《2022年已知三角函数值求角、正弦定理和余弦定理 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年已知三角函数值求角、正弦定理和余弦定理 .pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.7 已知三角函数值求角正弦定理和余弦定理预备知识已知锐角，求三角函数值三角形的分类角终边上的点的坐标重点已知三角函数值，在主值区间内求出对应的角理解正弦定理和余弦定理，并能应用难点正弦定理和余弦定理的应用解斜三角形问题学习要求已知三角函数值，能在主值区间内求出对应的角掌握正弦定理和余弦定理可以解斜三角形的类型及其解法能应用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页在 4. 5 中，你已经学会如何计算已知角的三角函数的函数值可以把它分为两类，第一类，对特殊角，你应该记住函数值；第二
2、类，对一般角可以使用计算器求得函数值但在数学和实际生活中，在很多时候遇到的问题是相反的：已知三角函数值，要求相应的角的大小例如在RtABC中，已知 AC =8.5, BC =5，求A(见图 4-41)因为tanA=585.，所以问题成为已知一个角的正切，反求角A 1. 已知三角函数值求角(1) 已知特殊角三角函数值求角记得在 4.5 中，曾经要求你熟记特殊角的三角函数值吗(见表 4-2)？反过来，如果已知的三角函数值是特殊角三角函数值表中的数值姑且称其为特殊三角函数值，那么，你当然也应该立即知道角如sinx=21x=6,65；tanx=3x=3；等等求出一个或两个角后，根据三角函数的周期，还可
3、以得到无限多个角，如从 sin x=21，除了得到x=6,65外，还有x=2k +6, 2k+65( kZ) 都是满足 sin x=21的角；从 tan x=3，除了 x=3外，也还有x= k +3(kZ) 也都是满足tan x=3的角你当然会产生疑问：在这么许多可能的角中，我到底应该求哪个角？其实，只要求出一个角后，其它无限多个满足要求的角，都是可以推算出来的，至于怎么推算，除了加或减周期外，还可以用其它公式来得到，这将在第五章中介绍目前在没有介绍这些公式之前，我们的要求是 (下文中的 a，是特殊三角函数值或它们的相反数) ：已知正弦函数值sinx=a，若 a 0，求在 0 ,2内的角x；若
4、 a0，求在 -2,0) 内的角 x；已知余弦函数值cosx=a，求在 0,内的角 x；已知正切函数值tanx=a，若 a 0，求在 0,2)内的角 x；若 a0，求在(-2,0) 内的角 xA B C 5 8.5 图 4-41 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页为了叙述方便，称上面求角的范围为主值区间即对正弦函数，主值区间是 -2,2；余弦函数的主值区间是0,；正切函数的主值区间则是(-2,2)以前遇到负角，我们总是把它化为一个周期内的正角，很少直接处理负角因此首先考虑已知sinx 或 tanx 值 a0，怎么求
5、在 ( -2,0)内的角的问题只要看一下图4-42 就可以得到解答图上的圆 O 是单位圆，角x 和角 -x 的正弦线 MP, MP 、正切线 AT, AT 的数值正好互为相反数，因此sin(-x)=-sinx, tan(-x)=-tanx这样，若已知sinx 或 tanx 值 a0，你可以先求出(0,2)内的 x，满足sinx= a 或 tanx= a ，然后因为sin(-x)=-sin x=- a =a 或tan(-x)=-tan x=- a =a，因此 -x 就是要求的答案例在各三角函数的主值区间内，求满足下列要求的x：(1)sinx=-21；(2)cosx=-23；(3)tanx=1；(
6、4)tanx=-33；(5)sinx=-1；(6)cosx=22；(7)sinx=23； (8)cosx=1解(1)因为sin(-6)=-21，所以x=-6(2)因为cos65=-23，所以x=65(3)因为tan4=1，所以x=4(4)因为tan(-6)=-33，所以x=-6(5)因为sin(-2)=-1，所以x=-2(6)因为cos4=22，所以x=4T x -x O M x y A P T P 图 4-42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页(7)因为sin3=23，所以x=3(8)因为cos0=1，所以x=0
7、 课内练习 1 1. 在主值区间内，求满足下列要求的x：(1)sinx=-22； (2)cosx=-21； (3)tanx=-3；(4)tanx=-1；(5)cosx=-1；(6)cosx=0；(7)sinx= -23 (2)已知非特殊三角函数值求角如果已知的三角函数值，不是特殊角的三角函数值，可以使用计算器来求得角首先你要设定求出来的角用角度制还是弧度制表示，这你已经熟悉了，应该用MODE键切换来设定如果切换成RAD状态，求出来的角是弧度；如果切换成DEG 状态，求出来的角是角度具体求角的按键次序是：先键入三角函数值，按2ndF 键，再按一次sin-1 , 或 cos-1 , 或 tan-1
8、键，显示屏上立即显示对应的角计算器显示的仅仅是各三角函数所对应的主值区间内的 角例 2已知(1)sinx= -0.9392； (2)cosx=0.7753； (3)tanx=-0.4541；(4)cotx=0.9901；(5)sinx= 1.0211； (6)tanx=-10.0000；(7)secx=8.3233； (8)cscx=4.8858求分别以角度制和弧度制表示的角x (弧度保留四个有效数字，角度精确到分)解每题总是先求出弧度制结果，再转换成角度制因此每题解算之前，总是把角的度量制调到RAD 状态，先求出弧度制的角，再按以下顺序按键，求出角度制的角： 1802ndF2ndFDMS 题
9、号按键顺序弧度结果角度结果(1) 0.9392 +/- 2ndF sin-1 x -1.220 x -69 55(2) 0.7753 2ndF cos-1 x 0.6836 x 39 10(3) 0.4541 +/- 2ndF tan-1 x -0.4263 x -24 25(4) 0.9901 2ndF 1/x 2ndF tan-1 x 0.7904 x 45 17(5) 1.0211 2ndF sin-1E （出错）E （出错）(6) 10 +/- 2enF tan-1 x 1.471 x -84 17(7) 8.8233 2ndF 1/x 2ndF cos-1 x 1.457 x 83
10、29(8) 4.8858 2ndF 1/x 2ndF sin-1 x 0.2061 x 11 48对本题解算作几点说明输出模式设定为RAD 的前导操作，取出弧度制角后转换成角度制的后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页继操作，按键都是固定的，表上未列出，但你在解算中是不能省的第(5)题，因为 |sinx|1，所以本题题目有误(你可以强制按键来求x，看看会出现什么信息)第(4)题因为在计算器上没有cot-1键，所以，先用倒数关系tanx=xcot1,从已知 cotx=0.9901，求出 tanx=1.0100，再用 t
11、an-1键求出 x；第(7)题因为再计算器上没有sec-1键，所以，先用倒数关系cosx=xsec1,从已知 secx=8.3233，求出 cosx=0.1201，再用 cos-1键求出 x；第(8)题因为在计算器上没有csc-1键，所以，先用倒数关系sinx=xcsc1,从已知 cscx=4.8858，求出 sinx=0.2047，再用 sin-1键求出 x 课内练习 2 1. 已知(1)sinx=0.8322；(2)cosx=-0.2233； (3)tanx=17.455；(4)cotx=-1.8000；(5)cosx=-1.0100；(6)tanx=0.9995；(7)secx= -2.
12、4750； (8)cscx=9.0101求分别以角度制和弧度制表示的角x(弧度保留四个有效数字，角度精确到分 )2. 正弦定理、余弦定理你已经熟悉了直角三角形中的角与边的关系，如a=c sin , b=c cosc=22ba, ba=tan等(见图 4-43)并且，你还会应用这些关系，来解直角三角形，即已知直角三角形中某些边或角，求其余角或边但生产活动和实际生活中，遇到的未必都是直角三角形问题，有些是斜三角形问题例如为了求得不可直接到达的两点A, B 之间的距离，通常另选一点C，测得 a,b 和角(见图 4-44)如果=90 ，那是一个简单的解直角三角形问题；但若、A、 B 没有一个是90 ，
13、就是斜三角形问题了因此有必要探求在斜三角形中，内角和边之间的关系目前你所知道的关系是：大边对大(内)角，小边对小 (内 )角，这种认识太含糊了，现在我们要把这种所谓“ 对” 数字化，说得更具体一些，是边与内角的三角函数之间的关系(1) 正弦定理C A B a b c 图 4-43b A B C a 图 4-44(1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页图 4-45(1)是一个直角三角形，它的角边之间的关系已经用(1)写出，把改记为 A，表示内角A 的大小，同样， B,C 表示内角 B,C 的大小因为CF =asinB
14、=bsinA，sinC=1，所以SRtABC=21AB CF=21c b sinA=21c a sinB =21a b sinC，由此得aAs i n=bBsin=cCsin这就是说，直角三角形三个内角的正弦，与三条对边的对应比是相等的现在我们把角C 改动一下，变为图4-45(2)那样，此时，ABC 当然不再是直角三角形，但仍有CF =b sinA=a sinB, AE=c sinB=b sinCBD =c sinA=a sinC，SRtABC=21AB CF=21BC AE=21AC BD 即SRtABC=21c b sinA=21c a sinB =21a b sinC(4-7-1) 从而
15、aAs i n=bBsin=cCsin(4-7-2)即使改变 C 为图 4-45(3)那样 ( 成为钝角 )，仍然可以导出上述结果这样就可以得到两个结论：任何三角形的面积等于任意两边与其夹角的正弦的乘积之半(即(4-7-1) ；任何三角形三个内角的正弦，与三条对边的对应比是相等的(即(4-7-2) 称结论 为正弦定理 (2) 余弦定理回到图4-45(1)，对直角三角形有关系式c=22ba现在我们也把角C 改动一下，变为图4-45(2)那样非直角三角形情形，此时，c=22ba不再成立，代替它的是a2=BD2+DC2和 c2=BD2+AD2所以c2AD2+(a2-DC2) =a2+(AD2-DC2
16、)= a2+(AD +DC )(AD -DC )，因为(AD +DC )=AC=b, DC=acosC,AD -DC =(b- DC )-DC=b-2DC, 所以c2=a2+b(b-2acosC)=a2+b2-2ab cosC这表示，代替关系c=22ba的将是C A B D a b c 图 4-45(2)F E C A B D a b c 图 4-45(3)E F C A B a b c 图 4-45(1)F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页c2=a2+b2-2ab cosC(4-7-3) 比较一下 (4-7-3
17、)与直角三角形时的关系式c=22ba是相容的 (因为在直角三角形中 cosC=0)把角 C 改为角 A、角 B，作同样的推导，也可得到如下公式：a2=c2+b2-2bccosA(4-7-4) b2=c2+a2-2accosB(4-7-5) 上面推导中，我们所参看的图4-45(2)，默认是锐角如果改变C 为图 4-45(3)那样，使成为钝角，只要注意cos BC ，所以A20m) 1 卷，标志杆2 根，水准仪1 只，测锤 1 只，平板仪 1 副，带有刻度的直尺1 把，量角器1 只，铅笔 1 枝，白纸一张，图钉或胶带纸若干，大头钉几只实习步骤 ：(1)各组选定测绘点(如图 4-53 的 C 点)；
18、(2)用图钉或胶带纸把白纸固定在平板仪上；(3)架设平板仪，用水准仪校水平，用测锤定位于C，以大头钉在白纸上定位；(4)在点 A,B 处树立标志杆；(5)平板仪准线对准A 标志杆，在白纸上画CA ；(6)用皮卷尺量取CA ，按一定比例 (如 500:1)标在白纸上；(7)平板仪准线对准B 标志杆，在白纸上画CB ；(8)用皮卷尺量取CB ，以相同比例标记在白纸上，连接AB ；(9)用量角器量取ACB ，标记在白纸上；(10)用公式 (*) 算出 AB ，再以直尺量取白纸上AB 长度，按比例换算成实际长度，比较结果是否相符？若误差较大，重新测量；(11)各组交换测量结果，检验是否相同，决定评分课
19、题 2 问题类型： 求不可直接量取的目标的高度模型 ：求不可直接量取的目标AB 的高度(见图 4-54)算法原理 ：选取可直接观测到B 的点 C，再在 AC 上另找一个也可观测到B 的点 D，量取CD =b(m)，BCA = , BDA = ，计算 =CBD = - 若可求出BD，则可得AB =BD sin(*) 这样问题成为在BDC 中, 已知两角一对边的情况根据正弦定理sinsinCDBDBD =)(sinsinsinsinbCD(*) 课题内容 ：选定校园内一幢大楼M，并选取一个楼角或楼顶B 作为测点，求 B 离地面的高度A B(见图 4-55)A B C 图 4-53M B A C D
20、 b 图 4-54精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页实习准备 ：(1)选定测量目标，鲜明标志测量标准点 B；(2)学生分组：每组约5-6 名学生；(3)测绘工具：每组需用皮卷尺(长于 20m)1 把，标志杆根，测角仪1 只，测锤 1只，带有刻度的直尺1 把，量角器 1 只，铅笔 1 枝，白纸一张实习步骤 ：(1)各组选定测绘点(如图 4-55 的 C 点)，在白纸上标记点C ，过 C 画一水平线，画一垂线；(2)用测锤定位于C ，把测角仪架设于C，对测角仪校水平，量取测角仪离地面高度CC ，在白纸上以一定比例(如
21、 200:1)标记，画出CC ；(3)测角仪目镜对准目标B，读取仰角BCA ，在白纸上用量角器相应标记，画出CN；(4)测角仪目镜归水平(注意只能垂直转动，绝对不能把测角仪作任何水平转动或移动）标志杆选点于D ，使标志杆在测角仪目镜的中线位置，并使标志杆高度读数正好等于CC ；用卷尺量取C D ，标记于白纸上，画出 CC , DD ；(5)移动测角仪到D(注意不能改变高度)，校水平后，重复(3)操作，读取仰角ADB ，在白纸上相应标记，画出DM，得到交点B；(6)在白纸上过B 作垂线，与CD, C D 的延长线交于A,A ；(7)用解斜三角形公式(*) 算出BD ，公式 (*) 算出 AB ，
22、再以直尺量取白纸上AB 长度，按比例换算成实际长度，比较结果是否相符？若误差较大，重新测量；否则加上测角仪高度CC ，即为楼高；(8)各组交换测量结果，检验是否相同，决定评分本章小结1. 角的概念(1)任意角角定义正角一射线按逆时针方向，绕顶点旋转所形成的角负角一射线按顺时针方向，绕顶点旋转所形成的角零角一射线没有作任何旋转时的角(3)始边、终边相同的角的表示与角的始边、终边重合的角的全体为 | = k 360 + , kZ (3)象限角和界限角顶点在直角坐标系的原点、始边与x 轴正半轴重合，其终边落在某象B A C D 图 4-55CDAN M 精选学习资料 - - - - - - - -
23、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页限的角，按其终边所落象限不同，分别称为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角；终边落在坐标轴上的角，称为界限角2. 度量角的弧度制弧度换算公式弧长公式1 弧度 = 长等于半径的弧所对的圆心角180 = rad1 =rad.rad0174501801rad =8157357180.l=| |r ， 其 中r为圆半径, 为圆 心 角 的 弧 度数3. 任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义和定义域顶点在直角坐标系原点、始边与x 轴正半轴重合的角，在其终边上任取一点 P(x,y)，OP=r，名称定义定义域名称定义定义
24、域正弦sin =ryR余割csc =yr|k , kZ 余弦cos =rxR正割sec =xr|k +2,kZ 正切tan =xy|k +2,kZ 余切cot =yx|k , kZ (2)三角函数的符号sin ,csccos , sectan , cot(3)三角函数线如图 4-56，圆 O 为单位圆正弦线： MP，向上为正；余弦线：OM，向右为正；正切线： AT，向上为正P点坐标： (cos , sin )；sin=MP，cos =OM，tan =AT(4)同角三角函数关系(恒等式 )倒数关系商数关系平方关系tan cot =1cos sec =1sin csc =1tan =cossin，
25、cot =sincossin2+cos2=1 1+tan2=sec21+cot2=csc2(5)三角函数的基本特性xy- O+ + - xy+ O+ - xy- O+ -+ yxOAPTBr=1M图 4-56精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页周期性：正弦、余弦函数以2 为周期sin(2k +)=sin , kZ，cos(2k + )=cos , kZ；正切函数以为周期tan(k+ )=tan , kZ(6)三角函数图象作图方法：三角函数线投影法、描点法；正弦、余弦函数：五点法，正切函数：三点两线法基本图象形状：见
26、图4-57，图 4-584. 三角函数值(1)已知角，求三角函数值特殊角：见表4-1；一般角：用计算器求值(2)已知三角函数值，求角主值区间：正弦函数y= sinx：-2,2； 余弦函数 y= cosx：0, ；正切函数 y= tanx：(-2,2)求角方法：特殊角的函数值，直接写出结果；对于一般值，用计算器求(角度制或弧度制表示的)角5. 正弦定理和余弦定理及在解斜三角形中的应用定理和公式解斜三角形类型正弦定理：三角形内角的正弦与对边的对应比相等CcBbAasinsinsin已知两角夹一边；已知两边一对角 (可能二解 )；已知两角一对边余弦定理：三角形任一内角的对边的平方，等于邻边平方和减去邻边同这个内角余弦乘积的二倍a2=b2+c2-2b c cosA；b2=a2+c2-2a c cosBc2=a2+b2-2a b cosC已知三边；已知两边夹一角xy-1 1 O 22223图例： y= sinx：y= cosx：图 4-57xyO 22y=tanx图 4-58精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页