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1、一元二次方程根的判别式的应用 一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况可由 来判定： 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根。 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判别式。 b24acb24ac0b24ac = 0b24ac 0例1.不解方程,判别下列方程的根的情况 3x2x1 = 3x 5（x2-1）= 7x x24x = 4方程要先化方程要先化为一般形式为一般形式再求判别式再求判别式实数根原方程有两个不相等的解014955470575:22xx 已知关于X的一元二次方程 当K取什么值时,方程有两个
2、不相等的实数根?0) 12(2kxkkx (2)当K取什么值时,方程有实数根?已知关于X的方程 (1)当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根?0) 12(2kxkkx例例2：例例3： 课时训练课时训练1.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况是是 ( ) A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根D2.方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C. 没有实数根没有实数
3、根 D.只有一个实数根只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4.关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论有实数根，则下列结论正确的是正确的是 ( ) A.当当k=1/2时，方程两根互为相反数时，方程两根互为相反数 B.当当k=0时，方程的根是时，方程的根是x=-1 C.当当k=1时，方程两根互为倒数时，方程两根互为倒数 D.当当k1/4时，方程有实数根时，方程有实数根D 课时训练课时训练5.若关于若关于x的一元二次方程
4、的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则有实数根，则m的取值范围是的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且且m0 C.m1 1 D. m1且且m0D7.若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k= .28.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的值及该方程的根。的值及该方程的根。解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12， m20(二次
5、项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1.6.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则有实数根，则k的取值范围是的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C.k 1A 例例4.在一元二次方程在一元二次方程中)0(02acbxax则方程异号与若,ca( )A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.没有实数根没有实数根D.根的情况无法根的情况无法acb42acb420例例5.设关于设关于x的方程的方程,04222mmxx证明证明:不论不论m
6、为何值为何值,这个方程总有这个方程总有两个不相等的实数根两个不相等的实数根4244:2mm解121242mm012142m所以所以,不论不论m为何值为何值,这个方程总有两这个方程总有两个不相等的实数根个不相等的实数根16842mm【例【例6】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有两个等根，试判断有两个等根，试判断ABC的形状的形状. 解：利用解：利用 0，得出，得出a=b=c.ABC为等边三角形为等边三角形. 典型例题解析典型例题解析 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的
7、情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根. .2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题的知识主要用来求取值范围等问题. .1.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先将方程化为一般形式. .2.2.应用判别式解决有关问题时，应用判别式解决有关问题时，前提条件为前提条件为“方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0.0.例例7.一元二次方程一元二次方程有有两个两个实数根实数根,则则m的取值范围是的取值范围是_02212mmxxm21422mmm解844422mmm84m02m101mm即又12mm且变