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1、第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系相位）的物理意义及各量间的关系. .掌握掌握A、的的求法，及谐振动方程的建立；求法，及谐振动方程的建立； 二二 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法，并会用描述简谐运动的旋转矢量法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析于简谐运动规律的讨论和分析. .正确理解正确理解谐振动系统谐振动系统能量的特点。能量的特点。 三三 理解理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，同方向、同频率简谐运动的合成规律，会求合成振动方程；熟练掌握合成加强
2、与减弱的条会求合成振动方程；熟练掌握合成加强与减弱的条件；件；了解拍合成的特点了解拍合成的特点. . 四四 定性了解定性了解阻尼振动、受迫振动和共振的发阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律生条件及规律. .第四章第四章 机械振动机械振动 Oscillation前言：前言： 振动和波是物理中的重要领域：振动和波是物理中的重要领域：一、简谐振动一、简谐振动4-14-1简谐振动（简谐振动（Simple harmonic motionSimple harmonic motion） （只讲（只讲1和和2）第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 任一物理量在某一定值附近
3、往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动. . 机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动. . 其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动. . 简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体. .简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 简谐振动简谐振动 的判断的判断1谐振动谐振动 动力学特征方程：动力学特征方程：Fkx 2谐振动谐振动 运动学特征方程：运动学特征方程：2220d
4、xxdt3谐振动谐振动 运动方程：运动方程： 弹簧振子的振动弹簧振子的振动)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAamk2令令)cos(tAx第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应二、谐振动的振幅、周期（频率）和周相二、谐振动的振幅、周期（频率）和周相 （位相或相位）（位相或相位）（只讲（只讲1、3、4）第十五章第十五章 机械波机械
5、波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应)cos(tAx1 1 振幅振幅maxxA 2 2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx图图AAxT2Tto第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 3 3 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述质点描述
6、质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）20( ( 取取 或或 ) )第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应22020vxA00tanxv4 4 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAx第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒
7、效应多普勒效应cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解 （1）x=Acos =A cos=1=1 v=-A sin =0 sin=0 =0 (2) x=Acos =0 cos=0 v=-A sin = -A sin=1 =/2 oAxoAxv =0(1)(2) 例例1 1 计算下列情况的初相位计算下列情况的初相位 (1) t=0,x= A, v=0 (2) t=0,x=0,v=-A (3) t=0,x=0,v=A (4) t=0,x=
8、A/2,v 0第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解（3）x=Acos=0 ， cos=0=0 v=-Asin =A， sin=-1，= -/2 (4) x=Acos= A/2 ， cos=1/2 v=-A sin 0 =/ 3 =- /2 =/3 xoAv(3)oA/2xv(4) 例例1 1 计算下列情况的初相位计算下列情况的初相位 (1) t=0,x= A, v=0 (2) t=0,x=0,v=-A (3) t=0,x=0,v=A (4) t=0,x=A/2,v 0第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解 (5）x=Ac
9、os= -A/2, cos=-1/2=-1/2 v=-Asin 0 ， sin0， = -2/3 =-2 /3 o-A/2xv (5) 例例1 1 计算下列情况的初相位计算下列情况的初相位 (1) t=0,x= A, v=0 (2) t=0,x=0,v=-A (3) t=0,x=0,v=A (4) t=0,x=A/2,v 0第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应oxm 开始时，使弹簧伸长开始时，使弹簧伸长L0，物体静止物体静止,然后将物体然后将物体从平衡位置拉下一小段距离，求物体运动方程从平衡位置拉下一小段距离，求物体运动方程 例例2 2 图示一轻质绳一端连接轻
10、质弹簧，图示一轻质绳一端连接轻质弹簧，其劲度系数为其劲度系数为 ，绳另一端绕过一转动，绳另一端绕过一转动惯量为惯量为 的薄圆盘与物体的薄圆盘与物体 相连，圆盘相连，圆盘半径为半径为kIRm第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解1：取物体、弹簧和圆盘为研究对：取物体、弹簧和圆盘为研究对象，分析它们受力，其动力学方程象，分析它们受力，其动力学方程分别为分别为1Tmg2T1T2To且且221ad xRR dt，0klmg将将11TT物体物体212d xmgTmamdt圆盘圆盘12TTR I弹簧弹簧20Tk lx 注：研究简谐运注：研究简谐运动时动时, ,坐标原点坐
11、标原点建立在平衡位置建立在平衡位置第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应和和22TT代入式代入式得得2222()d xI d xmg mmg kx RdtR dt222()d xImkxdtR222()0d xkxIdtmR则物体作则物体作简谐运动简谐运动，其周期为，其周期为2222ImRTkR第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解2 2：用能量方法研究系统的运动用能量方法研究系统的运动oxm 该系统的机械能守恒，则有该系统的机械能守恒，则有2222001111()2222mvIk xlmgxkl两边求导两边求导0dvddxm
12、vIkxdtdtdt式中式中22221,dvd x dxdd xvvdtdtdtdtR dtR222220d xId xmvvkxvdtRdt222()0d xImkxdtR与上结果相同与上结果相同注：从能量守恒导出简谐运动注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械运方程的思路，对研究非机械运动十分重要，因为此时已不宜动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！用受力分析的方法了！第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应由转动定律由转动定律例例3、(1) 单摆的振动单摆的振动：,m l设某时刻角位移为，则力矩（对设某时刻角位移为，则力矩（对A点）点）si
13、nMmgl 当角很小时（当角很小时（ ）5 （与与 比较比较）Mmgl Fkx22dMIdt 22dmgldtI 2Iml220dgdtl lTFPmo A单摆作简谐运动，其单摆作简谐运动，其gl 2lTg 简谐运动方程简谐运动方程0cos()t第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应(2(2）复摆：质量为）复摆：质量为m m的物体绕水平轴自由摆动的物体绕水平轴自由摆动 设质心到转轴距离为设质心到转轴距离为 ，复摆小角度摆动，则作用，复摆小角度摆动，则作用于复摆的力矩为于复摆的力矩为lsinMmglmgl olcP220dmgldtI 令令2mglI所以，其振动周
14、期为所以，其振动周期为22ITmgl第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例4 、 如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。AmAmyyO解：解：设：比重计截面设：比重计截面S 质量质量m 液体比重液体比重 不考虑粘滞力不考虑粘滞力mggySVF )(0gySmggV )(0gyS gySdtydm 22022 ymgSdtydmgS 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应例例5 5、弹簧串联时，等效劲度系数为弹簧串联时，等效劲度系数为12111kkk 弹簧并联时，等效劲度系数为弹簧并联时，
15、等效劲度系数为12kkk1k2km2k1km01 12 2klk lk l011,lkkl022lkkl）（0l）（1l）（2l第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）42 42 谐振动的能量谐振动的能量 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多
16、普勒效应多普勒效应简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0d
17、d22xmktx第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应（2）J100 . 23222maxmax,k2121Amm
18、Ev（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x作业：练习八练习八第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 以以 为为原点原点, ,旋转矢旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax 当当 时时0t0 x43 43 谐振动的旋转矢量投影表示法谐振动的旋转矢量投影表示法第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 以以 为为原点原点, ,旋转矢
19、旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAtt t)cos(tAx时时第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xA第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢
20、量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简
21、谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例1 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg
22、20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/ xo0.05第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m0
23、5. 0(1t第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应oxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1
24、tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求Ox （1 1） 时，物体所处的位置和所受的
25、力；时，物体所处的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解m08. 0A1s22T第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应o08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAxcos)m08. 0(m04. 03A33)s2cos()m08. 0(1txm08. 0A1s22T第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应o08. 004. 004. 008. 0m/xv3)s2cos()m08.0(1txs0 . 1t代入上式得代入上式得m06
26、9. 0 xxmkxF2)m069. 0()s2)(kg01. 0(21N1070. 13kg01. 0m第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应o08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间. .m04. 0 x 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为m04. 0 xt3)s2cos()m08. 0(m04. 01ts23)21(arccosts667. 0s32第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒
27、效应o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二解法二33起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts667. 0s32t1s2第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例3 3 已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写出其振动方程。出其振动方程。 t s x m0.040.0200.020.042解解：设振动方程为设振动方程为cosxAt 由图知由图知又由图知又由图知0.04Am000,02Atxv 旋转矢量法确定初相：旋转矢量法确定初相： 时质点位于点时质点位于点向轴负方向运动，则对应的旋转矢量位于位向轴负方向运动，则对应的旋转矢量位于位置，所以初相位置，所以初相位axa23 0t 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应yxaabbovv v 角频率的确定：角频率的确定： 时，质点位于点向时，质点位于点向 轴正方向，对应的旋转矢位于位置，可见矢量旋轴正方向，对应的旋转矢位于位置，可见矢量旋转，则角频率为转，则角频率为2tsbb x2t 由此得振动方程由此得振动方程20.04cos()23xt cosxAt t s x m0.040.0200.020.042