《2022年高考数学一轮复习第十四章推理与证明.数学归纳法对点训练理 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮复习第十四章推理与证明.数学归纳法对点训练理 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 2017 高考数学一轮复习第十四章推理与证明 14.3 数学归纳法对点训练 理1已知数列 an 的各项均为正数，bnn11nnan(nN) ，e 为自然对数的底数(1) 求函数f(x)1xex的单调区间，并比较11nn与 e 的大小；(2) 计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2bna1a2an的公式，并给出证明；(3) 令cn(a1a2an)1n，数列 an，cn 的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0 ，即x0 时，f(x) 单调递增；当f(x)0 时，f(x) 单调递减故f(x) 的单调递增区间为( ， 0) ，单调递减区间为(0 ， )
2、当x0时，f(x)f(0) 0，即 1xex. 令x1n，得 11ne1n，即 11nne.(2)b1a11 1111112；b1b2a1a2b1a1b2a222 1122(2 1)232；b1b2b3a1a2a3b1b2a1a2b3a3323 1133(3 1)343. 由此推测：b1b2bna1a2an(n1)n. 下面用数学归纳法证明. a当n1 时，左边右边2，成立b假设当nk时，成立，即b1b2bka1a2ak(k1)k. 当nk1 时，bk 1(k1) 11k1k1ak1，由归纳假设可得b1b2bkbk1a1a2akak1b1b2bka1a2akbk1ak 1(k1)k(k1) 1
3、1k1k1(k2)k1. 所以当nk1 时，也成立根据 a、b，可知对一切正整数n都成立(3) 证明：由cn的定义， ，算术- 几何平均不等式，bn的定义及得Tnc1c2c3cn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 b112b1b223b1b2b334b1b2bnnn1b11121231nn1b21231341nn1bn1nn1b111n1b2121n1bn1n1n1b11b22bnn 1111a1 1122a21
4、1nnanea1ea2 eaneSn. 即Tn1)(1) 讨论f(x) 的单调性；(2) 设a11，an1ln (an1) ，证明：2n2an3n2. 解(1)f(x) 的定义域为 (1，) ，f(x) xxa22axxa2. 当 1a0 ，f(x) 在( 1，a22a) 是增函数；若x(a22a,0) ，则f(x)0 ，f(x) 在(0，) 是增函数当a2 时，f(x) 0，f(x) 0 成立当且仅当x0，f(x) 在( 1， ) 是增函数；当a2 时，若x( 1,0) ，则f(x)0，f(x) 在( 1,0) 是增函数；若x(0 ，a22a) ，则f(x)0，f(x) 在(a22a， )
5、是增函数(2) 证明：由 (1) 知，当a2 时，f(x) 在( 1， ) 是增函数当x(0 ，) 时，f(x)f(0) 0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 即 ln (x1)2xx2(x0)又由 (1) 知，当a3 时，f(x) 在0,3) 是减函数当x(0,3)时，f(x)f(0) 0，即 ln (x1)3xx3(0 x3)下面用数学归纳法证明2n2an3n2. 当n1 时，由已知23a11，故结论成立；
6、设当nk时结论成立，即2k2ln 2k21 22k22k222k3，ak1ln (ak1)ln 3k21 33k23k233k3，即当nk1 时有2k30) ，设fn(x) 为fn1(x) 的导数，nN*. (1) 求 2f122f22的值；(2) 证明：对任意的nN*，等式nfn144fn422都成立解(1) 由已知，得f1(x) f0(x) sinxxcosxxsinxx2，于是f2(x) f1(x) cosxxsinxx2sinxx2cosxx22sinxx3，所以f1242，f222163. 故 2f122f22 1. (2) 证明：由已知，得xf0(x) sinx， 等式两边分别对x
7、求导，得f0(x)xf0(x) cosx，即f0(x) xf1(x) cosxsinx2，类似可得2f1(x) xf2(x) sinxsin(x) ，3f2(x) xf3(x) cosxsinx32，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 4f3(x) xf4(x) sinxsin(x2) 下面用数学归纳法证明等式nfn1(x) xfn(x) sinxn2对所有的nN*都成立当n1 时，由上可知等式成立假设当nk时等
8、式成立，即kfk1(x) xfk(x) sinxk2成立因为 kfk 1(x) xfk(x) kfk1(x) fk(x) xfk(x) (k1)fk(x) xfk 1(x)，sinxk2 cosxk2xk2sinxk2，所以 (k1)fk(x) xfk1(x) sinxk2. 因此当nk1 时，等式也成立综合，可知等式nfn1(x) xfn(x) sinxn2对所有的nN*都成立令x4，可得nfn 144fn4sin4n2(nN*) 所以nfn144fn422(nN*) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -