高三数学知识点汇编.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高三数学知识点汇编【精品文档】第 - 11 - 页高三数学知识点汇编一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：函数的定义域；函数的值域； 函数图象上的点集.2.集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集,记为. 空集是任何集合的子集,记为. 空集是任何非空集合的真子集；注意:当,在讨论的时候不要遗忘了的情况 如：,如果,求的取值.(答：) 含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围.(答：)4.原命题:

2、；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“”是“”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件).6.注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是.命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”. 如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数,则是奇数”否定是“若和都是偶数,则是奇数”.7.常见结论的否定形式原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或二.

3、函数1.映射:是： “一对一或多对一”的对应；集合中的元素必有象且中不 同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集). 一一映射:： “一对一”的对应；中不同元素的象必不同,中元素都有原象.2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数且；零指数幂的底数)；实际问题有意义； 5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；

4、逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围). 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； 不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； 判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法； 方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； 若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()； 判断函数奇偶性可用定义的等价形式

5、：或； 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的单调区间内有相同单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性； 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对而言）； 上下平移-“上加下减”(注意是针对而言).翻折变换：；.对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. 证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中

6、心(轴)的对称点仍在上,反之亦然. 函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数 的图像关于直线(轴)对称； 若函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；9.函数的周期性：若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；10.对数：；对数恒等式；对数换底公式； (以上 )11.恒成立, 恒成立.12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式

7、：；顶点式： ； 零点式：.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16. 函数：增区间为,减区间为. 如：函数在区间上为增函数,实数的取值范围是(答：).三.数列1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要单独列出.如：数列满足，求(答：).2.等差数列(1)定义： (2)通项公式： 推广： (3)前n项和公式：等差数列(为常数)3.等差数列的性质： (反之不一定成立)；当时,有； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用

8、的二次函数关系来分析.4.等比数列(1)定义： (2)通项公式： (3)前n项和等比数列.5.等比数列的性质 若、是等比数列，则、等也是等比数列； (反之不一定成立)； 等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列. 7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.公式：； 常见裂项公式；9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡

9、手指”，细心计算“年限”. 利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题).四.三角函数1.终边与终边相同；终边与终边共线；终边与终边关于轴对称；终边与终边关于轴对称；终边与终边关于原点对称； 终边与终边关于角终边对称.2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度().3.三角函数符号(“正号”)规律记

10、忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.4. 对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视a为锐角)5. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：； 等；“”的变换：6. 辅助角公式：其中）；7.降幂公式；8. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：； 余弦定理：； 面积公式：；10.中,易得：,11.角的范围：异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；直线的倾斜角； 与的夹角. 12.五.平面向量1.设,

11、. (1)； (2).2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使.3.设,则；其几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.4.三点、共线与共线；与共线的单位向量.5.平面向量数量积性质：设,则；注意: 为锐角,不同向； 为钝角,不反向.6. 平面向量数量积的坐标表示： 若,则； ； 若,则.7. ,三点共线存在实数、使得且.8. 为的重心；9. 为的垂心； 为的内心；所在直线过内心. 六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： 若,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不

12、等号方向要改变. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；（2)公式注意变形如：, ； 4. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证 需证,只需证； 反证法：正难则反；

13、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：；.将分子或分母放大(或缩小) 换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.如：知,可设；知,可设,()；知,可设；已知,可设.最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角的范围是；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右图)：3.直线方程五种形式：点斜式：已知直线过点斜率为，则直线 方程为,它不包括垂直于轴的直线.斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. 两点式：已知直线经过、两点,则直线

14、方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线. 截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式. 提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线与直线的位置关系： 平行(斜率)且(在轴上截距)； 相交；(3)重合且.5.直线系方程：过两直线：,：.

15、交点的直线系方程可设为；与直线平行的直线系方程可设为；与直线垂直的直线系方程可设为.6.夹角公式：与的夹角是指不大于直角的角且.7.点到直线的距离公式； 两条平行线与的距离是.8.设三角形三顶点,则重心；9. 圆的标准方程：. 圆的一般方程：.特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆,且).10. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程 .点在圆外； 点在圆内；点在圆上.11. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.相离相切相交12. 圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与

16、两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为：两圆相离；两圆相外切； 两圆相交；两圆相内切； 两圆内含；两圆同心.13. 过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程为.时为两圆相交弦所在直线方程.14. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).八.圆锥曲线方程一 、椭圆定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0e1），则动点P的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质 方程： 定义域：

17、； 值域为R；实轴长=，虚轴长=2b焦距：2c 准线方程：注意：（1）图中线段的几何特征：， 顶点到准线的距离：；焦点到准线的距离：两准线间的距离= （2）若双曲线方程为渐近线方程： 若渐近线方程为双曲线可设为 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上） （3）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为； （4）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来。 （5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。三、抛物线 （一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。

18、 （二）图形：（三）性质：方程：； 焦点： ，通径； 准线： ；注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长= 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。（2）抛物线上的动点设为P或P九.直线、平面、简单几何体1. 异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2. 直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.3. 空间距离的求法：两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出

19、公垂线,然后再进行计算.求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. 求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.4. 正四面体(设棱长为)的性质：全面积；体积；对棱间的距离；外接球半径；内切球半径；正四面体内任一点到各面距离之和为定值.5. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；6. 球的体积公式,表面积公式；掌握球面上两点、间的距离求法： 计算线段的长；计算球心角的弧度数；用弧长公式计算劣弧的长.7.十.导数1.导数的定义：在点处的导数记作.2. 函数在点处有导数,则的曲线

20、在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数的曲线在点处有切线,则在该点处不一定可导.如在有切线,但不可导.3. 函数在点处的导数的几何意义是指：曲线在点处切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是,切线方程为.4. 常见函数的导数公式:(为常数)；.； ；.5. 导数的四则运算法则：；.6. 复合函数的导数：7. 导数的应用： (1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数； (2)求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得最大值；如果左负右正,那么函数在这个根处取得最小值； (3)求可导函数最大值与最小值的步骤：求在内的极值；将各极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.十一.复数1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.2.熟练掌握与灵活运用以下结论：且；复数是 实数的条件：；.3.复数是纯虚数的条件: 是纯虚数且； 是纯虚数 ；是纯虚数.4.复数的代数形式：；复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设,则,5.几个重要的结论： ；若为虚数,则.6.运算律仍然成立：(1) ； ；.7.注意以下结论：；,；