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1、_华东交大20142015学年第一学期期中考试承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。专业 班级 学号 学生签名： 试卷编号： （A）卷 高等数学(A) 课程 (工科本科14级) 课程类别：必 闭卷（） 考试时间：2014.11.16题号一二三四总分1234567121分值188888888998阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分100分，考试时间120分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。得分评阅人 一、填空题(每题3分，共
2、18分) 4已知，则 ， ； 5函数在点处可导，且,则当时，无穷小与的比较结果是_；得分评阅人二、计算题(每题 8分，共56分) 1设，求. 2、 3、设，求. 6、设其中满足方程函数均二阶可导，求 . 7、设函数在点处有定义，且，求. 三、应用题(每题 9分，共18分) 1、求方程中的隐函数的导数。 2、讨论函数的单调性，并求方程的不同实根的个数，其中 为参数. 四、证明题(8分) （1）设函数在区间上可导，证明：存在，使得 ； （ 2 ）设在区间0,1上连续，在(0，1)内可导，且，证明：.存在不同的，使得.8_华东交大20142015学年第一学期期中考试答案一、填空题(每题3分，共18分
3、)1、6 2、 4 5、 6、二、计算题(每题 8分，共56分)1、， 2、解 3、 5、解 两边取对数得 6、7、 即:.三、应用题(每题 9分，共18分)1、解：对上述方程两边求导，得2、令，则是上的奇函数，且. 当0即1时，在内单调减少;当0即1时，在内，单调增加；在内，单调减少。又从而（1）当1时，在内单调减少，方程只有一个实根（2）当1时，由于是在内的最大值，且，所以又因为，所以存在，使得由是奇函数及其单调性可知：当时，方程有且仅有三个不同实根四、证明题(8分)法I:令，用罗尔定理得证。法2: 令，用柯西中值定理证。法3: 令，用拉格朗日中值定理证。（2）由于在区间0,1上连续，由介值定理，存在，且，使得，在上分别用拉格朗日定理得：存在不同的，使得故