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1、高考三角函数1. 特殊角的三角函数值：sin00= 0 cos00= 1 tan00= 0 sin300=21cos300=23tan300=33sin045=22cos045=22tan045=1 sin600=23cos600=21tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无 意 义2角度制与弧度制的互化：,23600,1 8 00003000456009000120013501501800270036000 64323243652323.弧长及扇形面积公式弧长公式：rl.扇形面积公式 :S=rl.21-是圆心角且为弧度制。r- 是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个
2、任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=22yx(1)正弦 sin=ry余弦 cos =rx正切 tan=xy(2)各象限的符号：sincostanx y +cossin2O + x y O + + + y O + + 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+ cos2=1。 （2）商数关系：cossin=tan（zkk ,2）6.诱导公式：记忆口诀：2k把的三角
3、函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin，coscos， tantan3 sinsin， coscos， tantan4 sinsin， coscos， tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2
4、页，共 13 页 - - - - - - - - - 8、三角函数公式：降幂公式：升幂公式：1+cos =2cos22cos222cos11-cos =2sin22sin222cos19正弦定理：2sinsinsinabcRABC. 余弦定理：2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 三角形面积定理.111sinsinsin222SabCbcAcaB. 1直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC 中， C90， ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理）两角和与差的三角函数关系sin()=sin coscos
5、sincos()=cos cossin sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin coscos2 =cos2-sin2=2cos2-1 =1-2sin22tan1tan22tan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinAcosBca， cosAsinBcb， tanAba。2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC
6、 中， A、B、C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC。（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等RCcBbAa2sinsinsin。（R 为外接圆半径）（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）21aha21bhb21chc（ ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高）；（2）21absinC21bcsinA21acsinB；（3）)sin(2sinsin2CB
7、CBa)sin(2sinsin2ACACb)sin(2sinsin2BABAc；（4） 2R2sinAsinBsinC。 （R 为外接圆半径）（5）Rabc4；（6）)()(csbsass；)(21cbas；（7） rs。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地， 这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC
8、 的三边为 a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C = ；（2）边与边关系：a + b c， b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理RCcBbAa2s i ns i ns i n（R 为外接圆半径） ；余弦定理c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在
9、ABC 中， A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= cosC；tan(A+B)= 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在 ABC 中，熟记并会证明：A，B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60； ABC 是正三角形的充
10、分必要条件是A，B，C 成等差数列且a，b，c 成等比数列。四 【典例解析】题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四次月考）.已知ABC中，ABa，ACb，0a b，154ABCS，3,5ab，则BAC（）A.30B 150C0150D30或0150答案C 例 1 （1）在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；（2）在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） 。解析： （ 1）根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8 )066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.
11、880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA（2）根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00B0180，所以064B，或0116 .B当064B时，00000180() 180(4064 ) 76CA B，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA当0116B时，00000180() 180(40116 ) 24CAB，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时
12、，可能有两解的情形；（ 2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 例 2 （1）在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A；（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形解析： （ 1）2222cosbacacB=22(2 3)(62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 31)=82 2.b求A可以利用
13、余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaAbc060.A解法二： sin02 3sinsin45 ,2 2aABb又622.4 1.4 3.8, 2 32 1.8 3.6,ac，即00A090 ,060.A（2）由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A；cos2222cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53B；0000180() 180(56 2032 53)C
14、AB090 47.点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型 2：三角形面积例 3在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Ata n的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A, 4560 ,105.AA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 13tantan(4560 )2313A, .46260sin45c
15、os60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22.0cos, 0sin,180021cossin221)cos(sin2AAAAAAA23cossin21)cos(sin2AAAA, sincosAA62+ 得s i n A264。得c o s A264。从而sin264tan23cos426AAA。以下解法略去。点评： 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认
16、为哪一种解法比较简单呢？例 4 （2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为. 答案2)3,2(解析设,2 .AB由正弦定理得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - ,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC例 5 （2009 浙江理）（本题满分14 分
17、）在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值解（1）因为2 5cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3AB AC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，2 5a例 6 （2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求 b分析： :此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已
18、知条件 (1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件 (2) sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有 :2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二 :由余弦定理得 : 2222cosacbbcA.又222acb,0b. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
19、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 所以2 cos2bcA又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4 cosbcA由，解得4b. 评析 :从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型 4
20、：三角形中求值问题例 7ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C= ，得B+C2=2A2，所以有 cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+ 2sinA2=2(sinA212)2+ 32；当 sinA2= 12，即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例 8 （2009 浙江文）（本题满分14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,
21、,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC（ I）求ABC的面积；（II ）若1c，求a的值解（）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos.bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（）由（）知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 点评： 本小
22、题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力题型 5：三角形中的三角恒等变换问题例 9在 ABC 中， a、b、c 分别是 A、 B、C 的对边长，已知a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求 A 的大小及cBbsin的值。分析：因给出的是a、b、 c 之间的等量关系，要求A，需找 A 与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac 可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。解法一： a、b、c 成等比数列，b2=ac。又 a2c2=acbc， b2+c2a2=bc。在 ABC 中，由余弦定理得：cosA=bca
23、cb2222=bcbc2=21， A=60。在 ABC 中，由正弦定理得sinB=aAbsin， b2=ac， A=60，acbcBb60sinsin2=sin60 =23。解法二：在 ABC 中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB。b2=ac， A=60， bcsinA=b2sinB。cBbsin=sinA=23。评述： 解三角形时， 找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例 10在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列， 求2tan2tan32tan2tanCACA的值。解析：因为A、B、C 成等差数列，又ABC180，所以 AC120，从而2C
24、A 60，故 tan32CA.由两角和的正切公式，得32tan2tan12tan2tanCACA。所以,2tan2tan332tan2tanCACA32tan2tan32tan2tanCACA。点评： 在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型 6：正、余弦定理判断三角形形状例 11在 ABC 中，若 2cos
25、BsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsin（ AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC，sin（AB） 0， AB点评： 本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例 12（2009 四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，且510sin,sin510AB（ I）求AB的值；（ II）若21ab，求abc、 、的值。解（ I）AB、为锐角，510sin,sin510AB222 53 10co
26、s1sin,cos1sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB0AB4AB（II ）由（ I）知34C，2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2 ,5ab cb又21ab221bb1b2 ,5ac21.（2009 四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -
27、且510sin,sin510AB（ I）求AB的值；（ II）若21ab，求abc、 、的值。解（ I）AB、为锐角，510sin,sin510AB222 53 10cos1sin,cos1sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB0AB4AB（II ）由（ I）知34C，2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2 ,5ab cb又21ab221bb1b2 ,5ac点评： 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的
28、函数4( )f ttt，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？五 【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c） ，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A） ，应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
29、心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直；3三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，4两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -