以水深与时间成正比， 3/0.3=x/0.6 x=6小时。或 3（0.3 0.6 ）=6小时。同学们：快来看博客上的文章吧， 它有助于你分析问题和解决问题能力的提高，大大提高你学习新知识、复习旧知识的效率。老师们：快来看吧，看后会使你增加
31、一些引导学生“复习知识”的方法，从而提高复习效率。文中不妥之处，诚请指正。谢谢。加法类似）：交换律，a*b=b*a, 结合律，（ a*b）*c=a*(b*c), 分配率，（ a+b）xc=ac+bc, (a-b)c=ac-bc. (4) 除法运算性质： （与减法类似） ，a(bc)=abc, a（bc)=abxc, abc=acb, (a+b) c=ac+bc, (a-b)c=ac-b c.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运
32、算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算符号不变。例 1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600 。（运用加法交换律和结合律） 。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。例 2： 657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。）例 3： 195- （95+24）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质）例 4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. ( 同上) 例 5： （0.75+125）8=0.758+1258
33、=6+1000=1006. ( 运用乘法分配律 ) 例 6：（ 125-0.25 ）8=1258-0.25 8=1000-2=998. (同上) 例 7： （1.125-0.75 ）0.25=1.125 0.25-0.75 0.25=4.5-3=1.5 。（ 运用除法性质）例 8: (450+81) 9=4509+819=50+9=59. ( 同上，相当乘法分配律 ) 例 9： 375 （1250.5 ）=375125*0.5=3*0.5=1.5. (运用除法性质 ) 例 10： 4.2 （0。60.35）=4.20.6 0.35=70.35=20. (同上) 例 11： 12 1250.25
34、 8=(1258) (120.25)=1000 3=3000. ( 运用乘法交换律和结合律 ) 例 12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. (运用加法性质和结合律）例 13： （48253）8=488253=6253=450. (运用除法性质 , 相当加法性质 ) （5）和、差、积、商不变的规律。1： 和不变：如果 a+b=c,那么，（ a+d）+(b-d)=c, 2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（ a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c 3: 积不变：如果 a*b=c, 那么,(a*d)*(bd)
35、=c, 4: 商不变：如果 a b=c, 那么， （a*d）(b*d)=c, (ad)(bd)=c. 例 14： 3.48+0.98= （3.48-0.02 ）+（0.98+0.02 ）=3.46+1=4.46, 。（和不变）例 15： 3576-2997= （3576+3）- （2997+3）=3579-3000=579。 （差不变）例 16： 74.6 6.4+7.46 36=7.4664+7.4636=7.46(64+36)=7.46 100=746.( 积不变和分配律）例 17: 12.250.25 =(12.25*4)(0.25*4)=49 1=49. (商不变 ) 。二：拆数法：（
36、1）凑整法， 19999+1999+198+6= （19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2 =22202 (2) 利用规律， 7.5 2.3+1.9 2.5-2.5 0.4=7.5 (0.4+1.9)+1.92.5 -2.5 0.4 =7.50.4+7.5 1.9+1.9 2.5-2.5 0.4=0.4 (7.5-2.5)+1.9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载(7.5+2.5)=2+19=21. 2. 1992 20052005-200519921992=1992 2005(10
37、000+1)-2005 1992(10000+1)=0 三：利用基准数： 2072+2052+2062+2042+2083= （2062x5）+10-10-20+21=10311 四：改变顺序，重新组合。（1）： （215+357+429+581 ）-（205+347+419+571 ）=215+357+429+581-205-347-419-571 =（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40 （2）： （378525）(40.8 3.78)=378 52540.83.78=(3783.78) (254)x(5 0.8) =100 x100 x4=4
38、0000 ，五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时，有：和 =中间数 x个数。 当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x 个数的一半。(1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+ +10=(1+10)*10 2=55. 2: 求分数串的和。因为 1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以：（1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11 =1/6-1/11=5/66 （2）：5/6-7/12+9/20-11/3
39、0+13/42-15/56+。 +41/400-43/460 = （1/2+1/3 ）-（1/3+1/4 ）+ （1/4+1/5 ）-（1/5+1/6 ）+ （1/6+1/7 ）- （1/7+1/8 ）。 +（1/20+1/21 ）-（1/21+1/22 ）=1/2-1/22=5/11 3：变形约分法。求：（ 1.2+2.3+3.4+4.5 ）（12+23+34+45 ）的值。因为分母各项是分子各项的10 倍。所以有：原式 =0.1 六：设数法：求（ 1+0.23+0.34 ）*（0.23+0.34+0.65 ）-（1+0.23+0.34+0.65 ）*（0.23+0.34 ）的值。 设 a=
40、0.23+0.34 . b=0.23+0.34+0.65. 原式=（1+a）*b-(1+b)*a =b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65. （二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题， 以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。一：利用数的整除特征和某些特殊规律。特殊问题来求解。重在一个“巧”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必
41、备欢迎下载（1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13 整除。为什麽？解; 六位数 abcabc=abc1000+abc=abc1001. 1001=71311. 六位数 abcabc 必能被 7、11、13 整除。（2）：六位数 865abc能被 3、4、5 整除，当这个数最小时， a,b,c各是数字几？解 ：因为该数能被 4,5 整除,b,c 必都是零，要使该数能被3 整除，它各位数字和应能被 3 整除， a 只能是 2。所以 a,b,c 分别是 2 ,0 ,0 。（3）：化简：（ 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）（ 888888888888）
42、=88(888888888888)=1（111111111111）=1/12345654321. (因为：11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321, 所以。 ) 二：估算法：求：a=1(1/1992+1/1993+1/1994+ +1/2003) 的整数部分。解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。假定除数部分各加数都是1/1992， 则 a=1(12/1992)=166 。若除数部分各加数都是1/2003，则 a=1(12/2003)=166+11/12 所以它的整数部分是166。三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。（1）
43、：除了本身，合数7854321的最大因数是多少？一般想法是将其分解质因数求之，但这个数很大，做起来很繁琐。巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。因为该数各位数字和能被 3 整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是： 78543213=261807。（2）：某厂人数在 90-110之间，做工间操排队时，站3 列正好；站 5列少 2 人；站7列少 4 人，这厂有多少人？解：按所给数值正面求解很难， 若换个角度从反面做， 把它转化为：该厂工人站 3 列多 3 人；站 5 列多 3 人；站 7 列多 3人求这厂人数的问题。即求比 3，5,7 的最小公倍数多 3 的数是多少。【 3,5,
44、7 】=105， 105+3=108 人。这厂有 108 人。四：慎密的逻辑推理：（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5 块，则差 27 块。每人分 4 块，正好分完。这个幼儿园有多少小朋友？分了多少饼干？解：一般用方程法：设有 x 个小朋友。 5x-4x=27, x=27. 饼干为：274=108块。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载巧解：每人分 4 块，正好分完，每人多分一块（5 块）差 27 块，说明小朋友为：271=27个，饼干为： 274=108块(2): 某商店有两个柜台，甲台比乙台的
45、磁带少120 盒，各卖出 164盒后，乙剩下的是甲剩下的 3 倍，求原来两台各有多少盒磁带？一般用方程法：设甲剩x 台，乙剩 3x 台. (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180. 甲原有： 60+164=224盒， 乙原有 180+164=344盒。推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120 盒，乙是甲的 3 倍，这就转化为差倍问题了。 120（3-1）=60。603=180. 甲原有： 60+164=224盒， 乙原有：180+164=344盒(3): 甲乙两人进行骑车比赛， 当甲骑到全程的 7/8 时，乙骑到全案程6/7 ，这时两人相距 140 米
46、。如果两人的速度不变， 当甲骑到终点时， 两人相距多少？解：一般方法： 7/8:6/7=49:48.140（7/8-6/7 ）=7840 ，7840:x=49:48, x=7680 7840-7680=160米推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8时比乙多走 140 米甲走 1/8 时比乙多走 140/7=20米。所以甲走 8/8 （全程）时，比乙多走 140+20=160米（4）：求分母为 40 以内所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3 ）+（1/4+2/4+3/4 ）+（1/5+2/5+3/5+4/5 ）+。 +39/40 解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量
47、关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到 1、2 、3、4/ 。 39。所以， (2039)2=390 即为所求。（5）：一正方形，当竖边减少20% ，横边增加 2米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。解：一般思路：因为正方形面积=边长边长。所以应先求边长。. 用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。长方形的宽为：1(1-20%)=80% 个单位长度， 长为：一个单位面积80% 个单位长度 =1.25 个单位长度，与 2 米对应的单位长度为： 1.25-1=0.25个单位长度。所以正方形边长（一个单位长度）=20.25=8 米，正方形面积 =8x8=64平方
48、米。很繁琐。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载巧解思路：因竖边减少20% ，在原图形上减少的面积与后来因横边增加 2 米，增加的面积相等。所以设原正方形边长为x 米，则： 20%x x=80%x 2 x=8米。 正方形面积 =88=64平方米. （6）：某班有 40 名学生，考数学时有2 人缺考，这 38 人平均分数是 89，这 2 名学生补考后，两人的平均成绩比全班40 人的平均成绩多9.5 分，这两人的平均成绩是多少？解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩为x,则： x-(
49、89*38+2x) 40=9.5, x=99. 推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分数多 9.5 分，把 9.52=19补给 38 名学生，每人增加 0.5 分，所以这两人平均分 数为：89+0.5+9.5=99 。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均数的一般方法 :公式法，平均数 =总数量总份数。但当份数相等时，巧解法：平均数 =（第一份数量 +第二份数量 +。 +第 n份数量）份数。如： 某人晨练，第一个5 分钟的速度是 100 米/分，第二个 5 分钟的速度是110 米/分，求他这 10 分钟内的平均速度一般解法：平均数 =（1005+1105）(5
50、+5)=105米/分因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）2=105米/分。（2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100 千米的两地出发相向而行，甲速度为 6 千米/小时，乙速为 4 千米/小时， 狗速为 10 千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。直到甲乙两人相遇。这狗走了多少米？解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。相遇时走的路程，再加起来是很困难的。一般巧解方法是： 从整体考虑， 狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间 =100（4+6）=10小时， 狗走的路程 =1010=100千米. 这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和=狗速