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1、_武汉理工大学考试试题（A卷）课程名称：高等数学A（下） 专业班级：2008级理工科专业题号一二三四五六七总分题分1520161616107100备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1. 函数有存在，则有（ ）. A B. C D存在2. L是平面上单连通区域G内的光滑曲线，在G内有一阶连续的偏导数，则与路径无关的充要条件是（ ）. A B C D 3. 若D，则二重积分的值是：（ ）.A 0 B C2 D 34. 下列级数中发散的级数是（ ）.A B C D5. 用待定系数法求微分方程的特解时，的
2、形式可设为（ ）.A BC D.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 函数在点处的梯度gradU = .2. L是xoy平面上的曲线：；设是曲线长的微元，则曲线积分的计算结果= .3. 将二次积分交换积分次序是= .4. 函数以为周期，在上 ，将函数展开成周期为的傅立叶级数,其和函数为,则= .5. 微分方程在条件下的特解为 .三、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分)1. 设函数由方程所确定，期中具有连续的正值偏导数，求.2. 求微分方程的通解。四、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分)1. 计算密度为的均匀锥面：对oz轴的转动惯量。2. 求幂级数的收敛域及
3、和函数，并求数项级数的和。五、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 1. 用格林公式计算，其中L是从点（2，0）沿椭圆至点（0，3）的小弧段。2. 用高斯公式计算，其中S是曲面与围成的空间立体的表面外侧。六、应用题(10分) 研究并求出空间曲线上的点到xoy坐标平面的最长、最短的距离。七、证明题(本题满分7分)设函数有一阶连续的偏导数，且。证明在空间曲面上过点A（1，1，1）的任意一条在A点切线存在的曲线，在A点处的切向量都与一个定向量垂直。试卷解答：一、D、D、A、A、B二、1.（4，1，-2）；2.；3.; 4.; 5.三、1. 2. 特征根。对应齐次方程的通解：。设非齐次方程的
4、解为：代入方程得到：a=2,b=1.原方程得通解是：。四、1对z轴的转动惯量为= = 2收敛域：（0，2）令x-1=t, 则，而， ， 。 和函数 。五、1加有向线段BO、OA。其中B（0，3）、O（0，0）、A（2，0）, 设曲线L+BO+OA所包围的平面区域为D。原式=-=。2原式=六、法一：由于， 设 令： 解得唯一点： 根据问题的几何特征最大距离是+，最小距离是（2/3） 法二：过曲线平行于y轴的投影柱面是:,开口向z正半轴的抛物柱面，原问题可以转化成，求xoz平面上的投影曲线到x轴的最大、最小距离。最大距离是+。最小距离就是函数的最小值。， 令=0 解得：。曲线上点到xoy平面的距离最小，最小距离是（2/3）。七、设曲面上过A点的任意一条曲线为L：，A点对应的参变量； 则有：，且。 即：。由L的任意性可证结论成立。5_