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1、因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析1、因数与倍数、因数与倍数【例【例1】什么叫整数？】什么叫整数？【错答】非零自然数和【错答】非零自然数和0叫做整数叫做整数【分析错因】【分析错因】产生错误的原因是对小学数学教科书中产生错误的原因是对小学数学教科书中关于整数有关方面的论述不理解。教科关于整数有关方面的论述不理解。教科书中是这样说的：书中是这样说的：“非零自然数和非零自然数和0都是都是整数。整数。” 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 1、“02=0”，所以，所以0是是2的（）数的（）数 2、“0”不是任何自然数的（）数不是任何自然数的（）数 【例【例3】判断下面各题：】判断下面各题： 因数
2、是有限的（）因数是有限的（） 倍数是无限的（）倍数是无限的（） 【错答】【错答】1、“”；2、“”【正确解答】【正确解答】1、“”；2、“” 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生对因数、倍数都是产生错误的原因是学生对因数、倍数都是不能单独存在的概念不理解。不能单独存在的概念不理解。 我们应该认识到因数、倍数都是不能单独我们应该认识到因数、倍数都是不能单独存在的，只能对某一个数而言。在这里，存在的，只能对某一个数而言。在这里，提及的提及的“无限无限”和和“有限有限”是指因数、倍是指因数、倍数的个数，而不能指它本身。例如，我们数的个数，而不能指它本身。例如，我们说，说，“一个数的倍数的个
3、数是无限的一个数的倍数的个数是无限的”，这就对了。又比如，这就对了。又比如，“一个数的因数的个一个数的因数的个数是有限的数是有限的”，这样说就对了，这样说就对了【防错练习】【防错练习】判断题：判断题：一个数的因数是有限的（）一个数的因数是有限的（）倍数的个数是无限的（）倍数的个数是无限的（）一个数的倍数是无限的（）一个数的倍数是无限的（） 【例【例4】判断：】判断：4是因数，是因数，28是倍数（）是倍数（） 【错答】【错答】“” 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生不理解数学概产生错误的原因是学生不理解数学概念的叙述应是完整的叙述。念的叙述应是完整的叙述。“4是因是因数数”，是谁的因
4、数呢？，是谁的因数呢？“28是倍数是倍数”，28是谁的倍数呢？显然这样的叙述是是谁的倍数呢？显然这样的叙述是不完整的。不完整的。 小学数学教科书中是这样叙述因小学数学教科书中是这样叙述因数与倍数的：数与倍数的：“如果数如果数a能被数能被数b整除，整除，a就叫做就叫做b的倍数，的倍数，b就叫做就叫做a的因数。的因数。”显然，因数与倍数是一对相互依存的显然，因数与倍数是一对相互依存的概念，因此，必须联系在一起进行区概念，因此，必须联系在一起进行区别，且先有联系后有区别。比如，别，且先有联系后有区别。比如，“4是是28的因数的因数”，“28是是4的倍数的倍数”。 防止这类错误要使学生确切地理防止这类
5、错误要使学生确切地理解数学概念，不能把两个相互依存的解数学概念，不能把两个相互依存的概念割裂开来。完整的相互依存的概概念割裂开来。完整的相互依存的概念割裂开来，必然导致出错。念割裂开来，必然导致出错。 【正确解答】【正确解答】“”。4是是28的因数，的因数，28是是4的倍的倍数数 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 1、32是是4的倍数，的倍数，4是是32的（）的（） 2、5是是35的因数，的因数，35是是5的（）的（） 判断题：判断题： 1、30是倍数（）是倍数（） 2、6是因数（）是因数（） 3、30是是6的因数，的因数，6是是30的因数（）的因数（） 【例【例5】判断：一个数的倍数一
6、定大于】判断：一个数的倍数一定大于它的因数（）它的因数（） 【错答】【错答】“” 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生研究问题时，产生错误的原因是学生研究问题时，只看一般现象，却忽视了特殊现象，只看一般现象，却忽视了特殊现象，这样往往出现片面看问题的错误。这样往往出现片面看问题的错误。研究这个问题时，可以举例进行研究这个问题时，可以举例进行分析、研究，比如：分析、研究，比如：6的因数有的因数有1、2、3、6；6的倍数有的倍数有6、12、18、24显然，从上例中可以看出，显然，从上例中可以看出，6是是6的因数，也是的因数，也是6的倍数，所以说的倍数，所以说“一个数的倍数一定大于它的因一
7、个数的倍数一定大于它的因数数”是错的是错的 研究这个问题时，可以举例进行研究这个问题时，可以举例进行分析、研究，比如：分析、研究，比如：6的因数有的因数有1、2、3、6；6的倍数有的倍数有6、12、18、24显然，从上例中可以看出，显然，从上例中可以看出，6是是6的因数，也是的因数，也是6的倍数，所以说的倍数，所以说“一一个数的倍数一定大于它的因数个数的倍数一定大于它的因数”是是错的。错的。【正确解答】【正确解答】“” 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 一个数的一倍数是它（）一个数的一倍数是它（） 一个数的倍数等于它的本身或（）的一个数的倍数等于它的本身或（）的本身本身2、2,3,5的倍
8、数的特征的倍数的特征 【例【例6】非负整数范围内最小的】非负整数范围内最小的偶数是什么？偶数是什么？【错答】最小的偶数是【错答】最小的偶数是2 【分析错因】【分析错因】 回答这个问题时，由于没有理解题目指定的数的回答这个问题时，由于没有理解题目指定的数的范围而出现错误。我们的小学数学教科书中指出范围而出现错误。我们的小学数学教科书中指出过：过：“在讲在讲因数与倍数因数与倍数时，我们所说的数，时，我们所说的数，一般不包括一般不包括0。”显然，这是说，不是在一切情显然，这是说，不是在一切情况下，都只能指自然数。在况下，都只能指自然数。在初等数论初等数论（陈景（陈景润著）中讲到的润著）中讲到的“因数
9、与倍数因数与倍数”中的数，指的是中的数，指的是“正整数正整数”、负整数和、负整数和0”。可见，。可见，“因数与倍数因数与倍数”中的整数，可以扩大到非零自然数以外的范围内。中的整数，可以扩大到非零自然数以外的范围内。本题中的本题中的“非负整数非负整数”，它的范围不仅包括正整，它的范围不仅包括正整数，还包括数，还包括0 由由“是是2的倍数的数叫做偶数的倍数的数叫做偶数”（“偶数偶数”的定的定义）可知，义）可知，2、4、6、8这些数称为偶数，这些数称为偶数，0也可称为偶数，也可称为偶数，-2、-4也可称为偶数。因为也可称为偶数。因为它们同样是它们同样是2的倍数。诚然，在讨论这个问题时，的倍数。诚然，
10、在讨论这个问题时，即讨论即讨论“最小的偶数时什么最小的偶数时什么”时，在本题指定的时，在本题指定的“非负整数非负整数”范围内最小的偶数是范围内最小的偶数是0【正确解答】【正确解答】在非零自然数范围内，最小的偶数是在非零自然数范围内，最小的偶数是2。在非负整数范围内最小的偶数是在非负整数范围内最小的偶数是0【防错练习】【防错练习】填空：填空：在非负整数范围内，最小的偶数是（）在非负整数范围内，最小的偶数是（）在非零自然数范围内，最小的偶数是（）在非零自然数范围内，最小的偶数是（）（）和（）都是整数。（）和（）都是整数。【例【例7】“倍数倍数”与与“倍倍”有什有什么区别？么区别？【错答】【错答】“
11、倍数倍数”与与“倍倍”没有没有区别。因为区别。因为“倍数倍数”与与“倍倍”最最后的余数都是后的余数都是0。【分析错因】【分析错因】产生错误的原因是学生误认为余数都是产生错误的原因是学生误认为余数都是0，“倍数倍数”与与“倍倍”就没有区别了就没有区别了整数整数a除以整数除以整数b（b0）得的商正好是整）得的商正好是整数而没有余数，我们就说数而没有余数，我们就说a是是b的倍数，或的倍数，或者说者说b是是a的因数。数的因数。数a除以数除以数b（b0）没）没有余数时，叫做有余数时，叫做a是是b的。或叫做的。或叫做b能除尽能除尽a显然，显然，“倍数倍数”和和“倍倍”既有区别又有联既有区别又有联系。它们的
12、主要区别是：倍数特点是被除系。它们的主要区别是：倍数特点是被除数和商都是整数，除数为非零自然数，且数和商都是整数，除数为非零自然数，且没有余数。没有余数。“倍倍”的特点被除数、商和除的特点被除数、商和除数（除数不能为数（除数不能为0），既可以是整数也可以），既可以是整数也可以是有限小数，只要没有余数就可以了是有限小数，只要没有余数就可以了它们之间的联系：倍数是倍的特殊它们之间的联系：倍数是倍的特殊情况。比如，情况。比如，8016=5，叫做，叫做80是是16的倍数，的倍数，16是是80的因数。也叫做的因数。也叫做80是是16的的5倍。倍。4.53=1.5叫做叫做4.5是是3的的1.5倍，但是不能
13、说倍，但是不能说4.5是是3的的倍数。倍数。防止类似错误的措施是要使学生理防止类似错误的措施是要使学生理解解“倍数倍数”与与“倍倍”的定义。的定义。 【正确解答】【正确解答】 “倍数倍数”与与“倍倍”有区别。它们的主有区别。它们的主要区别是：要区别是：“倍数倍数”是两个整数相除，是两个整数相除，得商为整数而没有小数；得商为整数而没有小数；“倍倍”是指是指被除数、除数和商可以是整数，也可被除数、除数和商可以是整数，也可以是有限小数，没有余数。能整除的以是有限小数，没有余数。能整除的算式，当然也是能除尽的算式，但能算式，当然也是能除尽的算式，但能除尽的算式不一定能整除。除尽的算式不一定能整除。【防
14、错练习】【防错练习】在能整除的算式后面的括号里打上在能整除的算式后面的括号里打上“”，不能整除的打，不能整除的打“”：1、147（）（）2、2105（）（）3、708（）（）4、2.80.4（）（） 3、质数和合数、质数和合数 【例【例8】判断：】判断： 自然数中除了质数就是合数（）自然数中除了质数就是合数（） 所有奇数都是质数（）所有奇数都是质数（） 【错答】【错答】1、“”；2、“” 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生对质数、合数、奇产生错误的原因是学生对质数、合数、奇数的定义不理解，因而，不能运用它们的数的定义不理解，因而，不能运用它们的定义进行判断定义进行判断 质数的定义是
15、：质数的定义是：“一个数只有一个数只有1和它本身两和它本身两个因数的数叫做质数（也叫素数）个因数的数叫做质数（也叫素数）”。合。合数的定义是：数的定义是：“一个数除了一个数除了1和它本身，还和它本身，还有别的因数的数，叫做合数有别的因数的数，叫做合数”。根据这个。根据这个定义来判断定义来判断“1”，只有，只有1本身是它唯一的因本身是它唯一的因数，所以，数，所以，1既不是质数也不是合数。根据既不是质数也不是合数。根据这样的推理说：自然数中只有质数和合数这样的推理说：自然数中只有质数和合数是错误的。是错误的。 “奇数奇数”是以一个数是不是是以一个数是不是2的倍数来判断的倍数来判断的。的。“质数质数
16、”是以一个数只有是以一个数只有1和它本身两和它本身两个因数来判断的。显然这是两种不同界定个因数来判断的。显然这是两种不同界定的数。的数。“1”是奇数，但它不是质数。所以是奇数，但它不是质数。所以说说“所有奇数都是质数所有奇数都是质数”这句话是错误的这句话是错误的 防止这类错误的措施要使学生理解质数、防止这类错误的措施要使学生理解质数、合数、奇数、偶数的定义，并能运用这些合数、奇数、偶数的定义，并能运用这些定义来判断这类具体题目的正误定义来判断这类具体题目的正误【正确解答】【正确解答】1、“”；2、“” 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 1、“2”是（）数，不是合数是（）数，不是合数 2、
17、15,9,21是（）数，但不是质数是（）数，但不是质数 3、自然数中包括质数、（）和（）、自然数中包括质数、（）和（） 【例【例9】判断：偶数都是合数，合数】判断：偶数都是合数，合数都是偶数（）都是偶数（）【错答】【错答】“” 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生不理解偶数的定义，产生错误的原因是学生不理解偶数的定义，不能用偶数的定义去判断是不是所有的偶不能用偶数的定义去判断是不是所有的偶数都是合数，特别是学生不会考虑一般情数都是合数，特别是学生不会考虑一般情况下还有况下还有“特例特例” “是是2的倍数叫做偶数的倍数叫做偶数”，但是，但是2是偶数却是偶数却不是合数，这就是一个特殊的例
18、子。不是合数，这就是一个特殊的例子。“9”、“15”不是偶数，但它们是合数不是偶数，但它们是合数 防止这类错误的措施是要使学生认识到运防止这类错误的措施是要使学生认识到运用定义判断具体题目的正误，注意一般情用定义判断具体题目的正误，注意一般情况下是否有特殊的例子况下是否有特殊的例子【正确解答】【正确解答】“”。偶数不都是合数，不是。偶数不都是合数，不是所有的合数都是偶数所有的合数都是偶数 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 1、“2”不是合数，是（）数不是合数，是（）数 2、“合数合数”可以是偶数，如（）等，可以是偶数，如（）等，也可以是奇数，如（）等也可以是奇数，如（）等 【例【例10】
19、判断：一个数的因数都】判断：一个数的因数都是这个数的质因数（是这个数的质因数（ ）【错答】【错答】“”【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生混淆了产生错误的原因是学生混淆了“因数因数”与与“质因数质因数”的区别，误的区别，误认为一个数的因数都是这个数的质认为一个数的因数都是这个数的质因数因数 两个数相乘或若干个数相乘所得的积，对于这个两个数相乘或若干个数相乘所得的积，对于这个积来说。这两个数或若干个数是它的因数。比如积来说。这两个数或若干个数是它的因数。比如34得得12,3与与4是是12的因数。又例如的因数。又例如562得得60，那么那么5、6和和2是是60的因数。显然，因数和积是互的
20、因数。显然，因数和积是互相依存的数。如果相依存的数。如果一个数的因数是质数（素数），一个数的因数是质数（素数），那么，这个因数叫做这个数的质因数那么，这个因数叫做这个数的质因数。比如。比如20=54，可以看出，可以看出5和和4都是都是20的因数，的因数，5是质是质数，所以，数，所以，5是是20的一个质因数。而的一个质因数。而4不是质数，不是质数，是合数，所以是合数，所以4不是不是20的质因数。又比如的质因数。又比如30=235，可以看出，可以看出2、3和和5都是都是30的因数。的因数。2、3和和5都是质数，所以，都是质数，所以，2、3和和5都是都是30的质因的质因数。概括地说，数。概括地说，一
21、个数的质数因数叫做这个数的一个数的质数因数叫做这个数的质因数质因数 防止这类错误的措施是要使学生区别防止这类错误的措施是要使学生区别“因数因数”与与“质因数质因数”的不同的不同 【正确解答】【正确解答】 “”，如果一个数的因数是质数，这，如果一个数的因数是质数，这个因数就叫做这个数的质因数个因数就叫做这个数的质因数 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 1、42=237，42是质因数是（）是质因数是（） 2、15的质因数是（）和（）的质因数是（）和（） 3、一个数的因数是（），这个数就、一个数的因数是（），这个数就叫做这个数的质因数叫做这个数的质因数【例【例11】把】把40分解质因数分解质因
22、数【错答】【错答】40=254 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生对产生错误的原因是学生对“分解质因数分解质因数”的意义的意义不理解，另外判别一个数是否为质数（素数）掌不理解，另外判别一个数是否为质数（素数）掌握不好握不好 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。比如分解质因数。比如42=237，不难看出，不难看出42这个这个合数用三个质因数相乘可得到，即合数用三个质因数相乘可得到，即3、2和和7是是42的因数，且都是质数的因数，且都是质数 题中题中40=254，4是合数，不是质数，也就不是合数，不是质数，也就不是是42的质因
23、数。所以，题目的解答错了的质因数。所以，题目的解答错了 防止这类错误的主要措施是要使学生明确认识到防止这类错误的主要措施是要使学生明确认识到在用短除法求解时，用的每一个因数必须是质数，在用短除法求解时，用的每一个因数必须是质数，除得商也必须是质数。得出一个合数的质因数连除得商也必须是质数。得出一个合数的质因数连乘式后，再检查一下，看每个因数是否都是质数乘式后，再检查一下，看每个因数是否都是质数 【正确解答】【正确解答】 40=2225 【防错练习】【防错练习】 判断下列分解质因数是否正确，对的打判断下列分解质因数是否正确，对的打“”，错的打，错的打“” 1、24=2223（）（） 2、36=3
24、34（）（） 把下列各数分解质因数把下列各数分解质因数 1、282、323、384、60【例【例12】5是否能分解质因数？是否能分解质因数？【错答】【错答】5可以分解质因数，可以分解质因数，5=15 【分析错因】【分析错因】 产生错误的原因是学生不理解什么叫产生错误的原因是学生不理解什么叫“分分解质因数解质因数”，误认为，误认为“1”也是质数也是质数 “把一个合数用质因数相乘的形式表示出把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。来，叫分解质因数。”从这里可以清楚地从这里可以清楚地看出分解质因数的首要条件是看出分解质因数的首要条件是“合数合数”，显然，质数是不能分解质因数。质数是只显然，质数是不能分解质因数。质数是只有有1和它本身两个因数。其实和它本身两个因数。其实“1”既不是质既不是质数也不是合数。所以，数也不是合数。所以，5是质数，是不能分是质数，是不能分解质因数的解质因数的 防止这类错误要让学生认识到质数不可以防止这类错误要让学生认识到质数不可以分解质因数分解质因数 【正确解答】【正确解答】 5是质数，不能分解质因数是质数，不能分解质因数 【防错练习】【防错练习】 填空：填空： 1、2,3,6,8,9这几个数中，能分解质因数的这几个数中，能分解质因数的是（）是（） 2、13不能分解质因数，因为不能分解质因数，因为13是（）是（）48 结束语结束语