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1、第 六 节 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 最 新 考 纲 1.借 助 向 量 的 运 算，探 索 三 角 形 边 长 与 角 度 的 关 系.2.掌 握 余 弦 定 理、正 弦 定 理.考 向 预 测 考 情 分 析：利 用 正、余 弦 定 理 解 三 角 形，判 断 三 角 形 的 形 状，尤 其 是 正、余 弦 定 理 的 综 合 问 题 是 高 考 的 热 点，题 型 既 有 选 择 题、填 空 题，也 有 解 答 题.学 科 素 养：通 过 利 用 正、余 弦 定 理 解 三 角 形 考 查 数 学 运 算 的 核 心 素 养.积 累 必 备 知 识 基 础 落 实 赢 得 良
2、好 开 端 一、必 记 3 个 知 识 点 1.正 弦 定 理 _.其 中 R 是 三 角 形 外 接 圆 的 半 径.由 正 弦 定 理 可 以 变 形 为：(1)4：6：C=；(2)a=2R sin A,b=2R sin B,:(3)sinA=。，s in B=2,s in C=_等 形 式，以 解 决 不 同 的 三 角 形 问 题.2R 2R2.余 弦 定 理/=,/?2=,(?=,余 弦 定 理 可 以 变 形 为：cos A=,cos B=,cos C=3.三 角 形 面 积 公 式 SAABCW sin C=z；bc sin A=ac sin 8=带=；3+8+6 是 三 角 形
3、 内 切 圆 的 半 径)，并 2 2 2 4R 2可 由 此 计 算 R、r.二、必 明 3 个 常 用 结 论 1.在 A A B C中，两 边 之 和 大 于 第 三 边，两 边 之 差 小 于 第 三 边，A 8=b o sin AsinB=cos Acos B.2.三 角 形 中 的 三 角 函 数 关 系(l)sin(A+8)=sin C；(2)cos(A+B)=cos C；/r、.A+B C(3)sin=cos-；，八 A+B C(4)cos=sin3.三 角 形 中 的 射 影 定 理 在 ABC 中，ab cos C+c cos B；b=a cos C+c cos A：c b
4、 cos A+a cos B.三、必 练 4 类 基 础 题(一)判 断 正 误 1.判 断 下 列 说 法 是 否 正 确(请 在 括 号 中 打“J”或“义”).(1)在 ABC 中，AB 必 有 sin Asin 8.()(2)在 ABC中，若 从 则 ABC为 锐 角 三 角 形.()(3)在 ABC 中，若 A=60,i/=4V 3,h=4 2,则 N B=45或 N B=135.()(4)若 满 足 条 件 C=60。,AB=yf3,B C=a的 ABC有 两 个，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是(汽,2).()(5)在 ABC中，若 a c o s B=c o s A,则
5、ABC是 等 腰 三 角 形.()(6)在 A A B C中，若 tanA=2,ta n 8=，则 A 8C是 等 腰 三 角 形.()(二)教 材 改 编 2.必 修 5RoT4 改 编】在 ABC 中，A B=5,A C=3,B C=1,则 NBAC=()3.必 修 5 R o B组 T2改 编 在 A A B C中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 小 b,c,若 cos A,则 ABC为 _三 角 形.(三)易 错 易 混 4.(判 断 三 角 形 群 的 个 数 失 误)在 ABC中，已 知 6=4 0,c=2 0,C=6 0,则 此 三 角 形 的 解 的 情 况 是()
6、A.有 一 解 B.有 两 解 C.无 解 D.有 解 但 解 的 个 数 不 确 定 5.(忽 视 cosC=0,出 现 丢 根)在 ABC 中，角 A,B,C 满 足 sin A cos Csin 8 c o s c=0,则 三 角 形 的 形 状 为.(四)走 进 高 考 6.2021全 国 乙 卷 记 4 B C的 内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,面 积 为 遍，B=60,a2+c2=3 a c,贝!|b=.提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 利 用 正、余 弦 定 理 解 三 角 形 基 础 性 1.2022四 川 攀
7、枝 花 市 模 拟 在 ABC中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 B=1,b=3,a=V 3,则 c=()A.V3 B.2V3C.3-V 3 D.32.2022 四 川 成 都 市 测 试 设 ABC的 内 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.若 a=3b,s i n A=g,则 sin 8 的 值 为()A.B.-C.D.5 15 3 93.2022安 徽 安 庆 市 测 评 在 ABC中，a,b,c 分 别 是 乙 4,N B,/C 的 对 边.若 a,h,c 成 等 比 数 列，且/+值 岳=廿+a，则/A 的 大 小 是()A.-B.-C.D.
8、6 3 3 64.2022甘 肃 高 三 模 拟 在 ABC中，内 角 4,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若 sin4：sinB：sin C=5：7：9,则 cos C=()反 思 感 悟 用 正、余 弦 定 理 求 解 三 角 形 基 本 量 的 方 法 第 二 步 连 定 应 若 式 子 中 含 有 角 的 余 弦 或 边 的 二 次 式，则 考，:虑 用 余 弦 定 理 II _ _!若 式 子 中 含 有 角 的 正 弦 或 边 的 一 次 式，则 考 i1 虑 用 正 弦 定 理 1i 若 特 征 都 不 明 显，则*虑 两 个 定 理 都 有 可 能 用 到 I:
9、亳-4-1 利 用 正、余 弦 定 理 求 角、求 边、求 值 考 点 二 判 断 三 角 形 的 形 状 基 础 性、综 合 性 例 1 设 ABC的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若 b c o s C+c c o s 8=a s inA,则 4 B C的 形 状 为（）A.锐 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.钝 角 三 角 形 D.不 确 定 听 课 笔 记：一 题 多 变 1.（变 条 件）若 将 例 1 中“若 6 c o s C+c c o s B=a s in A”变 为“2=我，则 AABCcos B a的 形 状 为.2.（变 条 件
10、）若 将 例 1 中“若 b cos C+c c o s sin A”变 为“若：=笔，则 4ABCD COS A的 形 状 为 _反 思 感 悟 判 定 三 角 形 形 状 的 常 用 技 巧 判 定 途 径 届 m 通 过 正 弦 定 理、余 弦 定 理 化 角 为 边，通 过 代 数 迪 竺 沙 恒 等 变 换，求 出 边 与 边 之 间 的 关 系 进 行 判 断 而 公 通 过 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理，化 边 为 角，利 用 三 也 势 r 角 变 换 得 出 三 角 形 内 角 之 间 的 关 系 进 行 判 断 提 醒 注 意“等 腰 直 角 三 角 形”与“等 腰
11、三 角 形 或 直 角 三 角 形”的 区 别.【对 点 训 练】1.2022四 川 省 内 江 市 第 六 中 学 测 试 若 ABC的 三 个 内 角 满 足 sin A：sin B：sin C=7：1 1：1 3,则 ABC()A.一 定 是 锐 角 三 角 形 B.一 定 是 直 角 三 角 形 C.一 定 是 钝 角 三 角 形 D.可 能 是 锐 角 三 角 形，也 可 能 是 钝 角 三 角 形 2.2022安 徽 高 三 月 考 A 8 C的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,h,c,已 知 cos 2A 一 2 c o s A+|=0且 满 足 a=6(b c)
12、,则 ABC的 形 状 是()A.等 腰 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形 D.等 边 三 角 形 3.2022 甘 谷 县 第 四 中 学 测 试 在 ABC中，若 贝 l2 A B C的 形 状 是()A.等 腰 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形 D.等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 考 点 三 与 三 角 形 面 积、周 长、边 长 有 关 的 问 题 综 合 性 角 度 1 与 三 角 形 面 积 有 关 的 问 题 例 2 2 0 2 2江 西 五 校 联 考 在 A B C中，角 A,B,C 的 对 边
13、分 别 为 a,b,c,且 一 工=cos Ab _ 2c3cosB cosC 求 A；(2)若 4=3,求 A A B C的 面 积.听 课 笔 记：反 思 感 悟 求 三 角 形 面 积 的 方 法化 简 转 化 选 择 公 式 根 据 条 件，利 用 三 角 变 换 公 式 化 简 已 知 条 件 等 式，再 利 用 正、余 弦 定 理 化 边 或 化 角 根 据 条 件 选 择 面 积 公 式，多 用 三 角 形 的 面 积 公 式 5=+s in C=acsin B=hcain A角 度 2 与 最 值（范 围）有 关 的 问 题 例 3 在 A B C中,a,b,c 分 别 是 角
14、 A,B,C 的 对 边,且（a+c（a+b-c）=3而.求 角 C 的 值；（2）若 c=2,且 A B C为 锐 角 三 角 形，求 a+b 的 取 值 范 围.听 课 笔 记：反 思 感 悟 求 有 关 三 角 形 面 积 或 周 长 的 最 值（范 围）问 题 在 解 决 求 有 关 三 角 形 面 积 或 周 长 的 最 值（范 围）问 题 时，一 般 将 其 转 化 为 一 个 角 的 一 个 三 角 函 数，利 用 三 角 函 数 的 有 界 性 求 解，或 利 用 余 弦 定 理 转 化 为 边 的 关 系，再 应 用 基 本 不 等 式 求 解.【对 点 训 练】1.2022
15、陕 西 宝 鸡 市 测 试 A B C的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,b=V 1 3,a=1,8=6 0。，则 A B C的 面 积 为()A.V3 B.2 C.2V3 D.32.2022兰 州 市 第 二 十 七 中 学 测 试 在 A B C中，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,Z A=60,b=,S B C=则.的 值 等 于()sin A-2 sin B+sin CA 2V39 口 26V3A.-D.-3 33.2022北 京 人 大 附 中 检 测 在 A B C中，A=,则 A B C的 最 大 周 长 是（）A.2V3 B.3
16、V3 C.3+V 3 D.4+V 34.2022浙 江 高 三 模 拟 在 ABC 中，A B=A C,O 为 A C 的 中 点，A C sin A=2sin Z A B D,则 B Q=,A A B C面 积 的 最 大 值 为.微 专 题 1 9 计 算 三 角 形 中 的 未 知 量 数 学 运 算 数 学 运 算 是 在 明 晰 运 算 对 象 的 基 础 上，依 据 运 算 法 则 解 决 数 学 问 题 的 过 程.主 要 包 括：理 解 运 算 对 象、掌 握 运 算 法 则、探 究 运 算 方 向、选 择 运 算 方 法、设 计 运 算 程 序、求 得 运 算 结 果 等.例
17、 2020全 国 卷 I 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c.已 知 8=150.若=b c,b=2夕，求 4 8 C 的 面 积；(2)若 sin A+V3sin C=孝，求 C.解 析：(1)由 题 设 及 余 弦 定 理 得 2 8=3 C2+C2-2 X V 3 C2X COS 150.解 得 ci=-2(舍 去)，2=2,从 而“=275.ABC 的 面 积 为：X2百 X2X sin 150=V3.(2)在 ABC 中，A=180。-8-=3 0。一(?，所 以 sin A+百 sin C=sin(30-C)+V 3sin C=sin(3 0+O.故 sin
18、(30。+。=号 而 0 C+c)(sin A+sin Bsin C)=3a sin B.(1)求 角 C 的 大 小；(2)若。cos C+c cos 8=4,B=,求 48C 的 面 积.4第 六 节 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 积 累 必 备 知 识 1.a _ bsin A sin B=2 R sin A：sin B：sinC c=2K sin C-2+f c c s A a2+c2-2 a cCOSB+*2 a c s Caz+c2-b2Zaca2+b2-c22ab1.答 案：(1)V(2)X(3)X(4)”5)J(6)X2.解 析：在 ABC 中，设 A B=c=5,A C
19、=b=3,B C=a=7,由 余 弦 定 理 得 cos NB4Cb2+c2 a2 _ 9+2 5-4 9 _ _ 12bc 30 2 由 A G(0,兀)，得 4=与，即 NBAC=与.答 案：C3.解 析：依 题 意 得 sin C sin 8 cos A,所 以 sin(A+B)sin B cos A,即 sin B cos A+cos B sin A-s in B cos A0,所 以 cos B sin A0,于 是 有 cos31.所 以 角 B 不 存 在，即 sin B sin C c 20满 足 条 件 的 三 角 形 不 存 在，故 选 C.答 案：C5.解 析：Vsin
20、A cos Csin B cos C=0/.cos C(sin A-sin 3)=0即 cos C=0 或 sin A=sin B.若 cos C=0,则 C=90。，即 为 直 角 三 角 形；若 sinA=s i n&则 A=8.即 为 等 腰 三 角 形.答 案：直 角 三 角 形 或 等 腰 三 角 形 6.解 析：由 SZMBC=ac sin B=-ac=V3 得 ac=4.2 4由 2=2+(?24/c cos B=a1-c1aci结 合 a1+c1=3ac 得 到 从=2 a c=8,：.b=2 V 2.答 案：2 V2提 升 关 键 能 力 考 点 一 1.解 析：在 ABC
21、中，由 余 弦 定 理 得：b2a2-c22 a cco sB=3+c2V3 c 9,即/一 遍 c-6=0,解 得：c=2 g 或(舍)，/.c=2V 3.答 案：B2.解 析：由 正 弦 定 理 可 知：&=工 今=-s i n.sin A sin B-sm B 55答 案：A3.解 析：由 已 知 得=a c,因 此+O 6 c=c 2+a c可 化 为+/=苗 儿.于 是 c o sA=也 冬 尤=手，又 AC(O,7 1),所 以 4=?.ZDC L 6答 案：A4.解 析：由 正 弦 定 理：熹 bsin B=2R,得。=2R sinA,b=2R sin B,c=2R sin C,
22、又 因 为 sin A：sin B：sin C=5：7：9,所 以：b:c=5：7：9,令 a=5f,b=lt,c=9 0),诉 N _ a2+b2-c2所 以 cos C一 k2 5 t2+49产 一 81 产 2 x 5 tx 7 t110答 案：D考 点 二 例 1 解 析：因 为 b cos C+c cos B=a sin A,由 正 弦 定 理 得 sin 8 cos C+sin Ccos 8=sin2A,所 以 sin(B+C)=sin 2 4,即 sinA=sin2A.又 sin A 0,所 以 s i n A=l,所 以 A=,故 ABC为 直 角 三 角 形.故 选 B.答
23、案：B一 题 多 变 L 解 析:因 为 黑=3 由 正 弦 定 理 得 署=黑，所 以 sin 2-2氏 由:n,可 知 启 6,所 以 AWB.又 A,BG(0,i t),所 以 2A=兀-2 8,即 A+B=,所 以 C=,于 是 ABC是 直 角 三 角 形.答 案：直 角 三 角 形 2.解 析：由?=弋，得 史 丫=安，b cos A sin B cos A所 以 sin A cos A=cos B sin 8,所 以 sin 2A=sin 2B.因 为 A,8 为 ABC的 内 角，所 以 2A=28 或 2A=n2 8,所 以 A=B 或 A+B=,所 以 A A B C为 等
24、 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.答 案：等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形对 点 训 练 1.解 析：ZVIBC三 个 内 角 A,B,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,sin A：sin B：sin C=a:h:c=7：1 1：13,设=7x,b=x,c=13x,a2+b2-c2 49X2+121 X2-1 6 9 X2 1 八 C O S C=-=-=0,2ab 2x7xxllx 154 最 大 角 A 为 锐 角，,二 A BC为 锐 角 三 角 形.答 案：A2.解 析：cos 2A2cos A+|=2cos2A-1 2 c o s A+|=0,解 得 cos
25、A=1,A=g,则 Vtz=V3(Z?c),/.由 正 弦 定 理 得 sin A=V3(sin B-s in C),y=V 3sin(y-c)-sin C,争 o s C+g in C sin C=1.sin 因 为 0C(A C=7，,ZVIBC是 直 角 三 角 形.答 案：B3.解 析：由 已 知 匕 华=喀=小，得*=2 或 空=0,即 C=9 0。1-sinz B cosz B c cos B cos B c cos B或 竺 _=2,由 正 弦 定 理 得 c o 1=吧 _，即 sin Ceos C=sin Bcos 8,即 sin 2C=sin 28,YB,cos B c c
26、os B sin CC 均 为 ABC 的 内 角，：.2C=2B 2 C+2 B=1 8 0,，B=C 或 B+C=9 0。，.ABC 为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.答 案：D考 点 三 例 2 解 析：.熹=&=段.-r 讣 e/m sin A sin B 2 sin C.由 正 弦 无 理 付 二=藐 菽=百 三 即 tan A B=Itan C,tan B=3tan A,tan C=-tanA.2:在 aA B C 中，tan A=-ta n(B+C)=-ta吧 tanc1-tan BtanC*.tanK3 tan A+-tan Al-|t a n2 A解 得 2A=
27、3,即/A=一 8 或 tan A=V 3.当 时，柩 B=-3 8,tanC=-,则 A,B,C 均 为 钝 角，与 A+B+C=乃 矛 盾，故 舍 去，故 tow A=V 3,即 A=g.解 析：（2）由（1）知 S”B=3 A/5,tan C=y,.,.si B=鬻，s加 C=f3 bV a=3,1sin厂 坦 一 叵,3 14 7解 得 b=977,C=6777 7,c 1.A 1 9b 6V7 V3 2773-SAABC=-bc sin A-x x x-.例 3 解 析：（1）由 题 意 知（a+b+c）（+b c）=3”仇/.a2+h2c2=a h,由 余 弦 定 理 可 知，co
28、s C=a czab 2又 C（0,兀），A C=J解 析：（2）由 正 弦 定 理 可 知，a b 2 4y/3 日 口 43.4 遍.n-=n=,即=sin A,h=sin B,sin A sinB s i*3 3 3.a+b=（sin A+sin B）=#sin A+sin（詈 A）=2V3sin A+2cos/l=4 s i n（A+），又 A A B C为 锐 角 三 角 形,0 A,7 T 1 T=二 即 3 g3 2则 M+卜 拳，28 4 sin（A+J）4,综 上，a+b 的 取 值 范 围 为（2 g,4.对 点 训 练 1.解 析：由 余 弦 定 理 可 知，Z?2=6z
29、2+c22c-a-cosB,即 1 3=1+d 2 c co s60,整 理 得，一 c1 2=0,解 得 c=4 或 一 3（舍 去），则 SA4BC=|a-c-sin B=：X 1 X 4X sin 600=V3.答 案：A2.解 析：,.5=，csinA,2S 2V3)C=71=F-=4，bsin A 里 2.。2=扶+/-2儿 cosA=1+162X1X4X2=13,2.a=V13,.a-2b+c _ a _ 13 _2/39*sin A-2 sin B+sin C sin A 在 32答 案：A3.解 析：由 余 弦 定 理 知，a2=b2+c22hc cos A,即 3bc=S+c
30、)23,2故 3bc=(b+c)2-3W3(等)，当 且 仅 当 b=c 时 等 号 成 立 解 得(b+c)2W12,又。+c a=V 5,所 以 故 周 长+/?+cW3V5.答 案：B4.解 析：在 ABD中，4。=华，由 正 弦 定 理 得，笺=,2 sin A sinzABD 2 sinz.ABD即 ACsinA=2BOsin N A 8。，又 已 知 ACsin A=2sin N A 8 D,则 5=L设 A C=b,则 4 0=2，由 余 弦 定 理 得，以=哮 二=3 专，M s i n A=J l-(|-p)2.；5AABC=2sin A*/_,一 制 三 八 9(垓-胡+等
31、 W当 6=乎 时，ZSABC的 面 积 取 最 大 值 为|.答 案：1 1微 专 题 1 9 计 算 三 角 形 中 的 未 知 量 变 式 训 练 解 析：(1)因 为(a+b+c)(sin A+sin B sin C)=3a sin B,所 以 由 正 弦 定 理 得，(a+b+c)(a+bc)=3ab,即(+b)2 d u B o b,整 理 得 a2+b2c2=ab,所 以 由 余 弦 定 理 得 cos C=W 世=：.又 Oc 7 t,所 以 c=1(2)因 为 8=3,A+B+C=n,所 以 A=7 t-B-C=工.又 h cos C+c cos 5=4,所 以 由 余 弦 定 理 得 a2+c2-b2.c-r-=4,得=4.由 正 弦 定 理 六 百 b 付 ZH F.而 a sin B 4xsiny4=4(V 3-1),故 ABC 的 面 积 S=ab sin C=1 X 4 X 4(V 3-l)X s in g=4(3一 遮).