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1、离散数学试卷（十二）76 一、填空 20% （每空 2分）1、 设集合 A=1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，10 ，定义 A 上的二元关系“”为x y = x|y , 则yx= 。2、 设,2|NnxxAn，定义 A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统 中运算 *关于运算具有封闭性。3、 设集合 S= ，S 上的运算 * 定义为* 则代数系统 中幺元是，左逆元是，无左逆元的元素是。4、 在群坯、半群、独异点、群中满足消去律。5、 设是由元素Ga生成的循环群，且|G|=n，则 G = 。6、 拉格朗日定理说明若是群 的子群，则可建立G 中的等价关系R= 。若|G|=n, |H|
2、=m 则 m 和 n 关系为。7、 设 f 是由群 到群 的同态映射，e是G中的幺元，则 f 的同态核 Ker(f )= 。二、选择 20% （每小题2 分）1、设 f 是由群 到群 的同态映射，则ker (f)是（） 。A、G的子群；B、G 的子群； C、包含G；D、包含 G。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 离散数学试卷（十二）77 2、设是环，Aba,，ab 的关于“ +”的逆元是（） 。A、(-a)(-b)
3、； B、(-a)b； C、a(-b)； D、ab 。3、设是一代数系统且是 Abel 群，如果还满足（）是域。A、是独异点且对+可分配；B、是独异点，无零因子且对+可分配；C、是 Abel 群且无零因子；D、是 Abel 且对 +可分配。4、设是一代数系统，+、 为普通加法和乘法运算，当A 为（）时，是域。A、,5|均为有理数babaxx；B、,5|3均为有理数babaxx；C、,|kbaIbabaxx且；D、0|I，xxx。5、设 是一个格，由格诱导的代数系统为,A，则（）成立。A、的分配律对满足,A；B、bbabaAba,；C、cbcabaAcba则若,；D、bbaabbaaAba)()(
4、,且有。6、设是偏序集，“”定义为：babaAba|,，则当 A=（）时，是格。A、1,2,3,4,6,12 ； B、1,2,3,4,6,8,12,14 ； C、1,2,3,， 12 ； D、1,2,3,4 。7、设,A是由格 诱导的代数系统，若对Acba,，当ab时，有（）是模格。A、)()(cabcba；B、)()(cbacac；C、)()(cabcba；D、)()(cabcac。8、在（）中，补元是唯一的。A、有界格；B、有补格；C、分配格；D、有补分配格。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
5、- - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 离散数学试卷（十二）78 9、在布尔代数,A中，0cb当且仅当（） 。A、cb；B、bc；C、cb；D、bc。10、设,A是布尔代数， f 是从 An到 A 的函数，则（） 。A、f 是布尔代数；B、f 能表示成析取范式，也能表示成合取范式；C、若 A=0 ，1 ，则 f 一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式；D、若 f 是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式。三、8% 设 A=1 ，2 ，A 上所有函数的集合记为AA, 是函数的复合运算，试给出AA上运算的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元。
6、四、证明 42% 1、 设 是一个代数系统，* 是 R 上二元运算，bababaRba*,，则 0 是幺元且 是独异点。（8 分）2、 设 是 n 阶循环群， G=(a)，设 b=ak，Ik则 元素 b的阶为dn，这里 d=GCD ( n , k ) 。（10 分）3、 证明如果f 是由 到 的同态映射， g 是由 到的同态映射， 则fg是由到的同态映射。（6 分）4、 设是一个含幺环，且任意Aa都有 aa=a，若|A|3 则不可能是整环。（8 分）5、 K= 1, 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 ,110 是 110 的所有整因子的集合，证明：具有全上界110 和全下界
7、1 的代数系统 是一个布尔代数。 （xxKx110,） 。 （10 分）五、布尔表达式10% 设)()()(),(313221321xxxxxxxxxE是布尔代数,1 ,0上的一个布尔表达式，试写出其析取范式和合取范式。（10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 离散数学试卷（十二）79 一、填空20%（每空 2 分）1、LCM （x,y） ；2、乘法； 3、，、；4、群； 5、,12eaaaaGnn，；6、*,
8、|,1HbaGbGaba、nm/；7、)(|exfGxx且二、选择20% （每小题2 分）题目1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B B，C D A B A A D C C，D 三、 8% 解：因为 |A|=2，所以 A 上共有 22=4 个不同函数。令,4321ffffAA，其中：1)2(,2)1(;2)2(, 2)1(;1)2(, 1) 1(;2)2(, 1) 1(44332211ffffffff1f2f3f4f1f1f2f3f4f2f2f2f2f2f3f3f3f3f3f4f3f3f2f1f1f为 AA中的幺元，1f和4f有逆元。四、证明42% 1、 （8 分）证明：幺 Ra，0
9、00*,00*0aaaaaaa即为幺元00*0aaa乘 Rba,，由于 +， 在 R 封闭。所以Rbababa*即*在 R 上封闭。群 Rcba,)*(*)*()*(*)(*)(*)*(cbacbacbacbcabacbacbacbacbcabacbacbabacbabacbabacba所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 离散数学试卷（十二）80 因此 ， R，*是独异点。2、 （10 分）证明：（1）11,),
10、(kdkndnknGCDd设11111nnkkndknbaaae（ 2）若b 的阶不为n1，则b 阶 mn1，且有)1(1lmln，则有ebm，即eaeaenkdmk11,，即eaaekneknd111，1k有因子l，这与),(knGCDd矛盾。由（1） 、 （2）知，元素b 的阶为dn3、 （6 分）)()()()()(*)()()(,bfgafgbfgafgbfafgbafgbafgAba所以fg是由到的同态映射。4、 （8 分）证明：反证法：如果是整环，且 |A|3，则1,aaAa且aaa即有1,aa且aaaaaaa)1(，这与整环中无零因子矛盾。所以不可能是整环。5、 （10 分）（1
11、）代数系统 是由格 诱导的，其 Hasst 图为Hass图中不存在与五元素格和同构的子格。所以 格是分配格。（2）1),(,110),(:/100,xxGCDxxLCMxxKx使得1) 5,22(,110)5,22(,52211022:GCDLCM如名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 离散数学试卷（十二）81 即任元素都有补元，所以有补格。是布尔代数。五、布尔表达式10%解：函数表为：1x2x3x),(321xxxE0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 析取范式：)()()()()()(),(321321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxE合取范式：)()(),(321321321xxxxxxxxxE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -