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1、压轴大题突破练压轴大题突破练 (一) ( 推荐时间： 60 分钟 ) 1 已知函数f(x) xln(1 x) a(x1) ，其中a为实常数(1) 当x1 ，) 时，f(x)0 恒成立，求a的取值范围；(2) 求函数g(x)f(x) ax1x的单调区间解(1) 由题意知：f(x) ln(1 x) x1xa0，则a0 ，即h(x) 在1 ，) 上单调递增，a1，x( 1，a2) 时，g(x)0 ，g(x) 在(a2，) 上单调递增当a1 时，g(x)0，g(x) 在( 1，) 上单调递增，综上所述，当a1 时，g(x) 的增区间为 (a2，) ，减区间为 ( 1，a2) ，当a1 时，g(x) 的
2、增区间为 ( 1，) 2 已知抛物线x24y，过点A(0,1) 任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - (1) 求OMON的值；(2) 过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论解(1) 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，联立方程组ykx1，x24y，消去y得x2
3、4kx40，所以x1x24k，x1x2 4，y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2) 1 4k24k211，故OMONx1x2y1y2413. (2) 因为x24y，所以y12x，l1的方程为yx21412x1(xx1) ，整理得y12x1xx214，同理得l2的方程为y12x2xx224；联立方程y12x1xx214，y12x2xx224，x2x1得 (x2x1)yx1x2x2x14，yx1x241，故l1与l2的交点的纵坐标等于1，即l1与l2的交点在直线y 1上3 已知函数f(x) ax3bx23x在x1 处取得极值(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求证：对于区间
4、 1,1 上任意两个自变量的值x1，x2，都有 |f(x1) f(x2)| 4；(3) 若过点A(1，m)(m2) 可作曲线yf(x) 的三条切线，求实数m的取值范围(1) 解f(x)3ax22bx3，依题意，f(1) f( 1) 0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 即3a 2b30，3a2b30，解得a1，b0. f(x) x33x. (2) 证明f(x) x33x，f(x) 3x233(x1)(x1) ，当
5、1x1 时，f(x)0，g10，解得 3m2. 故所求的实数m的取值范围是 ( 3，2) 4 已知点A(x1，y1) ，B(x2，y2) 是抛物线y24x上相异的两点，且满足x1x22. (1) 若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2) 若AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程解(1) 当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为ykxb，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - -
6、 - - - - - 代入方程y24x得：k2x2(2kb4)xb20，有x1x242kbk22 得b2kk，直线AB的方程为yk(x1) 2k，AB中点的横坐标为1，AB中点的坐标为1，2k，AB的中垂线方程为y1k(x1) 2k1kx3k，AB的中垂线经过点P(0,2) ，故3k2 得k32，故直线AB的方程y32x16，即 9x6y10. (2) 由(1) 可知AB的中垂线方程为y1kx3k，M点的坐标为 (3,0)直线AB的方程为k2xky2k20，M到直线AB的距离d|3k22k2|k4k22k21|k|，由k2xky2k20y24x得k24y2ky2k20，y1y24k，y1y284k2k2，|AB| 11k2|y1y2| 41k2k21k2，SAMB4 11k211k2，设11k2t，则 0t1，S4t(2 t2) 4t38t，S 12t28，由S0，得t63，即k3时，Smax1669，直线AB的方程为 3x3y10. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -