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1、第16讲 等腰、等边及直角三角形一、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质等边对等角：两腰相等，底角相等，即ABACBC；三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; 对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：即若BC，则ABC是等腰三角形. （1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知ADBC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形
2、ABC的一个内角为30，则另外两个角的度数为30、120或75、75.2.等边三角形（1）性质边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60.即ABBCAC，BACBC60；对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定定义：三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等（均为60）的三角形是等边三角形；任一内角为60的等腰三角形是等边三角形.即若ABAC，且B60，则ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30角的性质，
3、即BD=1/2AB.例：ABC中，B=60，AB=AC，BC=3，则ABC的周长为9.知识点二 ：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等即若1 2，PAOA，PBOB，则PAPB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上例：如图，ABC中，C=90，A=30，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等即若OP垂直且平分AB，则PAPB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 知识点三：直角三角形的判定与性质5.直
4、角三角形的性质(1)两锐角互余.即AB90；(2) 30角所对的直角边等于斜边的一半.即若B30则ACAB；(3) 斜边上的中线长等于斜边长的一半即若CD是中线，则CDAB.(4) 勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方即 a2b2c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若C90，则ABC是Rt；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形即若ADBDCD，则ABC是Rt(3) 勾股定理的逆定理：若a2b2c2，则ABC是Rt.