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1、 一、功 功的计算rFA力在某一过程中对力在某一过程中对空间空间的累积效果，可以用的累积效果，可以用功功来表示。来表示。|cosrFA1 1 直线运动中恒力的功直线运动中恒力的功mmFF r力对质点所作的功等于该力对质点所作的功等于该力力在位移方向在位移方向上上的分量的分量与与位移大小位移大小的的乘积乘积。说明说明 功是功是标量标量，没有方向只有大小，但有正负，没有方向只有大小，但有正负 0A0， 力对物体力对物体作正功作正功；=/2=/2，A=0A=0， 力对物体力对物体不作功不作功； /2 2，A0A 0 EA 0 Ek k 增大增大A = 0 EA = 0 Ek k 不变不变A 0 EA
2、 0 Ek k 变小变小 质点的动能定理只适用于惯性系。质点的动能定理只适用于惯性系。 动能是状态量，功是过程量。动能是状态量，功是过程量。 例例1 1、t=0t=0时质点位于原点，且初始速度为零时质点位于原点，且初始速度为零, ,力随着质点运动的距离线力随着质点运动的距离线性减小性减小, x=0, x=0时时, F=F, F=F0 0 , x=L , x=L时时, F=0, F=0。试求质点在。试求质点在x= L/3 x= L/3 处的速率。处的速率。解：已知受力，求运动状态。选择坐标系：选运动为正方向；解：已知受力，求运动状态。选择坐标系：选运动为正方向；写出力的表达式：写出力的表达式：0
3、FF xOL0F3/LLxFFF00题目要求题目要求L/3L/3处的速度大小处的速度大小021)(2000mvdxxLFFAx222200mvxLFxF)12(202xLxmFvmLFv950 动能定理动能定理 设一系统有设一系统有n n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A A1 1,A,A2 2, , , A An n, ,使各个质点由初动能使各个质点由初动能E Ek10k10,E,Ek20k20, ,E,Ekn0kn0, ,变成末动能，变成末动能，E Ek1k1,E,Ek2k2, , E, Eknkn作用于质点系的内力和外力所作的功等于系统
4、动能增量作用于质点系的内力和外力所作的功等于系统动能增量质点系的动质点系的动能定理（一对内力做功不为零，内力做功也要改变系统的动能）。能定理（一对内力做功不为零，内力做功也要改变系统的动能）。1012022210111nnnnkkkkEEAAEEAAEEAA内外内外内外nikinikiniiniiEEAA10111内外nikinikiEEAA101内外二、质点系的动能定理全部相加全部相加每一个质点的动能定理每一个质点的动能定理 例例4-34-3 在图中，一质量为在图中，一质量为m m，长为，长为l l的柔绳放在水平桌面上，绳与桌面间的柔绳放在水平桌面上，绳与桌面间的摩擦系数的摩擦系数，试求：，
5、试求：1) 1) 绳下垂的长度绳下垂的长度a a 至少要多长才能开始滑动？至少要多长才能开始滑动？2) 2) 从下垂长度从下垂长度a a开始滑动到绳子全部离开桌子时的速度？开始滑动到绳子全部离开桌子时的速度？ 解：分析系统所受外力为悬挂的链条部分的重力，且属于解：分析系统所受外力为悬挂的链条部分的重力，且属于变力做功。选择竖直向下为变力做功。选择竖直向下为x x轴正方向；写出力的表达式：轴正方向；写出力的表达式：xixglmF元功表达式元功表达式0212mvAOxxgdxlmrdFdA元位移元位移idxrd从开始滑动到链条全部离开桌面，总功从开始滑动到链条全部离开桌面，总功)(222allmg
6、xgdxlmAla根据质点系动能定理根据质点系动能定理)(22allgv末速度为末速度为能用牛顿第二能用牛顿第二定律算吗？定律算吗？ 例例1 1、木板木板B B静止置在光滑水平台面上，小木块静止置在光滑水平台面上，小木块A A放在放在B B板的一端上，如图板的一端上，如图所示。设所示。设A A与与B B之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为u u，m mA A=m=mB B，现在给小木块，现在给小木块A A一向右的水平一向右的水平初速度初速度v0v0，如果，如果A A滑到滑到B B另一端时另一端时A A、B B恰好具有相同的速度，求恰好具有相同的速度，求B B板的长板的长度度L L以及以及B B板滑
7、动的距离板滑动的距离s s。0vA20221)(21vmvmmgLmABAAgvL420水平方向水平方向ABAB系统动量守恒：系统动量守恒：可解出可解出B B板长度板长度再列出再列出ABAB系统的动能定理系统的动能定理: :为求滑动距离，单独对为求滑动距离，单独对B B使用动能定理：使用动能定理：ABBvvmmvmBAA)(020vv 解得解得0212vmgsmBAgvs820解得解得 例例2：P101 例例4.3 根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保守力与非保守力保守力。力学中最重要的保守力有三个：。力学中最重要的保守力
8、有三个：重力、万有引力和弹性力重力、万有引力和弹性力。我。我们来看看它们做功的特点：们来看看它们做功的特点：一、保守力和非保守力1 1、重力作功的特点、重力作功的特点jdhidxrdmgdhrdgmdA21 21hhmgmgdhAhh重力作功只与质点的起始和终了位置有重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。关，而与质点所经过的路径无关。ohh2rdmgdhdrh1 2 2、弹性力作功、弹性力作功ikxFkxdxidxikxxdFdA2221212121kxkxkxdxAxx弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所
9、经过的路径无关。所经过的路径无关。oxx1dxFx2x 3 3、万有引力作功的特点、万有引力作功的特点drrmMGl dermMGl dermMGl dFdArr222cos barrabmMWGdrrGMmrr 211万有引力作功只与质点的起始和终了位置有关，万有引力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。而与质点所经过的路径无关。drr1r2rfMl d1m2rdl 保守力：保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力万有引力、万有引力、重力、弹性力重力、弹性力保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式0cdaabcrd
10、FrdFcdaabcrdFrdFadcabcrdFrdF0lrdF保守力沿任意闭合路径运行一周作功为零。保守力沿任意闭合路径运行一周作功为零。保守力的判据。保守力的判据。acdb非保守力：非保守力：作功与路径有关的力作功与路径有关的力摩擦力摩擦力 1 1、势能的概念、势能的概念 在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为的能量称为势能势能。Potential EnergyPotential EnergypppEEEA12保守力作功等于势能保守力作功等于势能增量增量的负值的负值（势能的减少）（势能的减少）mghEprMm
11、GEp重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能221kxEp二、势能21hhmgA22212121kxkxA)()(21rGMmrGMmA 2 2、关于势能的说明、关于势能的说明 只有对只有对保守力保守力，才能引入势能的概念，才能引入势能的概念 势能是物体势能是物体状态状态的函数的函数 势能具有势能具有相对性相对性，势能的值与势能的零点有关，势能的值与势能的零点有关重力势能：零点可以任意选择，一般选重力势能：零点可以任意选择，一般选地面地面；引力势能：零点选在引力势能：零点选在无穷远点无穷远点；弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。与参考系的选取有关吗？与
12、参考系的选取有关吗？ 势能属于势能属于系统系统，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。重力势能：物体和地球组成的系统重力势能：物体和地球组成的系统引力势能：两个物体组成的系统引力势能：两个物体组成的系统弹性势能：物体和弹簧组成的系统弹性势能：物体和弹簧组成的系统 各种势能可以相加，变为各种势能可以相加，变为总势能。总势能。 1、重力势能、重力势能00( )rprrrErFdrA保守重力势能曲线：重力势能曲线：00( )hphE hmgdhmghmgh令令 处势能为零，则重力势能表示为：处势能为零，则重力势能表示为：00h ( )pE
13、hmghh( )pE hO （ro 处为势能零点）处为势能零点） 2、弹性势能、弹性势能00( )rprrrErFdrA保守弹性势能曲线：弹性势能曲线：022011( )22xpxExkxdxkxkx令令 处势能为零，则弹性势能表示为：处势能为零，则弹性势能表示为：00 x 21( )2pExkxx( )PExO 3、引力势能、引力势能00( )rprrrErFdrA保守引力势能曲线：引力势能曲线：012121220( )()()rprGm mGm mGm mE rdrrrr 令令 处势能为零，则引力势能表示为：处势能为零，则引力势能表示为：0r 12( )pGm mE rr ( )PErOr
14、 质点系动能定理质点系动能定理质点系的功能原理质点系的功能原理 由外力与非保守内力所做功之和等于系统机械能由外力与非保守内力所做功之和等于系统机械能的增量。的增量。 把质点系把质点系动能定理和保守力做功动能定理和保守力做功的特点结合起来，总结做功与的特点结合起来，总结做功与能量的关系：能量的关系：12kkEEAA内外机械能定义机械能定义一、质点系的功能原理内非保守内保守内AAA21pppEEEA内保守保守力做功等于势能增量的负值。保守力做功等于势能增量的负值。121122)()(EEEEEEAApkpk内非保守外 对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能保持守恒。对于只有保守内力做功的系统，系
15、统的机械能保持守恒。 成立条件成立条件 系统外力为零或者不做功，同时系统内力没有摩擦力等非保系统外力为零或者不做功，同时系统内力没有摩擦力等非保守力或者只有不做功的向心力等。守力或者只有不做功的向心力等。 机械能守恒是如何实现的？机械能守恒是如何实现的？ 系统动能和势能通过内部保守力做功实现相互转化，但机械系统动能和势能通过内部保守力做功实现相互转化，但机械能保持不变。能保持不变。0内非保守外AA.)()(21consttEtE二、机械能守恒定律 三、能量守恒定律 孤立系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但不论任何转换，孤立系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但不论任何转换，能量既不能产生
16、也不能消灭，总和不变。这就是能量既不能产生也不能消灭，总和不变。这就是能量守恒定律能量守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：第一，从方法论上看：第一，从方法论上看： 利用守恒定律可避开利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、末过程细节而对系统始、末态下结论。态下结论。第二，从适用性来看：第二，从适用性来看： 守恒定律适用范围广，守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适宏观、微观、高速、低速均适用用( (牛顿定律只适用于宏观、牛顿定律只适用于宏观、低速，低速，但由它导出的动量守恒但由它导出的动量守恒定律的适用范围远它广泛，迄
17、定律的适用范围远它广泛，迄今为止没发现它不对过今为止没发现它不对过) )。第三，从认识世界来看：第三，从认识世界来看： 守恒定律是认识世界的有力武守恒定律是认识世界的有力武器。在新现象研究中，当发现某个器。在新现象研究中，当发现某个守恒定律不成立时，往往作以下考守恒定律不成立时，往往作以下考虑：虑： (1)(1)寻找被忽略的因素，从而恢寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。复守恒定律的应用。 (2)(2)引入新概念，使守恒定律更引入新概念，使守恒定律更普遍化。普遍化。 (3)(3)无法无法“补救补救”时，宣布该守时，宣布该守恒定律失效。恒定律失效。 例题例题1 1、两块质量各为两块质量各为
18、m m1 1和和m m2 2的木板，用劲度系数为的木板，用劲度系数为k k的轻弹簧连在一起，的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如图所示。问至少要多大的力放置在地面上，如图所示。问至少要多大的力F F压缩上面的木板，才能压缩上面的木板，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？2m1mF 解：解： 加外力加外力F F后，弹簧被压缩，后，弹簧被压缩，m m1 1在重力在重力G G1 1, ,弹性力弹性力N N1 1及压力及压力F F的共同作的共同作用下处于平衡状态，如图用下处于平衡状态，如图a a所示，所示，一旦撤去一旦撤去F,mF,m1 1
19、就会因弹力就会因弹力N N1 1大于大于重力重力G G1 1而向上运动而向上运动。只要。只要F F足够大以至于弹力足够大以至于弹力F F1 1也足够大，也足够大，m m1 1就会就会上升至弹簧由压缩转为拉伸状态，以致将上升至弹簧由压缩转为拉伸状态，以致将m m2 2提高地面。提高地面。G G1 1F FN N1 11m0 xx2m2m2m1m1m（a a）（b b） 将将m m1 1、m m2 2、弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力、弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力F F撤离后，只有保撤离后，只有保守内力做功，该系统机械能守恒。设压力守内力做功，该系统机械能守恒。设压力F F撤离时刻为初
20、态，撤离时刻为初态，m m2 2恰好提恰好提高地面时为末态。高地面时为末态。设弹簧原长时为坐标原点和势能零点设弹簧原长时为坐标原点和势能零点，如图，如图b b所示，所示，则则机械能守恒机械能守恒应该表示为应该表示为2001212121kxgxmkxgxm式中式中x x0 0为压力作用时弹簧的压缩量，由图为压力作用时弹簧的压缩量，由图a a可得可得001kxFgm式中式中x x为为m2m2恰好能提高地面时弹簧的伸长量，由图恰好能提高地面时弹簧的伸长量，由图c c可知，此时要求可知，此时要求G G2 2N N2 22m（c c）gmkx2联立求解则可得联立求解则可得gmmF)(21故能使故能使m2
21、m2提离地面的最小压力提离地面的最小压力gmmF)(21min 例题例题2 2：把质量为把质量为m1m1的木板连接在劲度系数为的木板连接在劲度系数为k k的弹簧上，处于静止。另的弹簧上，处于静止。另一质量为一质量为m2m2的小物体从离木板为的小物体从离木板为h h的高处下落，作完全非弹性碰撞，求弹的高处下落，作完全非弹性碰撞，求弹簧给地面的最大压力。簧给地面的最大压力。2m1m2m1m2m1mh Vmmvm)(2212 木板和小球一起向下运动过程中，选择他们、弹簧和地球组成系统，木板和小球一起向下运动过程中，选择他们、弹簧和地球组成系统，机械能守恒。机械能守恒。以弹簧原长处为势能零点以弹簧原长
22、处为势能零点且有且有m2由由h高度处自由下落，到达高度处自由下落，到达m1处时速度为处时速度为 ghv21m2和和m1发生完全非弹性碰撞，动量守恒发生完全非弹性碰撞，动量守恒解：解： 2m1mhgxmmkxgxmmkxVmm)(21)(21)(21212021202212m1m2m1m01kxgm0 xx 弹簧对地面的最大作用力弹簧对地面的最大作用力kxFmaxgmmkhgmgmmF)(21)(21221max联立求解联立求解 例题例题3 3：在光滑水平面上，有一劲度系数为在光滑水平面上，有一劲度系数为k k的轻弹簧，一端固定于的轻弹簧，一端固定于O O点，点，另一端连接一质量为另一端连接一质
23、量为M M 的木块，处于静止状态。一质量为的木块，处于静止状态。一质量为m m的子弹，以速的子弹，以速度度v v0 0沿与弹簧垂直的方向射入木块，与之一起运动，如图所示。设木块由沿与弹簧垂直的方向射入木块，与之一起运动，如图所示。设木块由最初的最初的A A点运动到点运动到B B点时，弹簧的长度由原长点时，弹簧的长度由原长l l0 0变为变为l l1 1，求，求B B点处的木块速点处的木块速度。度。BAv0vmO 解：解：子弹射入木块，水平方向动量守恒子弹射入木块，水平方向动量守恒子弹木块弹簧组成的系统，在木块上升过程中，机械能守恒（子弹木块弹簧组成的系统，在木块上升过程中，机械能守恒（只有弹性
24、力只有弹性力做功，属于保守力做功做功，属于保守力做功）。）。10)(vMmmv20221)(21)(21)(21llkvMmvMmsin)()(1vlMmlvMm弹簧拉力通过弹簧拉力通过O O点，木块子弹对于点，木块子弹对于O O点合外力矩为零，点合外力矩为零，因此角动量守恒因此角动量守恒。将第一式子整理，得将第一式子整理，得01vMmmv 然后代入第二式子，可求出速度然后代入第二式子，可求出速度v v最后代入第三式，有最后代入第三式，有20202)(1llMmkvmMmv2020200)(sinllMmkvmllmv 例题例题4 4：把地球看成半径把地球看成半径R = 6.4R = 6.4*
25、 *10106 6m m的球体，人造卫星正在地面上空的球体，人造卫星正在地面上空h h = 8.0= 8.0* *10105 5m m的圆轨道上，以的圆轨道上，以v = 7.5v = 7.5* *10103 3m/sm/s速度绕地球匀速率转动，如果速度绕地球匀速率转动，如果卫星通过其上火箭的反冲，额外获得一个指向地心的分速度卫星通过其上火箭的反冲，额外获得一个指向地心的分速度v v1 1 = 200 m/s= 200 m/s，从而使卫星改为椭圆运动。求卫星近地点和远地点到地面的距离。从而使卫星改为椭圆运动。求卫星近地点和远地点到地面的距离。Bv1vA有什么物理有什么物理量守恒量守恒? ?C 解
26、：解：卫星受到的卫星受到的引力力矩为零引力力矩为零，对地心的，对地心的角动量守恒角动量守恒。分析。分析ABC三点三点 的角动量情况（设近地点或远地点时距地心距离为的角动量情况（设近地点或远地点时距地心距离为r,速度为速度为v)vrmvmrA把卫星和地球看成系统，系统不受外力，内力为保守力，所以把卫星和地球看成系统，系统不受外力，内力为保守力，所以机械能守恒机械能守恒。 rmMGvmrmMGvvmA221221)(21为了消去地球质量为了消去地球质量M，利用，利用圆周运动向心力公式：圆周运动向心力公式：AArvmrmMG22联立以上三个方程，可解近地点和远地点的运动情况。联立以上三个方程，可解近地点和远地点的运动情况。（v1对对O点的力矩为零，因为点的力矩为零，因为v1指向地心）。指向地心）。 一三式子代入第二式子，可求出速度一三式子代入第二式子，可求出速度v v所以可求出近地点远地点与地心距离所以可求出近地点远地点与地心距离0)(2) (2122vvvvv121222)(442vvvvvvv2vvvrvvrr近地点与地面距离近地点与地面距离m1013. 6)(522RvvhRvRvvvrhB远地点与地面距离远地点与地面距离m1097. 9)(522RvvhRvRvvvrhC