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1、2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案题号一二三合计（11）（12）（13）（14）（15）得分评卷员ABCD2. C. 考虑对立事件：a 与 b，c 与 d，e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 , 而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：. 3定义两种运算： ， ，则函数为（）（A）奇函数（B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（D）非奇函数且非偶函数3A2222222222( )( 2,2)|2| 2(2)2xxxf xxxxx.4圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点 若起跳点为奇
2、数， 则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数， 则落点与起跳相隔一个点该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ) A4 B3 C2 D1 4D二、填空题：本大题共6 小题，每小题6 分，共 36 分把答案填在题中横线上5.已知方程x2+(4+i) x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z= .5.2-2i.由题意知 b2+(4+i) b+4+ai=0( a,bR),即 b2+4b+4+( a+b)i=0. 由复数相等可得：即 z=2-2i. 6在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6(
3、0,5).方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为m=,即得 , 5|32|)1(522yxyxm其表示双曲线上一点（x,y)到定点（ 0,-1)与定直线x-2y+3=0 之比为常数e=,又由 e1,可得 0m5. 7直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2=50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7） 、 （5，5） 、 （7，1） ，则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线
4、也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 17如图的三角形数阵中，满足：（1）第 1 行的数为1； （ 2）第 n（n2) 行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加则第 n 行(n 2) 中第 2个数是 _ （用 n 表示）. 122343477451114
5、1156162525166LLL17. 8一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形， 这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 mn 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥ABCD 的高为 h1,八面体中的正四棱锥MNPQR 的高为 h2,如图所示，则h1=a,h2=a. V正六面体=2 h1SBCD=6r1 SABC， r1=h1=a. 又 V正八面体=2 h2S正方形NPQR=8r2SMNP， a3=2r2a2,r2=a, 于是32,32669621aarr是最简分数，即m=2,n=3,mn=6.
6、9若的两条中线的长度分别为6，7，则面积的最大值为.9.28.如图， D,E,F 是各边的中点， 延长 BE 至 G，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH, 且 AG|DH ， 则四边形EFCH 和ADHG 是平行四边形 . 故 CF=EH,AD=EH. 故 EGH 的三边 EH 、EG、EH 分别是 ABC 的三边的中线 AD 、BE、CF，即、 、 . 由共边定理知 , 242233ABCBCEBEHEGHSSSS. 10已知是定义（-3,3 ）在上的偶函数，当0 xb0) ，由已知-2分 椭圆方程为-4分（）解法一椭圆右
7、焦点设直线方程为（R） -5分由221,1,43xmyxy得0964322myym -6 分显然，方程的设，则有439,436221221myymmyy-8 分4336433611222222212mmmmyymPQ4311243112222222mmmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - ，解得直线PQ 方程为，即或-12 分解法二：椭圆右焦点当直线的斜率不存在时，不合题意设直线方程为，-5分由得01248432
8、222kxkxk -6分显然，方程的设，则2221222143124,438kkxxkkxx-8 分21221241xxxxkPQ2222224312444381kkkkk=3411234112222222kkkk，解得直线的方程为，即或-12 分（）不可能是等边三角形-13分如果是等边三角形，必有，2222212122yxyx，0421212121yyyyxxxx，0621212121yyyyyymyym，-16分，或（无解） 而当时，3 53,2PQAPAQ，不能构成等边三角形不可能是等边三角形-20分14设抛物线的焦点为F，动点 P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA 、PB ，且
9、与抛物线 C分别相切于A、B两点 . （1）求 APB的重心 G的轨迹方程 . （2）证明 PFA= PFB. 14解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线 AP的方程为：切线 BP的方程为：解得 P点的坐标为：所以 APB的重心 G的坐标为，222201010101014(),3333PpPGxyyyyxxx xxxx xy所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -
10、).24(31,02)43(22xxyxyx即（2）方法 1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244xxFAxxFPx xFBx xu uu ruuu ruuu r由于 P点在抛物线外，则20100100 122200111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FAAFPFPFAFPFPxxuu u r uu u ruu u ru uu ruu u ruu u r同理有20110110122211111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FBBFPFPFBFPFPxxu uu r u uu ruu u ruu u ruu
11、u ruu u r AFP= PFB. 方法 2：当,0,0,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以 P点坐标为，则P点到直线 AF的距离为：,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线即.041)41(1121xyxxx所以 P点到直线BF的距离为：2211111122222111|11| ()|()|42442121()()44xxxxxxdxxx所以 d1=d2，即得 AFP=PFB. 当时，直线AF的方程：202000011114(0),()0,4044xyxxxx yxx即直线 BF的方程：212111111114(0),()0,4044xyxxxx yxx即所以
12、P点到直线 AF的距离为：2220101001000112222000111|()()|)()|42424121()44xxxxxx xxxxxdxxx同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到 AFP= PFB 14（本小题满分20 分）设 x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为0，最大值为 , 且。 ，试求与的值14 （1）的定义域为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6
13、 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2211axaxaba xabbfxex由已知得，4 分从而2231211axaa xxafxex，令 得： 8 分当变化时的变化情况如下表：从上表可知：在区间和上是减函数；在和上是增函数 10 分（2）当时在闭区间上是减函数又时2121011axaxxxbafxeexx, 其最小值不可能为0, 故此时的a，m也不存在 14 分当时，在上是减函数，则最大值为11122aabfee得: 又最小值为，1 8 分. 综合上可知： 20 分15（本小题满分20 分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、 （1）求证：为关于的方程的两根
14、；（2）设，求函数的表达式；（3）在（ 2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式)()()()(121mmagagagag成立，求的最大值15.（1）由题意可知： ， 3 分切线的方程为：)(1 ()(12111xxxtxtxy，又切线过点，有)1)(1()(012111xxtxtx，即，同理，由切线也过点，得由、，可得是方程（ * ）的两根7 分（2）由（ * ）知 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - -
15、 - - - 俯视图左视图主视图22211221)()(xtxxtxxxMN)1(14)(22121221xxtxxxx，)0(2020)(2ttttg13 分（3）易知在区间上为增函数，则)16()()()()()2(121gagagagaggmmm 16 分即，即1620612022022022m，所以，由于为正整数，所以. 又当时，存在，满足条件，所以的最大值为. 20 分zxsx2019-2020 年高二数学（文科）试题含答案一填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分1. =_. 2. 在的展开式中
16、，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则 = 3. 若实数满足22000 xyxy则的最大值为. 4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、 圆心角为 90 的扇形，则这个圆锥的全面积是5. 由若干个棱长为的正方体组成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .6. 在圆周上有10 个等分点，以这些点为顶点，每3 个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3 个点，刚好构成直角三角形的概率是7. 已知正四棱柱的一条对角线长为，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
17、- - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 8. 设 是 不 等 式 组2102403xyxyx表 示 的 平 面 区 域 ， 则 中 的 点 到 直 线 的 距 离 的 最 大 值是. 9. 设函数的曲线绕轴旋转一周所得几何体的表面积_.10. 设不等式组*00()4xynNynxn所表示的平面区域的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为则2420101()2010aaaL. 11. 边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4 个侧面，则的取值范围是12. 在直三棱柱中，底面
18、ABC为直角三角形，. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为. 13. 正四面体的表面积为，其中四个面的中心分别是、.设四面体的表面积为，则等于_.14. 对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”曲线)0(12)0(1:22xxxxyC相对于坐标原点的“确界角”的大小是二选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5 分，否则一律得零分.1
19、5. 某校共有高一、高二、高三学生共有1290 人，其中高一480 人，高二比高三多30 人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（）A. 84 B. 78 C. 81 D. 96 16. 教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - A. 平行B. 垂直C.
20、 异面D. 相交17. 如图，为正方体的中心，在该正方体各个面上的射影可能是（）ABCDA1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)A. (1)、 (2) 、 (3) 、(4) B.(1)、 (3) C.(1)、(4) D.(2)、(4)18. 给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；（2）若直线上有两点到平面的距离相等，则；（3）若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面，则另一条必定不垂直于平面其中正确命题的个数是（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个三解答题（本大题满分74 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题
21、纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19（本题满分12 分）已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积20（ 本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第 2 小题满分7 分如图：三棱锥中，底面，若底面是边长为 2 的正三角形，且与底面所成的角为若是的中点，求：APBCDOP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - （1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成
22、角的大小（结果用反三角函数值表示）21（本题满分14 分）如图，在北纬60 线上，有A、B 两地，它们分别在东经20和 140 线上，设地球半径为R，求 A、B 两地的球面距离22（本题满分16 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分10 分。如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点（1）求证：；（2）在任意中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明A A1 B1 BC1 CMNP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
23、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 8分. 在平面直角坐标系中，为坐标原点已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1（1）求曲线的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
24、理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 华东师大三附中xx 第二学期期末考试高二数学（文科）试题答案一填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分1. 2. 1 3. 4 4. 5. 56. 7. 8. 9. 10. 3018 11. 12. 13. 14. 二15. B 16. B17. C18. C三解答题（本大题满分74 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19 解：设圆柱下底面圆的半径为，连，由矩形内接
25、于圆，可知是圆的直径，（2 分）于是，得，（4 分）由，可知就是异面直线与所成的角，即，故（7 分）在直角三角形中，（9 分）故圆柱的体积22512300VrPA（ 12 分）20（1）因为底面，与底面所成的角为所以 2 分因为，所以（ 4 分）2324433131PASVABCABCP（7 分）（2）连接，取的中点，记为，连接，则所以为异面直线与所成的角（9）分计算可得：，（11）分APBCDOP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - -
26、 - - - - - 101515213151cosPMN（13 分）异面直线与所成的角为（ 14 分）21（本题满分14 分）解：设纬线圈半径为r，据题意，AO1B=1400-200=1200. （2 分）00111coscos60(60 )2rROAORROAOAOCQ，（5 分）在 AO1B 中，22220332cos120332ABrrrrABrR（8 分）又在 AOB中，133sin2arcsin244AOBAOB（11 分）A、B 两地的球面距离（14 分）22(1)证：MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC111111,/平面；（ 6 分）(2)解：在斜三棱柱中，有cos21
27、111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS，其中为平面与平面所组成的二面角. （10 分）上述的二面角为，在中，2222cosPMPNMNPN MNMNPMNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222，由于111111111,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS. （16 分）23（1）依题意知， 动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线曲线方程是（4 分）（2）当平行于轴时， 其方程为，由解
28、得、此时（6 分）当不平行于轴时，设其斜率为，则由得A A1 B1 BC1 CMNP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2222(24)0k xkxk设，则有，（8 分）12121212=(1) (1)OA OB x xy yx xk xk xuuu r uuu r2221212(1)()kx xkxxk2222224=1+143kkkkk（10 分）（3）设222121121(,),(,)44yyyOMyMNy
29、yuuuu ru uu u r0)(16)(121212221yyyyyy，化简得（12 分）6432256232256212122yyy（14 分）当且仅当4,16,2561212121yyyy时等号成立22222222221|()(8)646444yONyyyuu u rQ，又（16 分）当222min64,8 |8 5|yyONONu uu ruuu r，故的取值范围是（18 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -