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1、 本节要点本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念本节通过原函数引出了不定积分的概念, 并得到不定并得到不定一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分二、不定积分的计算二、不定积分的计算积分的简单性质积分的简单性质.2( )e,xf xx 为连续函数为连续函数, 但其原函数却不能用初等函数来表示但其原函数却不能用初等函数来表示;注注3 在区间在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数内存在原函数的函数不一定是连续函数, I注注2 定义在区间定义在区间 上的连续函数一定存在原函数上的连续函数一定存在原函数, 但原但原I 注注1 在不定积分表达式中最后的常数在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉
2、不能漏掉, 否否C则意义将完全改变则意义将完全改变;函数不一定能用初等函数来表示函数不一定能用初等函数来表示. 例如函数例如函数例如函数例如函数: 112 sincos 0, 0 0,xxf xxxx存在间断点存在间断点 ，但，但 在在 存在原函数存在原函数0 x ( )f x, 21sin 0, 0 0.xxF xxx解解 设此曲线的方程为设此曲线的方程为 由题设得关系由题设得关系( ),yf xd2 ,dyxx即即, 是是 的一个原函数的一个原函数, 因因 且曲且曲( )f x2x22 d,x xxC21.yx等于这点横坐标的两倍等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.1,C
3、 故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为例例3 设曲线通过点设曲线通过点 且其上任一点处的切线斜率且其上任一点处的切线斜率1,2 ,线过线过 代入曲线方程得代入曲线方程得1,2对例对例3的说明的说明: 函数函数 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 积分积分( )f x( )f x曲线曲线. 当常数当常数 取不同值时取不同值时, 曲线为平行曲线曲线为平行曲线. 因而通因而通C2yx-1-0.50.511.52X12345y21yx过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线. 3.基本积分公式基本积分公式 10d.xC 12d1 .1xxxC d3lnxxCx 2
4、d4arctan.1xxCx 2d5arcsin.1xxCx 6cos dsin.x xxC 7sin dcos.x xxC 28secdtan.x xxC 29csc dcot.x xxC 10sec tan dsec.xx xxC12csc cot dcsc.xx xxC11e de.xxxC13d.lnxxaaxCa14sinh dcosh.x xxC15cosh dsinh.x xxC二、不定积分的计算二、不定积分的计算 由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的性质性质. 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 dd,dfxxfxx性
5、质性质2 设函数设函数 及及 的原函数存在的原函数存在, 则则( )f x( )g x ddd ,f xg xxf xxg xx其中其中 为任意常数为任意常数., d.fxxfxC 积分举例积分举例例例4 求积分求积分321d .xxx解解 先将先将 展开展开, 然后再利用积分公式及运算法然后再利用积分公式及运算法31x 332221331ddxxxxxxxx2133ln.2xxxCx2313dxxxx 则则, 得得例例5 求积分求积分23d .5xxxx解解2323dd555xxxxxxx1213.ln2ln5 5ln3ln5 5xxC例例6 求积分求积分221d .1xxxxx解解 将积分
6、拆成两项的和将积分拆成两项的和, 可得可得22221(1)dd11xxxxxxxxxxarctanln.xxC211d1xxx例例7 求积分求积分42d .1xxx44221 1dd11xxxxxx 解解 分子部分减分子部分减1 1加加1 1, 再再分解被积表达式分解被积表达式, , 得得 2211d1xxx 222111d1xxxx3arctan.3xxxC例例8 求积分求积分2tand .x x2tandx x 解解 利用三角公式利用三角公式22sectan1,xx2sec1 dxxtan.xxC例例9 求积分求积分2sind .2xx解解 利用半角公式利用半角公式21cossin.22xx2sind2xx11cosd2xx1sin.2xxC例例10 求积分求积分221d .sincos22xxx解解 由三角公式由三角公式sin22sin cos ,xxx22214ddsinsincos22xxxxx24 cscd4cot.x xxC 则则例例11 求积分求积分22cos2d .cossinxxxx解解 由倍角公式由倍角公式22cos2cossin,xxx222222cos2cossinddcossincossinxxxxxxxxx22cscsecdxxxcottan.xxC 则则