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1、第 7 讲 换元法（高中版）（第课时）换元法三角代换均值代换整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化用途重点 ：1 ；2 ；3 。难点 ：1 ；2 ；3 ； 。1 ；2 ；3 。1 ；2 ；3 。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法， 就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、
2、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为设2xt （t0 ） ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角代换： 如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与
3、三角知识的联系进神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 行换元。例如求函数yx1x的值域时，易发现 x0,1 ， 设 xsin2 ， 0,2 ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x、y 适合条件 x2y2r2（r0 ）时，则可作三角代换xrcos 、yrsin
4、 化为三角问题。均值代换： 对两个类似的式子， 可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如Syx或Syx22这样的对称结构，可设 xS2t ，yS2t 或tSx22，tSy22等等。1换元法在方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。例 .（高二） 如果关于 x 的方程0sincos2224xx有相异的四实根，求的范围。
5、分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。令tx2，则原方程化为：0sincos222tt使原方程有相异的四实根等价于使方程有两不等正根。由此得)4(0sin)3(0cos)2(0sin4cos4222即0sin0cos02cos解之得452432kk且)()12(Jkk2换元法在不等式中的应用例 .（高二） 设对所于有实数x，不等式 x2log241()aa2x log221aalog2()aa14220恒成立，求a 的取值范围。分析：不等式中，log241()aa、 log221aa、log2()aa1422三项有何联系？对它们进行变形后再实施换元法。解
6、：设 log221aat ，则log241()aa log2812()aa3log2aa123log221aa 3t ，log2()aa1422 2log2aa12 2t ，代入后原不等式简化为（3t ）x22tx 2t0 ，它对一切实数x 恒成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3048 302tttt()，解之得ttt306或， t0 即 log221aa0 ，021aa1 ，解之得 0a1 。点评：本题使用
7、换元法解不等式。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。3换元法在函数中的应用例 .（高一）已知f(x+1) 为奇函数， f（x）=x （x+1） ， （x1 时函数 f（x）的解析式。解：令 x=t+1 （t0） ，f(x)=x （x+1） （x0） ，则 f(T+1 ）=-（T-1）(T-2)，)3)(2()(TTTf， f(x)= - （x-2）(x-3)=-x2+5x-6 ， （x1） 。点评：本题使用换元法求函数解析式。4换元法在数列中的应用例 .（高三）已知数列an 中， a1 1，an 12 anan 1an，求数列通项an。解：已知式变形为11an1an 1 , 设 bn
8、1an，则nb为等差数列， b1 1 ,bn 1(n1)(-1) n ， an1n。5换元法在复数中的应用对于涉及模及多变元的复数问题，基于运算方面的考虑，可以利用换元法简解。6换元法在三角中的应用例 .（高一）设a0，求 f(x)2a(sinx cosx) sinx 2 cosx 2a2的最大值和最小值。解：设 sinx cosxt ，则 t -2,2 ，由 (sinxcosx)212sinx 2 cosx 得 sinx 2 cosxt212， f(x)g(t) 12(t 2a)212（a0） t -2,2 ，当 t -2时， g(t)取最小值2a222a12。当 2a 2时， t 2，f(
9、x)取最大值2a222a12；当 00 恒成立，求k 的范围。分析：由已知条件()x192()y11621 ，可以发现它与a2b21 有相似之处，于是实施三角代换。解：由()x192()y11621 ，设x13cos ，y14sin ，即xy1314cossin，代入不等式 x yk0 得 3cos 4sin k0 ，即 k3cos 4sin 5sin( +) ，所以 k0 (a0) 所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。 此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0 的区域。 即当直线 xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当 直线
10、 与椭 圆相切 时， 方程 组16191144022()()xyxyk有相等的一组实数解，消元后由 0 可求得 k 3, 所以 k-3 时原不等式恒成立。1 2 3 4 5 6 7 8 方程不等式函数数列复数三角解析几何1. （高二）解不等式 log2(2x1) 2 log2(2x 12) 。解：设 log2(2x1) y ，则 y(y 1)2 ，解之得2y1） ，求 f(x)的值域。解：设 x21t (t1)，则f(t)loga-(t-1)24 ，所以值域为( ,loga4 。点评：本题使用换元法求函数值域。3. （高一）求函数 y=sin2 x- 3sinx+32 - sinx 的值域。解
11、：原函数变形得y=(2-sinx)2 - (2 - sinx)+12 - sinx =2-sinx-12 - sinx 1 ，令 t=2-sinx ，t1，3 ，即 y=t+1t 1 ，易知当t0，1 时为减函数； t1，+时为增函数，故当 t=1 ，即 sinx=1 ，x=2k+2 kz 时，1miny；当 t=3 时，即sinx=-1 ，x=2k - 2kz 时，73maxy。故 y1, 73 。点评：本题使用换元法求三角函数值域。4* .（高一 . 超纲）已知sin xcosy，且cos22xsin22y10322()xy (式 ) ，求xy的值。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！x+
12、y-k0 平面区域k x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解法一：设sin xcosyk ，则 sin kx ，cosky ，且 sin2cos2k2(x2+y2) 1 , 代入式得：k yx222k xy22210322()xy1032k，即yx22xy22103，设xy22t ，则 t 1t103 , 解之得 t 3 或 t 13，xy3或xy33。解法二：由xysincostg ，将等式两边同时除以co
13、s22x，再表示成含tg 的式子： 1tg4()()1103 1122tgtg103tg2 ，设 tg2t ，则 3t210t 30 ， t 3 或 t 13， 解之得xy3或xy33。点评：第一种解法由sin xcosy而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知式变形为xysincos，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -