2022年2022年六章平稳时间序列 .pdf

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1、第六章平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的， 近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle 和 Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003 年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box 和 Jenkins （1970） 提出的 ARIMA（自回归求和移动平均） 方法；Engle(1982)提出了 ARCH 模型（一阶自回

2、归条件异方差） ，用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者 Schemas和 Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析， 在理论上的发展比较成熟， 从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。第一节基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中， 随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了， 如候车人数，

3、某单位一天的总用水量等。对于一些复杂的随机现象， 用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程， 随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数，它是一个随机变量。若考察它随时间 t 变动的情况， 则需要考察依赖于时间t的随机变量t， t就是一个随机过程。又例如，某国某年的GNP 总量，是一个随机变量，但若考名师资料总结 - - -精

4、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - 查它随时间变化的情形，则tGNP就是一个随机过程。一般地，若对于每一特定的t （tT ） ，ty为一随机变量，则称这一族随机变量ty为一个随机过程。随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集 T和ty的取值的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。为了简便，我们以参数集和ty的取值的特征来分类。 以参数集T的性质， 随机过程可分为两大类：T为可数集合与不可数集合。 以ty所取的值的特征，随机过程也

5、可以分为两大类：离散状态，即tY所取的值是离散的点；连续状态，即ty所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类： 离散参数离散型随机过程； 连续参数离散型随机过程；连续参数连续型随机过程；离散参数连续型随机过程。二、时间序列离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序列。经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。时间序列的特点是： 序列中的数据依赖于时间顺序；序列中每个数据的取值具有一定的随机性；序列中前后的数值有一定的相关性-系统的动态规律；序列整体上呈现某种趋势性或周

6、期性。 时间序列的统计特征通常用其分布及数字特征来刻画。例如期望()tE y，方差()tVar y和协方差Cov(,)tsy y。研究时间序列具有重要的现实意义，通过对时间序列的分析和研究， 认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为， 或修正和重新设计系统 （如改变参数、周期等）按照新的结构运行。三、时间序列的平稳性与滞后算子所谓时间序列的平稳性， 是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时，其估计方

7、法、 检验名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - 过程才可能采用前面几章所介绍的方法。直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。严格平稳是指随机过程ty的联合分布函数与时间的位移无关。设ty为一随机过程，n为任意正整数 , h为任意实数，若联合分布函数满足：121,1,1,tttththnnyyynyynFxxFxx (6.1) 则称ty

8、为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。弱平稳是指随机过程ty 的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。若ty满足以下三条件：()tE y，2()tVar y，Cov(,)()tsyyf ts (6.2) 则称ty为弱平稳随机过程。 在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱平稳，弱平稳通常也被称作宽平稳。需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程； 弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。由于时间序列分析中经常用到白噪声过程，所以有必要对它介绍一下。对 于 一 个 随 机 过 程,ty tT

9、， 如 果()0tE y；2()tVar y；(,)0tsCov yy， ts，则称,ty tT为白噪声过程。白噪声是平稳的随机过程， 因其均值为零， 方差不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果ty同时还服从正态分布，则它就是一个严平稳的随机过程。 白噪声源于物理学与电学， 原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。下图是由噪声过程产生的时间序列。-3-2-1012320406080100120140160180200white noise-4-202420406080100120140160180200DJ PY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

10、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - 图 1 由白噪声过程产生的时间序列图 2 日元对美元汇率的收益率序列在时间序列分析中，我们经常要用到滞后算子L ，它的定义为1ttyLy这个滞后算子 L 是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。如果应用两次滞后算子，我们有21)(tttyLyLyL记两个滞后算子的乘积为2L ，有22ttyyL。规定ttyyL0，即它是一个恒等映射。滞后算子 L 的逆算子1L满足11ttyyL。一般地，对于任意的整数，我们有kttk

11、yyL滞后算子 L 对于数量乘法和加法满足交换律和分配律，即对于任意的常数和时间序列tty ，ttx ，ttw ，我们有ttLyyL)(ttttLwLxwxL)(这样如果ttLxbLay)(，那么有212)(ttttbxaxxbLaLy另一个例子是22112122212121)()1 ()1)(1(ttttxxxxLLLxLL像)(2bLaL这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。第二节移动平均（ MA）过程在 金 融 收 益 率 序 列 的 建 模 中 有 一 类 简 单 模 型 是 滑 动 平 均 模 型(Moving-Average Model, 缩写为 MA 模型)，它可以看作是白噪声序

12、列的简单推广。一一阶移动平均过程1MA如果tu满足白噪声过程，定义过程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - 1tttyuu(6.3) 其中和为常数，这个序列称为一阶移动平均过程1MA。期望为1tttEyEuE u(6.4) 方差为222211tttE yE uu(6.5) 一阶自协方差为21112co v,ttttttyyEuuuu(6.6) 高阶自协方差为11cov,0ttjtttjtjy yE uuuu（1j）(

13、6.7) 上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管为何，1MA过程都是协方差平稳的。而一阶自相关系数2122211（6.8）高阶自相关系数均为0。此时自相关函数在1 阶处截尾。例 1 10 . 8tttyuu，此时120.80.511.64110. 8tttxuu, 此时1221/ 0.80.511(1/ 0.8)这时 MA(1) 序列tx与ty具有相同的相关系数， 那么选择哪一个模型更为合适呢？对于 MA(1) 过程，还有几点值得注意：(1) 正的值得到正的自相关系数，一个大的ty后面通常是一个比平均值大的ty；(2) 负的正的值得到负的自相关系数，一个大的ty后面通常是一个比平均值小的t

14、y；(3) 自相关系数的取值区间11,1 ，并且对于每一个10.5,0.5 ，都有和1/与之对应； (4)某些金融时间序列可能是零均值， 这时就应当是把这个常数均值从模型中移除， 使得MA(1) 模型变为1tttyuu。二 q阶移动平均过程 MA q ：q阶滑动平均过程的表达式为：1122.ttttqtqyuuuu(6.9) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - 其中tu为白噪声过程，12,.,q为任何实数。其均值、

15、方差、自协方差和自相关函数分别为：tE y(6.10) 201122222212.1.ttttqtqqVaryE uuuu（6.11）111121122c o v,. . . . . . .1, 2 , . . . ,0jttjttqtqtjtjqtjqjjjqqjyyE uuuuuujqjq（6.12）即自协方差函数在 q 阶处截尾。由(12)式立即可得 q阶移动平均过程的自相关函数为qkqkqkqqkkkk0,2, 11222212211(6.13) (13)式告诉我们，当移动平均过程的阶为q时，间隔期大于 q的自相关函数值为零。这个性质称为)(qMA的自相关函数的截尾性， 意思是说， 自

16、相关函数的图形随着自变量 k 到达)1(q时突然被截去。)(qMA的截尾性给我们一个重要启示：如果某时间序列是来自一个移动平均过程，则当该时间序列的样本自相关函数，从某个间隔期) 1?(q开始，其值均为零时，我们就可以推测，原时间序列的阶数为q ?。例 2 2MA过程1122ttttyuuu容易算得2220121，21112，222，0j，2j；121122121，2222121，0j，2j。例 3 下式为一个一阶移动平均过程11.60.3tttyuu名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

17、- - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - 其中tu是22高斯白噪声过程，表1是它容量为 100 的一个样本。表 1 一阶自回归过程11.60.3tttyuu的一个实现t tYt tYt tYt tY10.8855262.23351-0.1954761.370724.2934271.2258520.2623773.27483-0.1071281.0914532.6973784.64240.0796293.8662541.5055794.51452.8523303.6584551.8346806.337262.480131-1.2055562.371813.0025

18、72.300332-0.5732571.4937821.987781.0175331.2197581.2863831.874393.2323341.4091592.0144842.1319102.499935-0.844601.7401850.4165112.300736-1.031661-0.299386-1.1645123.1032371.1887621.3933871.3004133.1367381.7468630.366881.0471142.4248390.5279642.5341891.3628152.5574400.1392653.2576900.7714162.5946410.

19、992661.0231913.2516171.1813422.8198672.6489923.1616180.230543-0.603682.1931.6074192.311544-0.4252692.183942.589320-0.0818450.1535701.6981952.321821-3.168846-1.1038712.3432960.8638220.5128471.0635723.7589972.582232.4507482.0526733.9677982.410924 0.8341491.7068743.0588990.872325 1.259550-0.8452751.630

20、41003.4713(1)画出ty的线图； (2)求ty的总体自相关函数；(3)根据表中样本求样本自相关函数。在 EViews 中输入命令Plot y,可得该样本的线图如下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - -4-202468102030405060708090100Y图 3 过程11.60.3tttyuu的线图根据公式 (13)式，容易求得ty的总体自相关函数为12210.30.2752,111 0.30,1kk

21、k在 EViews 中双击序列ty，然后点击 ViewCorrelograms,选择水平序列可得 Autocorrelation and Partial correlations函数图如下，图 4 过程11.60.3tttyuu的自相关与偏相关柱状图从上图的样本自相关函数值可以看出：滞后2 期的自相关函数值2?0.112与1?0.404相比，大幅度减少，2k的样本自相关函数值越来越小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - -

22、 - 三无限阶移动平均过程MA对于一个)(qMA过程，如果让 q，我们就得到如下的过程：11220tjtjtttjyuuu(6.14) 我们称此过程为)(MA过程，这里01。我们可以证明： 如果)(MA过程的系数是平方可和的，即20jj那么)(MA是一个平稳的过 程。一般 地我们用一个更强的绝对可和 条件0jj来代替平方可和条件，绝对可和蕴涵平方可和。系数是绝对可和的)(MA过程的均值和自协方差分别为1122lim()ttttTt TTE yEuuuu(6.15) 2201122222212()lim()lim(1)ttttTtTTTTE yE uuuu(6.16) 201 122()()()

23、jttjjjjE yy(6.17) 四、移动平均过程的识别由(13)式可知，MA 过程的阶等于自相关函数值不为零的最大滞后阶数k。我们怎么能够由可得之时间序列来判断MA 过程的自相关函数在某处(即某间隔长度)的值为零呢？从例3 可知， 即使是 MA 过程的自相关函数在某处的真值为零，但由 MA 过程所产生的一个实现来计算的样本自相关函数在同一处的值却不等于零。这表明，我们不能因为样本自相关函数在某处的值不为零来断定总体自相关函数在同一处的值也不为零。幸而，我们可以知道样本自相关函数值的分布。这样，我们就可以根据样本自相关函数值的分布来进行总体相应的自相关函数值是否为零的显著性检验。名师资料总结

24、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - 根据 George G . Judge (1982) 等所述1， 在样本充分大的条件下， 自相关函数k的置信度为 95%的置区间近似为)2?,2?(nnkk(6.18) 其中，121()()?()n kttktknttyyyyyy为样本自相关函数， n 为样本容量。于是我们有：如果自相关函数值0k， 则在大样本条件下， 相应的样本自相关函数值以95%的概率落入区间nn2,2。由此可得显著性检

25、验程序如下：第一步：根据所得随机时间序列的一个样本计算样本自相关函数值k?。第二步：检验k?是否落入区间nn2,2，或者检验k?的绝对值是否小于n2：如果k?落入区间nn2,2或其绝对值小于n2，则在5%的显著性水平下，不拒绝0k；如果k?在区间nn2,2之外或其绝对值大于n2，则拒绝0k。例 4 设时间序列ty是来自 MA 过程，表 2 的数据是它的一个样本容量为48的一个实现，试确定这个MA 过程的阶。表 2 移动平均过程ty的一个实现时期 tty时期 tty时期 tty1 1.542178172.255198334.225562 2.477647182.892425345.460233

26、4.423028192.715419354.0668321George G. Judge, R. Carter Hill, William E. Griffiths, Helmut L tkepohl, and Tsoung-Chao Lee “ Introduction to the Theory and Practice of Econometrics” , p.692, Copyright 1982, 1988 by John Wiley & Sons, Inc. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

27、理 - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - 4 4.964234202.453714362.4254955 5.452143212.433565373.3608616 1.856292224.120497383.0237597 1.455666233.7203393.5288178 3.954514242.762672402.010389 2.570313252.375098411.28625110 1.657775264.664288420.97008611 0.895445275.049431.7241812 0.13883285.895

28、059442.749795130.914224293.770486453.00863141.639915304.268512462.694154150.417965312.384476475.000872161.161316322.57151482.574218解 由表 2，根据样本自相关系数，计算可得k?的一系列值：k1 2 3 4 5 6 7 k?0.5760.2510.1340.1930.2190.092-0.124而2887.04822n，显然有1,2887. 01,2887. 0?kkk故在 5%的显著性水平下，拒绝01，接受0k，当1k。这表明表 2的数据产生于一个MA(1) 过程

29、。五、移动平均过程的参数估计移动平均过程的参数据估计就是在已确定移动平均过程的阶以后，根据它的一个现实或样本),(21nYYY，来估计移动平均过程的均值)(tYE，诸移动平均系数 (或称权数 )，以及被假定为白噪声过程或高斯白噪声过程的tu的方差2u。由于不可逆的移动平均过程意义不大，所以我们只研究的可逆的移动平均过程，因为有限阶移动平均过程是平稳的，所以其均值为常数， 而这个常数完全可以由样本平均数来估计。因此，均值的估计也就不成为问题。正因为如此，不失一般性，我们假定)(qMA的均值0)(tYE，以便于对其它参数的估计(若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

30、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - 不然，只要将移动平均过程的每一项减去其均值，而均值的估计值是可得的)。故可设qtqttttuuuuY2211(6.19) 其中tu是一白噪声过程。估计(6.19)式中的参数的一个直接方法是将它化成)(AR的形式 (因为它是可逆的，所以这种转换是可行的)：ttuYLLL)1 (33221即tttttuYYYY332211(6.20) 求使上式所表示的计量经济学模型的残差平方和最小的诸，即求诸，使12332211321)(),(tttttYYYYS

31、(6.21) 最小。但由于样本容量是有限值n，所以上式可简化为nttttttnYYYYYS1211332211321)(),(6.22) 即，我们的估计问题首先就是要求求诸，使),(321nS最小(10)。当我们估计出诸以后，再根据诸与诸的关系，求出诸的估计值，而tu的方差2u则可由下式估计：qnSnu)?,?,?,?(?3212(6.23) 或nSnu)?,?,?,?(?3212(6.24) 上述过程所用的方法是最小二乘法，但是由于诸与诸的关系十分复杂，所以上述估计属于非线性估计， 往往要在一组初始值下进行迭代。有计量经济学软件 EViews 中有相应的程序对)(qMA过程进行参数估计。例如

32、：如要估计 MA(2) 过程，则估计命令为Ls y c MA(1) MA(2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - 下图是某 MA(2) 序列的 EViews 估计的输出结果图 5 MA(2)过程的 EViews 估计结果若假设 (6.19)式中tu是一高斯白噪声过程， 则可用最大似然估计来估计模型中的参数。例如对于高斯1MA过程1tttYuu（6.25）其中20,tuiidN。2, ,表示要估计的总体参数。如果

33、1tu已知，则211,tttY uNu（6.26）其概率密度函数为：1211221;exp22ttttttY uyufy u（6.27）如果已知00u，则210,Y uN（6.28）给定观察值1y，则1u就是确定的11uy（6.29）代入（ 6.27） ，得到210221210,0221,0;exp22Y Y uyufyy u（6.30）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - 因为1u确知，2u可由下式求出：221u

34、yu（6.31）通过迭代法由12,.,Tyyy求出12,.,Tu uu整个序列：1tttuyu（6.33）1,2,.,tT，从00开始。则第 t 个观测值的条件密度为：121011210,.,02122,.,0;1;exp22ttttttttY YYY utttY ufy yyy uufy u（6.34）则样本似然函数为1101012101210,.,01012100,.,02,.,0;0;,.,0;TTtttTTTYYY uTtttY uY YYY utfyyyy ufy ufy yyy u（6.35）条件对数似然函数为110110,.,02221ln,.,0;ln 2ln222TTTTYY

35、Y uTttLfyyy uuTT（6.36）其中，利用（ 6.33）和观察值序列可以求出隐含的白噪声序列。但是条件似然函数仍然是非线性函数。需要使用数值解法求参数。第三节自回归（ AR）过程另一类常用的模型是自回归模型(Auto Regressive Model，缩写为 AR 模型)。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。美国芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）价值指数的月收益率tr具有统计显著的间隔为 1 的自相关系数，这表明延迟的收益1tr在预测tr时会有一定的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。一一阶自回归过程1AR表达式为方程：1ttty

36、cyu（6.37）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - tu为白噪声序列。如果1，过程（ 6.37）中tu对ty的影响随着时间累增而不是消失，过程不是有限方差的协方差平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。当1时，过程为协方差平稳过程，此时利用滞后算子过程变为：1ttL ycu（6.38）利用求逆，从而得到此过程的解为MA过程：22212111.1.1ttttttucyLLcLLucuuu（6.39）明显，当1时，满

37、足绝对可加性：0011jjjj（6.40）此时过程的均值、方差、自协方差函数和自相关函数分别为：1tcE y(6.41) 22230123224622.1.1tttttE yE uuuu22121224222.1jttjttttjtjtjjjjjEyyE uuuuuu（6.42）0jjj(6.43) 从自相关函数可以发现： 当1时，自相关函数按几何方式衰减。tu增加一个单位对于tjy的影响等于ty和tjy之间的相关系数。正的值意味着ty和tjy之间正相关。负的值意味着ty和tjy之间负相关。此时自相关函数拖尾。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

38、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - 如果假定过程是协方差平稳的， 可直接利用差分方程1tttycyu计算各阶矩。对（ 6.37）式两边取期望：1ttE ycE y从而，1tcEy（6.44）对（6.37）式变形，得到：11tttyyu或1tttYYu（6.45）两边平方求期望：2222112tttttE yE yEyuE u将21123.ttttyuuu代入（ 25） ，可得2200从而得到协方差平稳1AR过程的方差：2021（6.46）根据同样的道理，（6.37）两侧同时乘以tjy，再求期望，

39、可得自协方差函数：1ttjttjttjEyyEyyEy即1jj（6.47）解自协方差函数的差分方程，得到0jj（6.48）自相关函数为：0jjj（6.49）二二阶自回归过程2AR表达式为1122ttttycyyu（6.50）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - 或者写成滞后算子形式：2121ttLLycu（6.51）差分方程（ 6.51）的平稳条件是特征方程22110zz的根都落在单位圆外。此时自回归算子的逆为：1

40、22120121.LLLLL（6.52）这里的j由矩阵jF 的第 1,1 个元素给出。将（6.51）两边同时乘以L 得到：ttyL cL u显然121tcEyL c（6.53）也可直接对（ 6.50）两边取期望，从而有112212tttE ycE yE yc（6.54）再次得到121tcE y（6.55）系统（ 6.50）变形为1211221ttttyyyu进一步变形1122ttttyyyu（6.56）两边同时乘以tjy，求期望，得到1122jjj1 , 2 , . . .j（6.57）两边同时除以0，得到1122jjj1 , 2 , . . .j（6.58）可见，对于2AR过程，其自协方差和

41、自相关函数仍然是差分方程。当1j时，112/ 1；当2j时，2112；由此通过逐次求解迭代就可以求得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - 自相关函数。自相关函数仍然具有拖尾特征。下面我们求二阶自回归过程的方差。 （6.56）两侧同时乘以ty，再求期望得到：21122tttttttE yE YyE yyE uy即22011220110220整理一下，得到22022221111（6.59）三 p 阶自回归过程 AR p

42、表达式为：1122.tttptptycyyyu（6.60）其平稳性条件为特征方程2121.0ppzzz的根都在单位圆外。 假设过程协方差平稳，则对（ 6.60）两边求期望，得到：12.pc从而可以得到均值：12/ 1.pc（6.61）表达式（ 6.60）可以写成：1122.tttptptyyyyu（6.62）表达式两侧同时乘以tjy，再取期望可得自协方差：112221 122.1,2,.+0jjpjpjppjj（6.63）已知jj，因此得到结论： 当0,1,2,.,jp时，01,.,p是212,.,p的函数。（6.63）两侧同时除以0，得到尤拉 -沃克（ Yule-Walker）方程：1122

43、.jjjpjp1 , 2 , . . .j（6.64）因此表达式（ 6.63）和（ 6.64）表明， p阶自回归过程的自协方差函数和自相关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - 函数具有相同形式的p 阶差分方程， 其自相关函数的具有拖尾特征。 也就是说随着 k 的增大，k的绝对值逐渐下降，但是不会到某一点以后被突然截断，而是一直拖下去，我们称自回归模型的自相关函数的这种特性为自回归模型的自相关函数的拖尾性。显然自相关

44、函数的拖尾性是AR 模型的特征而自相关函数的截尾性则是MA模型的特征。但是用自相关函数的拖尾性并不足以说明时间序列是来自自回归过程。 自相关函数的拖尾性和偏自相关函数的截尾性往往就能说明时间序列是来自自回归过程。下面引入偏自相关函数的概念。在(6.64)式中令pk,2, 1，得到如下的 Yule-Walker 方程组112112112021122pppppppp(6.65) 其中运用了10和kk。当p,21为已知时，可从 Yule-Walker方程组中解出诸i。 但用方程 (6.65)求解诸i需要先知道自回归过程的阶数p，但是我们并不知道。因此，我们可以分别,2,1p求解。当1p时， 求解方程

45、组 (6.65)， 并利用样本自相关函数， 得1的估计值11? 。如果1显著地不为零，则自回归过程的阶数至少为1。记1?为11。当2p时，求解方程组 (6.65)，并利用样本自相关函数， 得1和2的估计值，设2的估计值为2?。如果2显著地不为零， 则自回归过程的阶数至少为2。记2?为22。对 p 连续取值 3，4，重复上述过程，如对3p，得到3的估计值3?，记为33，等等。我们称序列11，22，33，为偏相关函数。四、自回归过程的识别从上述偏相关函数的概念中可知，我们可以从偏相关函数的特性来推测自回名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

46、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - 归过程的阶数：按上述求偏相关函数值的方法求得偏相关函数的值并作显著性检验，如果在 p 的某一个取值m，m显著地不为零，而此后的()kkm不显著，则自回归过程的阶数为m。所以当自回归过程的阶数确实为p 时，则()jjp为零而()jjp近似为零。为了进行显著性检验需要知道偏相关函数的分布特征。好在我们有如是结果：jj近似地服从均值0，方差为n1的正态分布 (n 为样本容量)。因此，可以在显著性水平 5%下，通过考察jj的绝对值是否大于n2检验j是否显著地不为 0。例 5 由方

47、程1220.70.2ttttyyyu(tu为高斯白噪声 )产生一个样本容量为100 的时间序列。 根据所产生的时间序列样本求样本自相关函数和偏自相关函数并由此确定其阶数，看一看结果是否与生成机制相吻合。显然随机过程1220.70.2ttttyyyu是平稳的 AR(2)过程。因为它的特征多项式的根均在单位园之外。据此可计算出它的均值为2()201 0.70.2tE y， 以均值作为初始值去生成时间序列即令10(,)(20, 20)yy根据生成机制1220.70.2ttttyyyu， 由随机数发生器生成容量为100 的时间序列如表 3。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

48、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - 表 3 二阶自回归过程1220.70.2ttttyyyu的一个实现t tYt tYt tYt tY119.699772616.97945116.258577621.44384218.512152719.306685218.563257719.84629319.142722819.776235316.966227818.62228420.378812922.080355416.935437919.71618521.292063020.756

49、595518.005768020.16418622.713343122.607145618.457838122.26385719.974163220.363915719.396248223.06129820.29043321.315125819.864678323.89958921.293133421.895565918.412678423.454921019.876573523.508836017.746078523.200311119.482023622.750776118.798778623.38491217.92233722.103516219.030998722.983981316.

50、59513822.697756318.141618821.711091416.22343921.92786418.264388920.019751515.901894022.646626518.544929021.184381614.258084120.794016619.192129121.277241714.593114220.23796719.282189221.748851814.662744318.803766818.424999321.693121915.317394418.847336920.638789420.508022015.289234518.921417020.6193