《2022年二级倒立摆的建模与仿真 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二级倒立摆的建模与仿真 .pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。利用拉格朗日方程得：GUrNrFrM21212121212121),(),(),(221122222212222122111122112221121121021)cos(cos)cos(cos)(coscos)(),(lMJLlMlMLlMlMlMJlMlMlMlMlMMMMM% %求取控制系统的LQR 控制器% A=0 0
2、 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 -1 0 0 0; D=0;0;0; p = eig(A) % 求向量 K Q = eye(6); R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) % 计算 LQR 控制矩阵Ac = (A-B*K); Bc = B; (,)(,)(,)L q qT q qVq q名师资料总结 - - -精品
3、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - Cc = C; Dc = D; % 计算增益Nbar Cn = 1 0 0 0 0 0; Nbar = rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn = Nbar*B; % 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线T = 0:0.005:5; U = 0.2*ones(size(T); Y,X = Lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-
4、,T,Y(:,3),-) legend(Cart Position,Pendulum Angle1,Pendulum Angle2) grid % end 由于上述程序中含有rscale 命令，MATLAB 中没有， 故建立 MATLAB 函数程序rascale。M，求取控制系统输入输出匹配系数。其程序如下：% rscale.m - % 求取输入输出匹配系数functionNbar = rscale(A,B,C,D,K) s = size(A,1); Z = zeros(1,s) 1; N = inv(A,B;C,D)*Z; Nx = N(1:s); Nu = N(1+s); Nbar = N
5、u + K*Nx; % end 运行结果：p = 8.7143 4.5782 -8.7143 -4.5782 0 0 K = 1.0000 81.6472 -92.3150 2.4191 5.4176 -16.0072 即矩阵反馈增益矩阵K=1.0000 81.6472 -92.3150 2.4191 5.4176 -16.0072 小车位置，上下摆杆角度响应曲线如下图所示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 00
6、.511.522.533.544.55-0.0500.050.10.150.2Cart PositionPendulum Angle1Pendulum Angle2执行以下命令：sys=ss(A,B,C,D); t=0:0.001:5; step(sys,t) 求取系统的单位阶跃响应（系统受外力干扰）曲线：051015To:Out(1)0123x 1017To:Out(2)00.511.522.533.544.55012x 1017To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitudecart positionbottom pendaluntop pendalum
7、小车位置，上、下摆杆传递函数如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - 1 #cart1: - s2 5.112 s2 + 1.362e-014 s - 164.1 #pendulum2: - s4 - 96.9 s2 + 5.684e-014 s + 1592 -0.0562 s2 + 3.993e-016 s + 169.7 #pendulum3: - s4 - 96.9 s2 + 5.684e-014 s +
8、1592 根轨迹分析系统的稳定性：（1）执行语句：num=0 0 1; den=1 0 0; G=tf(num,den); rlocus(G); grid -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810.340.160.9850.940.160.340.50.640.760.860.40.940.860.760.50.640.810.20.98510.60.80.60.20.4 System: G Gain: 0.981 Pole: 0 + 0.991i Damping: -6.12e-017 Overshoo
9、t (%): 100 Frequency (rad/sec): 0.991 System: G Gain: 0.359 Pole: 0 - 0.599i Damping: -6.12e-017 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/sec): 0.599 Root LocusReal AxisImaginaryAxis在原点处有一二重临界极点，小车的闭环运动系统不稳定。（2）执行命令：G=tf(5.112 1.362e-014 -164.6,1 0 -96.9 0 5.684e-014 1592); %输入系统的传递函数模型rlocus(G) %绘制系统的根轨迹图
10、如下，图中对根轨迹曲线和等阻尼线进行了处理，是显示效果更好。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - -25-20-15-10-5051015-20-15-10-5051015200.640.50.340.16250.9850.940.860.760.640.340.16150.50.76520100.860.940.985Root LocusReal AxisImaginaryAxis（3）s=tf(s); G=(-0
11、.0562*s2+3.993*s+169.7)/(s4-96.9*s2+5.684e-014*s+1592) rlocus(G); grid 运行结果：-400-300-200-1000100200300-60-40-20020406010.9980.9950.990.980.960.70.90.9980.980.960.90.73500.9950.9950002501300100150200 System: G Gain: 3.88 Pole: 6.93 + 1.24e-007i Damping: -1 Overshoot (%): Inf Frequency (rad/sec): 6.93
12、 System: G Gain: 3.88 Pole: 6.93 - 1.24e-007i Damping: -1 Overshoot (%): Inf Frequency (rad/sec): 6.93 Root LocusReal AxisImaginaryAxis从图中可以看出，摆杆2 的临界增益为K=0 0 3.88 3.88, 极点为 :6.93-1.24i, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - 6.93
13、+1.24e-007i,0,0 A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; D=0;0;0; num,den=ss2tf(A,B,C,D) % 求传递函数的脉冲响应并显示t=0:0.005:5; impulse(num,den,t) % 显示范围：横坐标0-1，纵坐标0-60，此条语句参数可根据仿真输出曲线调
14、整axis(0 1 0 60) grid 运行结果 : num = 1.0e+003 * Columns 1 through 4 0 -0.0000 0.0010 0.0000 0 -0.0000 0.0051 0.0000 0 0.0000 0.0001 -0.0000 Columns 5 through 7 -0.0969 -0.0000 1.5917 -0.1641 0 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - -
15、 -0.1697 0 0 den = 1.0e+003 * Columns 1 through 4 0.0010 0.0000 -0.0969 -0.0000 Columns 5 through 7 1.5917 0 0 printsys(num,den) num(1)/den = -8.8818e-015 s5 + 1 s4 + 3.4106e-013 s3 - 96.899 s2 - 3.4106e-012 s + 1591.6995 - s6 + 9.77e-015 s5 - 96.899 s4 - 2.2737e-013 s3 + 1591.6995 s2 num(2)/den = -
16、3.5527e-015 s5 + 5.1124 s4 + 1.1369e-013 s3 - 164.0897 s2 - s6 + 9.77e-015 s5 - 96.899 s4 - 2.2737e-013 s3 + 1591.6995 s2 num(3)/den = 2.6645e-015 s5 + 0.0562 s4 - 1.1369e-013 s3 - 169.7172 s2 - s6 + 9.77e-015 s5 - 96.899 s4 - 2.2737e-013 s3 + 1591.6995 s2 A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1; 0 0
17、 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - 0 0 1 0 0 0; D=0;0;0; num,den=ss2tf(A,B,C,D) % 求传递函数的脉冲响应并显示t=0:0.005:5; impulse
18、(num,den,t) % 显示范围：横坐标0-1，纵坐标 0-60，此条语句参数可根据仿真输出曲线调整axis(0 1 0 60) grid 绘制系统的频率特性：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - -
19、小车二级摆系统，摆起倒立控制名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - 鲁棒极点配置算法利用 K=place（A，B，p） ，求取多变量系统的的状态反馈矩阵K 。PLACE（）并不适用与多重期望极点的问题，而ACKER （）函数可以求解配置多重极点的问题。程序如下：A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0
20、-32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; D=0;0;0; r=rank(ctrb(A,B) p=-1 -2 -3 -4 -1+i 1-i; %期望极点位置K=place(A,B,p) %系统极点配置eig(A-B*K) %闭环极点显示及检验运行结果：r=6 系统完全可控。K = Columns 1 through 4 -0.0000 + 0.0302i 25.9743 + 0.3942i -15.8760 - 0.8108i -0.0000 + 0.0628i
21、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - Columns 5 through 6 1.9803 - 0.0107i -2.2093 - 0.1434i 极点：Columns 1 through 4 -4.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.0000i -3.0000 + 0.0000i -2.0000 + 0.0000i Columns 5 through 6 -1.0000 - 1.0000i -1
22、.0000 - 0.0000i %状态空间方程A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; D=0;0;0; G=ss(A,B,C,D); sys=tf(G); Q=1.6*eye(6); R=100; K,S=lqr(A,B,Q,R) %状态反馈矩阵K 和 Riccati 方程的解运行结果：K = 1.41
23、42 86.5086 -101.3267 3.1879 5.5368 -17.6869 S = 3.6066 6.2641 -20.0104 3.2650 -0.3760 -3.7650 6.2641 269.7085 -385.9447 14.4963 11.4623 -69.2064 -20.0104 -385.9447 683.6225 -41.3416 -9.1360 124.3301 3.2650 14.4963 -41.3416 5.8719 -0.5648 -7.7286 -0.3760 11.4623 -9.1360 -0.5648 0.9934 -1.5065 -3.7650
24、 -69.2064 124.3301 -7.7286 -1.5065 22.7885 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - -0.0500.05To:Out(2)00.511.522.533.544.55-0.04-0.0200.02To:Out(3)-0.500.51To:Out(1)Step ResponseTime (sec)Amplitude-0.100.1To:Out(1)-10-505x 10-3To:
25、Out(2)0123456-10-505x 10-3To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitude-0.0200.020.04To:Out(1)-4-202x 10-3To:Out(2)0123456-4-202x 10-3To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitude图 1 Q=1.6*eye(6),R=0.8 图 2 Q=100*eye(6),R=0.8 图 3 Q=1000*eye(6) 反馈增益随Q 加权矩阵的增大而增大K = 1.4142 86.5086 -101.3267 3.1879 5.5368 -17.6
26、869 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - K = 11.1803 250.4970 -374.7099 21.5248 11.6085 -68.3226 K = 1.0e+003 * 0.0354 0.6887 -1.0939 0.0674 0.0286 -0.2013 R 的变化对输出响应、反馈增益K 的影响 :R=0.8、10、100、1000 -0.500.51To:Out(1)-0.0500.05To:
27、Out(2)00.511.522.533.544.55-0.04-0.0200.02To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitude-2024To:Out(1)-0.100.1To:Out(2)024681012-0.100.1To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitude名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - -50510To:Out(1)-0.
28、100.1To:Out(2)0510152025-0.100.1To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitude-2002040To:Out(1)-0.100.1To:Out(2)0510152025303540-0.100.1To:Out(3)Step ResponseTime (sec)AmplitudeK = 1.4142 86.5086 -101.3267 3.1879 5.5368 -17.6869 K = 0.4000 75.5046 -80.0132 1.2483 5.3279 -13.7127 K = 0.1265 72.6707 -73.76
29、95 0.6030 5.3246 -12.5506 K = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - 0.0400 71.3913 -70.8929 0.3123 5.3273 -12.0169 改进的 LQR 控制器阶跃响应时Q 的对角元素为200，100，100，0， 0，0 时，有K = 14.1421 103.5179 -168.3570 15.3030 3.7316 -30.3046 Nbar = 14 。1
30、421 14.1421Q=1。6*eye（6）时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - K = 1.2649 84.6952 -98.0122 2.9120 5.4892 -17.0693 Nbar = 1.2649 Q=diag（200 100 100 1 1 1 ）时K = 14.1421 106.3588 -172.5593 15.4781 3.8705 -31.0806 Nbar = 14.1421 名师资料
31、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 00.511.522.533.544.55-4-3-2-10123x 1018%状态空间方程A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0
32、0 0 0; 0 0 1 0 0 0; D=0; Gp=ss(A,B,C,D) %将控制过程创建为LTI 对象%可控性p=-1 -2 -3 -4 -5 -6; Co=ctrb(A,B) c_eig=rank(Co) F=place(A,B,p) F=norm(F) %求 F 的 2 范数A_cl=A-B*F eig(A_cl) %能观性Ob=obsv(A,C) O_eig=rank(Ob) L=place(A,C,p) A_ob=A-L*C eig(A_ob) x0=1;-0.75;0.4;0;-0.2;0; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
33、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - t=0:0.05:5; u=0*t; y,t,x=lsim(Gp,u,t,x0); G_ob=ss(A_ob,L,C,D) y_hat,t,x_hat=lsim(G_ob,y,t); plot(t,x_hat,t,x,-) plot(t,y_hat,t,y ,-) 运行结果：a = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0 0 0 1 0 0 x2 0 0 0 0 1 0 x3 0 0 0 0 0 1 x4 0 0 0 0 0 0 x5 0 64.97 -
34、14.87 0 0 0 x6 0 -32.48 31.93 0 0 0 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 1 x5 5.112 x6 0.0562 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 1 0 0 0 0 0 y2 0 1 0 0 0 0 y3 0 0 1 0 0 0 d = u1 y1 0 y2 0 y3 0 Continuous-time model. Co = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - -
35、 - - - - 1.0e+004 * 0 0.0001 0 0 0 0 0 0.0005 0 0.0331 0 2.3965 0 0.0000 0 -0.0164 0 -1.6007 0.0001 0 0 0 0 0 0.0005 0 0.0331 0 2.3965 0 0.0000 0 -0.0164 0 -1.6007 0 c_eig = 6 F = 0.4523 53.6711 -52.3401 1.1082 3.9878 -8.8191 f = 21.0948 A_cl = 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 -0.4
36、523 -53.6711 52.3401 -1.1082 -3.9878 8.8191 -2.3126 -209.4222 252.7183 -5.6658 -20.3874 45.0867 -0.0254 -35.4993 34.8745 -0.0623 -0.2241 0.4956 ans = -6.0000 -5.0000 -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 Ob = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - -
37、 - - - - - - 1.0e+003 * 0.0010 0 0 0 0 0 0 0.0010 0 0 0 0 0 0 0.0010 0 0 0 0 0 0 0.0010 0 0 0 0 0 0 0.0010 0 0 0 0 0 0 0.0010 0 0 0 0 0 0 0 0.0650 -0.0149 0 0 0 0 -0.0325 0.0319 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0650 -0.0149 0 0 0 0 -0.0325 0.0319 0 0 0 0 0 0 0 4.7034 -1.4404 0 0 0 0 -3.1476 1.5026 0 0 0
38、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.7034 -1.4404 0 0 0 0 -3.1476 1.5026 O_eig = 6 L = 11.0000 0 0 0 5.0000 0 0 0 5.0000 30.0000 0 0 0 70.9660 -14.8650 0 -32.4830 35.9330 A_ob = -11.0000 0 0 1.0000 0 0 0 -5.0000 0 0 1.0000 0 0 0 -5.0000 0 0 1.0000 -30.0000 0 0 0 0 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
39、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 0 -6.0000 0 0 0 0 0 0 -4.0000 0 0 0 ans = -6.0000 -5.0000 -4.0000 -1.0000 -2.0000 -3.0000 a = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 -11 0 0 1 0 0 x2 0 -5 0 0 1 0 x3 0 0 -5 0 0 1 x4 -30 0 0 0 0 0 x5 0 -6 0 0 0 0 x6 0 0 -4 0 0 0 b = u1 u2 u3 x1 11 0 0 x2 0
40、5 0 x3 0 0 5 x4 30 0 0 x5 0 70.97 -14.87 x6 0 -32.48 35.93 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 1 0 0 0 0 0 y2 0 1 0 0 0 0 y3 0 0 1 0 0 0 d = u1 u2 u3 y1 0 0 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - y2 0 0 0 y3 0 0 0 Continuous-time model. L
41、QR（）求 LQ 最优控制器A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; D=0;0;0; x=1; y=1; z=1; Q=diag(x y z 0 0 0); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) K1=K(1); Ac=A-B*K; Bc=B*K1; Cc=C; Dc=D; step(Ac,Bc,Cc
42、,Dc) K =1.0000 77.5323 -85.9784 2.0855 5.2357 -14.8258 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - -1012To:Out(1)-0.100.1To:Out(2)012345678-0.0500.05To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitudecart positionpendulum angle1pendulum angle2
43、闭还系统单位阶跃响应趋向经过略微超调后即单调衰减，仿真曲线很理想，反映了最优控制的结果。LQRY（）求 LQ 控制器A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 64.966 -14.865 0 0 0; 0 -32.483 31.933 0 0 0; B=0;0;0;1;5.1124;0.0562; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; D=0;0;0; Q=diag(1 1 1 ); R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) K1=K(1); Ac=A-B*K; Bc=B*
44、K1; Cc=C; Dc=D; step(Ac,Bc,Cc,Dc) K = 1.0000 77.5323 -85.9784 2.0855 5.2357 -14.8258 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - -1012To:Out(1)-0.100.1To:Out(2)012345678-0.0500.05To:Out(3)Step ResponseTime (sec)Amplitude与上图相比，经过最优输出反馈
45、后，闭环系统阶跃响应曲线与金国最优反馈后的阶跃响应曲线和接近。xphi1 phi2dx dphi1 dphi2dot2pendulum2x2_6To Workspace5x2_5To Workspace4x2_4To Workspace3x2_3To Workspace2x2_2To Workspace1x2_1To WorkspaceStep3Scope6Scope5Scope4Scope3Scope2Scope1ScopeDemux名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
46、25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 020400510-10-50-101-2002005101520253035404550-50050线行二次最优控制理论已成为反馈控制器设计的一种重要工具。其特点是：（1）为多变量反馈系统提供一种有效的分析方法；（2）可以适应多边量系统； （3）可以处理扰动信号和扰动噪声问题； （4）可以处理有限和无限空间问题。（1）线性最优二次控制器的设计（LQR）设状态反馈调节规律的形式是()()RUkKXk，通过使用性能指标函数（2-1）为最名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
47、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 29 页 - - - - - - - - - 小，可求得（ 2-2）所示的状态反馈矩阵：0()()()()TTrrJXk Q XkUk R Uk0()()( )()TTrrrJXk Q XkUk R Ukdt（ 2-1）1()()TTrrKHSHRHSG（2-2）示中 S 由下列 Riccati 方程获得：1()TTTTrrGSGGSHHSHRHSGQSrQ、rR为权矩阵，分别用来对状态向量X（k） ，控制量U（ k）引起的性能度量的相对重要性进行加权。在系统的仿真控制过程中，取rQ=1.6*eye(6); rR=0.8；
48、求出状态反馈矩阵 K= 1.4142 86.5086 -101.3267 3.1879 5.5368 -17.6869 。从仿真曲线可以看出， LQR 控制器对不稳定倒立摆系统的控制也是有效的。（2）线性二次输出控制器（LQY ）设输出反馈控制节律的形式为()()yUkKXk，此时可以通过使用性能指标函数（2-3）为最小，求出示（2-4）状态反馈增益矩阵：0()()()()TTyyyJYk Q Y kUkR Uk（2-3）1()()TTyyKHSHRHSG（2-4）示中 S 由下列 Riccati 方程获得：1()TTTTTyyG SGGSHHSHRHSGCQ CSyQ、yR为权矩阵，分别用来
49、对输出向量Y（k） ，控制向量U（k）引起的性能度量的相对重要性进行加权。在系统的仿真控制过程中，取yQ=5*eye(6); yR=0.6；求出状态反馈矩阵K1 =4.0000 124.9691 -167.2977 7.9776 6.8365 -29.9395。 从仿真曲线可以看出， LQY 控制器对不稳定倒立摆系统的控制很有效。仿真得到的小车位置轨迹和倒立摆上、下摆角度轨迹以及控制输出曲线如图所示。实名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 29 页 - - -
50、 - - - - - - 线为 Y 控制的情况， 虚线为 LQR 控制的情况。 从仿真曲线可以看出，LQY 控制器对不稳定倒立摆系统的控制也是有效的。-101To:Out(1)-0.100.1To:Out(2)-0.100.1To:Out(3)-101To:Out(4)-0.500.5To:Out(5)0123456-0.200.2To:Out(6)LQR ControlerLQRY ControlerStep ResponseTime (sec)Amplitude从两种控制器的仿真结果来看，LQR 控制器具有较优的鲁棒性及瞬态性，LQR 控制器的鲁棒性及瞬态性较差；但是LQR 具有较好的稳态