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1、1 函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一函数的对称性（一）函数)( xfy的图象自身对称1、轴对称对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，)()(xbfxaf)( xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称 . 推论 1：)()(xafxaf)( xfy的图象关于直线ax对称 . 推论 2：)2()(xafxf)( xfy的图象关于直线ax对称 . 推论 3：)2()(xafxf)( xfy的图象关于直线ax对称 . 求对称轴方法：22)()(baxbxax2、中心对称对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，cxbfxaf2)()()( xfy的图象关于点),2(cba对称 . 推论
2、：bxafxaf2)()()( xfy的图象关于点),(ba对称 . 推论：bxafxf2)2()()( xfy的图象关于点),(ba对称 . 推论：bxafxf2)2()()( xfy的图象关于点),(ba对称 . 求对称中心方法：.22,2)()(ccyxbxax纵坐标横坐标小结 : 轴对称与中心对称的区别轴对称： f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零 ) ；中心对称： f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值 . （二）两个函数的图象相互对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
3、总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 1、函数)(xafy与函数)(xbfy图象关于直线2abx对称；特别地， 函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于直线x=0(y 轴 )轴对称；函数)( xfy与函数)(xfy图象关于 y 轴对称；求对称轴方法：令 a+x=b-x,得2abx.2、函数 yf(a x)+c 与 y f(b x)+d 关于点)2,2(dcab中心对称；特别地， 函数 yf(a x) 与 y f(a x) 关于点（ 0,0 ）（原点）中心对称. 函数)( xfy与函数)(xfy图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：横坐标令 a+x=b-x,得2abx
4、，纵坐标y=.2dc二函数的奇偶性1. 如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x， 都有 f( x) f(x) （ f(x) f( x) 0） ，那么函数f(x)叫做偶函数偶函数的图象关于y 轴（ x=0）对称推论：若yf(x a)为偶函数，则f(x a) f( xa)，即 y f(x) 的图像关于直线xa 轴对称 . 2. 如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x， 都有 f( x) f(x) （f(x) +f( x) 0） ，那么函数f(x)叫做奇函数奇函数的图象关于原点(0,0) 对称 . 推论： 若 y f(x a) 为奇函数， 则 f( xa) f(a x) ，即 yf(x) 的
5、图像关于点（a，0）中心对称 . 三函数的周期性1. 定 义 ： 对 于()fx定 义 域 内 的 任 意 一 个x， 都 存 在 非 零 常 数T， 使 得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期. 2. 推论：()()fxTfx( 0T) )( xfy的周期为T. ()()fxafxb)( xfy的周期为abT)()(xfaxf)( xfy的周期为aT2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 )
6、(1)(xfaxf)( xfy的周期为aT2)(1)(xfaxf)( xfy的周期为aT2)(1)(1)(xfxfaxf)( xfy的周期为.2aT1)(1)(xfaxf)( xfy的周期为aT2)(1)(1)(xfxfaxf)( xfy的周期为aT4)()()2(xfaxfaxf)( xfy的周期为aT6若.),()(,0paTapxfpxfp则若函数yf(x)同时关于直线xa 与 xb 轴对称，则函数f(x) 必为周期函数，且T 2|a b|. 推论：偶函数)( xfy满足)()(xafxaf)( xfy周期aT2若函数yf(x)同时关于点（ a，0）与点（ b，0）中心对称，则函数f(x
7、)必为周期函数，且T2|a b|. 推论：奇函数)( xfy满足0)()(xafxaf)( xfy周期aT4)( xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,( b()fx的周期 T4|a b|. 小结：函数对称性、 奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x” ；对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；定义在上的函数)( xfy，在对称性、 周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在. 题型分类1. 求函数值例1. 设)( xf是),(上 的 奇 函 数 ，),()2(xfxf当10 x时 ，xxf)(，则)5.7(f等于（ -0.5
8、 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 （A）0.5; （B ）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例 2. 偶函数yf(x)满足条件f(x 1) f(x 1) ，且当x 1,0 时， f(x) 3x49，则 f(13log 5) 的值等于 ( ) A 1 B. 2950 C. 10145 D 1 解：由于偶函数yf(x)满足条件 f(x 1) f(x 1)，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当 x 1,0 时， f(x) 3x49，则对于133log5=-log5，f(13log 5)=f(2+
9、13log 5)=f(2-3log 5)=33log 549=1 故可知答案为D.2比较函数值大小例 3. 若)(Rxxf是以2 为周期的偶函数，当1,0 x时，,)(19981xxf试比较)1998(f、)17101(f、)15104(f的大小 . 解：)(Rxxf是以2 为周期的偶函数，又19981)(xxf在1,0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例 4. 已知 f(x) 是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)， 且当0,2x时，f(x)= 2x+1，求当6,4x时
10、求 f(x)的解析式 . 例 5设)( xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数，且)( xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)( xf的解析式 . 解：当2,3x，即3,2x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 4)3(24)3(2)()(22xxxfxf又)( xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，).21(4) 1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4)1(2)(2xxxf4、判断（证明）函数性质例 6. 已知)( xf的
11、周期为4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)( xf的奇偶性 . 解：由)( xf的周期为4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)( xf为偶函数 . 例 7. 已知 f(x) 是定义在R上的函数，且满足 f(x+999)=)(1xf， f(999+x)=f(999x) ，试判断函数f(x) 的奇偶性 . 例 8. 已知 f(x) 是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当0,2x时， f(x)是减函数，求证当6,4x时 f(x) 为增函数解：设1246xx则212440 xx f(x)在-2 ，0 上是减函数
12、21(4)(4)fxfx又函数 f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数 f(x)的周期为 4 故 f(x+4)=f(x) 21()()fxfx f(-x)=f(x) 21()()f xf x故当4,6x时 f(x)为增函数例 9. 设 f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x1 对称，证明f(x) 是周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 例 10. 设 f(x) 是定义在R上的函数，且满足 f(10 x) f(10 x) ， f(20 x) f(20 x) ，则 f
13、(x) 是（ C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数例 11. 设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足对任意xR都有 f(2+x)=-f(x)，又当x -1,1 时 f(x)=x3 ， 证明：直线x=1 是 f(x)图像的一条对称轴； 当 x1,5 时，求函数f(x) 的解析式判断函数的单调性5、确定函数零点个数例 12. 设函数)( xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，),7()7(xfxf且,0)0(f判断函数)( xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数)( xf图象关于直线2x和7
14、x对称，又由函数的性质得)( xf是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff故)( xf图象与x轴至少有2 个交点 . 而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)( xf图象与x轴至少有13 个交点 . 6、求参数的值（范围）例 13. 若函数 f(x)=|x+a|，且 f(x)满足对 xR都有 f(3+x)=f(2-x)，则实数 a=_若函数f(x)=(x+a)3， 且 f(x)满足对 xR都有 f(3+x)=-f(2-x)，则实数 a=_例 14. f(x)满足 f(x) =-f(6-x)，
15、f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5 ，9 且 f(x)在5 ，9 上单调 . 求 a 的值 . 例 15 设xf是定义在R上的奇函数， 且当0 x时，2xxf. 若对任意的2,aax,不等式xfaxf2恒成立 , 则实数a的取值范围是( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 A0a B2a C2a D0a7. 两个函数图像的对称性例 16. 函数 yf(x)是定义在实数集R上的函数， 那么 y f(x 4) 与 yf(6 x) 的图象之间（ D ）A关于直线x5 对称 B关于直线x1 对称C关于点（ 5，0）对称 D关于点（ 1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y f(x 4) 与 yf(6 x) 之间关于点（ 6 4）/2 ， 0）即（ 1，0）中心对称，故选D. 例 17. 求与函数 y=lg(1+x)的图像关于点（2,1 ）成中心对称的函数解析式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页