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1、1 2015 年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10 小题，每小题5 分，共 50 分1 （ 5 分） （2015?湖南）已知=1+i（ i 为虚数单位），则复数z=（）A1+i B1i C1+i D1i 考点 ：复数代数形式的乘除运算专题 ：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z 的值解答：解： 已知=1+i（i 为虚数单位），z=1i，故选： D点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2 （ 5 分） （2015?湖南）设A、B 是两个集合，则“ AB=A ” 是“ A? B” 的（）A充分不必要条件B必要不充
2、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：集合；简易逻辑分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可解答：解： A、B 是两个集合，则“ A B=A ” 可得 “ A? B” ，“ A? B” ，可得 “ A B=A ” 所以 A、 B 是两个集合，则“ A B=A ” 是“ A? B” 的充要条件故选： C点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用3 （ 5 分） （2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
3、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2 ABCD考点 ：程序框图分析：列出循环过程中S与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第 1 次循环， S=，i=2，第 2 次循环， S=，i=3，第 3 次循环， S=，i=4，此时， in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选： B 点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4（5 分）（2015?湖南）若变量 x、 y 满足约束条件， 则 z=3xy
4、的最小值为 （）A7 B1 C1 D2 考点 ：简单线性规划专题 ：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - 3 解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得 C（0，1） 由解得 A（ 2，1） ，由，解得 B（1，1）z=3xy 的最小值为3 （ 2） 1=7故选： A点评：本题考查了简单的线性规划，
5、考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的B 点5 （ 5 分） （2015?湖南）设函数f（x） =ln（1+x） ln（1x） ，则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可解答：解：函数 f（x）=ln（1+x） ln（1x） ，函数的定义域为（1，1） ，函数 f（ x）=ln（1 x） ln（1+x）=ln （1+x） ln（1x）=f（x） ，所
6、以函数是奇函数排除 C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项， x=0 时，f（0）=0；x=时， f（）=ln（1+） ln（ 1）=ln3 1，显然 f（0）f（） ，函数是增函数，所以 B 错误， A 正确故选： A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - 4 点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力6 （5 分） （2015?湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数
7、为30，则 a= （）ABC6 D6 考点 ：二项式定理的应用专题 ：二项式定理分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令x 的指数为求得 r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含x的项的系数为30，r=1，并且，解得 a=6故选： D点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具7 （5 分） （2015?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数
8、的估计值为（）附“ 若 XN=（ ，a2） ，则P（ X + ）=0.6826p（ 2 X +2 ）=0.9544A2386 B2718 C3413 D4772 考点 ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题 ：计算题；概率与统计名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 5 分析：求出 P（0X 1）= 0.6826=0.3413，即可得出结论解答：解：由题意P（ 0X 1）= 0.6826=0.3413，落入阴影部分
9、点的个数的估计值为10000 0.3413=3413，故选： C点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题8 （ 5 分） （2015?湖南）已知A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且AB BC，若点 P 的坐标为（ 2，0） ，则 |的最大值为（）A6 B7 C8 D9 考点 ：圆的切线方程专题 ：计算题；直线与圆分析：由题意，AC 为直径，所以 |=|2+|=|4+| B 为 （1， 0） 时， |4+| 7，即可得出结论解答：解：由题意， AC 为直径，所以|=|2+|=|4+|所以 B 为（ 1，0）时， |4
10、+| 7所以 |的最大值为7故选： B点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础9 （ 5 分） （2015?湖南）将函数f（x） =sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1） g（x2）|=2 的 x1、x2，有 |x1x2|min=，则 =（）ABCD考点 ：函数 y=Asin （x+ ）的图象变换专题 ：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可解答：解：因为将函数f（ x）=sin2x 的周期为 ，函数的图象向右平移（0 ）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1
11、） g（x2）|=2 的可知，两个函名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - 6 数的最大值与最小值的差为2，有 |x1x2|min=，不妨 x1=，x2=，即 g（x）在 x2=，取得最小值，sin（2 2 ）=1，此时 =，不合题意，x1=，x2=，即 g（x）在 x2=，取得最大值，sin（22 ）=1，此时 =，满足题意故选： D点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问
12、题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答10 （5 分） （2015?湖南）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=） （）ABCD考点 ：简单空间图形的三视图专题 ：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计分析：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为 2，求解体积利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n 的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1） ，0 x2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即名师资料总结 -
13、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - 7 解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为 2，V= 2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，此长方体底面边长为n 的正方形，高为x，根据轴截面图得出：=，解得； n=（1） ，0 x2，长方体的体积=2（1）2x，=x24x+2，=x24x+2=0，x=，x=2，可判断（ 0，）单调递增，（， 2）单调递减，最大值 =2（1）2 =，原工件材料的利用率为=，故选： A 点评：
14、本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题二、填空题，共5 小题，每小题5 分，共 25 分11 （5 分） （2015?湖南）（x1）dx=0考点 ：定积分专题 ：导数的概念及应用分析：求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值解答：解：（x1） dx=（x）|=0；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - 8 故答案为： 0点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的
15、原函数12 （5 分） （2015?湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为135 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是4考点 ：茎叶图专题 ：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论解答：解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间 139，151上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35 人中抽取7 人，成绩在区间 139，151上的运动员应抽取7=4（人） 故答案为： 4点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目1
16、3 （5 分） （2015?湖南）设F 是双曲线 C：=1 的一个焦点若C 上存在点P，使线段 PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为考点 ：双曲线的简单性质专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设 F（c，0） ，P（m，n） ， （m0） ，设 PF 的中点为M（0，b） ，即有 m=c，n=2b，将中点M 的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到解答：解：设 F（ c，0） ， P（m，n） ， （m0） ，设 PF 的中点为M（0，b） ，即有 m=c，n=2b，将点（ c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得 e2=5，解得 e=故答案为：名师资料总结 - -
17、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - 9 点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题14 （5 分） （2015?湖南）设Sn为等比数列 an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则an=3n1考点 ：等差数列与等比数列的综合专题 ：等差数列与等比数列分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式解答：解：设等比数列的公比为q，Sn为等
18、比数列 an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，可得 4S2=S3+3S1，a1=1，即 4（1+q）=1+q+q2+3， q=3an=3n1故答案为： 3n1点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查15 （5 分） （ 2015?湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则a的取值范围是a|a0 或 a1考点：函数的零点专题：计算题；创新题型；函数的性质及应用分析：由 g（x）=f （x） b 有两个零点可得f（x）=b 有两个零点，即y=f （x）与 y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，
19、结合函数图象可求a 的范围解答：解： g（x）=f（x） b 有两个零点，f（x）=b 有两个零点，即y=f （x）与 y=b 的图象有两个交点，由 x3=x2可得， x=0 或 x=1 当 a 1 时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1 满足题意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 0 当 a=1 时，由于函数f（ x）在定义域R 上单调递增，故不符合题意 当 0 a1 时，函数f（x）单
20、调递增，故不符合题意 a=0 时， f（x）单调递增，故不符合题意 当 a 0 时，函数 y=f（x）的图象如图所示，此时存在b 使得， y=f（x）与 y=b有两个交点综上可得， a0 或 a1 故答案为： a|a 0 或 a 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 1点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、 分类讨论的数学思想三、简答题，共1 小题，共75 分， 16、17、18 为选修
21、题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16 （6 分） （2015?湖南）如图，在O 中，相较于点E 的两弦 AB ，CD 的中点分别是M，N，直线 MO 与直线 CD 相较于点F，证明：（1）MEN+ NOM=180 （2）FE?FN=FM ?FO考点 ：相似三角形的判定专题 ：选作题；推理和证明分析：（1）证明 O，M，E，N 四点共圆，即可证明MEN+ NOM=180 （2）证明 FEM FON，即可证明FE?FN=FM ?FO解答：证明：（1） N 为 CD 的中点，ONCD，M 为 AB 的中点，OMAB ，在四边形OMEN 中， OME+ ONE=90
22、 +90 =180 ，O，M，E，N 四点共圆，MEN+ NOM=180 （2）在 FEM 与FON 中， F=F，FME= FNO=90 ，FEM FON，=FE?FN=FM ?FO点评：本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础选修 4-4：坐标系与方程17 （6 分） （2015?湖南）已知直线l：（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为 =2cos （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为（5，） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求 |MA| ?|MB|的值名
23、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 2考点 ：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程专题 ：选作题；坐标系和参数方程分析：（1）曲线的极坐标方程即2=2 cos ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线 l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论解答：解： （1） =2cos ，2=2 cos ，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2
24、）直线 l：（ t 为参数），普通方程为， （5，）在直线 l 上，过点 M 作圆的切线，切点为T，则 |MT|2=（51）2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA| ?|MB|=18 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题选修 4-5：不等式选讲18 （2015?湖南）设a 0，b0，且 a+b= +证明：（ ）a+b 2；（ ）a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立考点 ：不等式的证明专题 ：不等式的解法及应用分析：（）由 a0，b0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（）运用反证法证明假设a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立结合
25、条件a0，b 0，以及二次不等式的解法，可得0a1，且 0b1，这与 ab=1 矛盾，即可得证解答：证明：（）由 a0，b0，则 a+b=+=，由于 a+b0，则 ab=1，即有 a+b 2=2，当且仅当 a=b 取得等号则 a+b 2；（）假设 a2+a2 与 b2+b2 可能同时成立由 a2+a 2及 a0，可得 0a1，由 b2+b2 及 b0，可得 0 b1，这与 ab=1 矛盾a2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
26、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 319 （2015?湖南）设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且 B 为钝角（ ）证明： BA=；（ ）求 sinA+sinC 的取值范围考点 ：正弦定理专题 ：解三角形分析：（）由题意和正弦定理可得sinB=cosA ，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得A （0，） ，可得 0sinA，化简可得sinA+sinC= 2（sinA ）2+，由二次函数区间的最值可得解答：解： （ ）由 a=btanA 和正弦定理
27、可得=，sinB=cosA ，即 sinB=sin（+A ）又 B 为钝角， +A （， ） ，B=+A，BA=；（）由（ ）知 C= （ A+B ）= （ A+A ）=2A0，A （ 0，） ，sinA+sinC=sinA+sin （2A）=sinA+cos2A=sinA+1 2sin2A =2（sinA）2+，A （ 0，） ，0sinA，由二次函数可知 2（sinA ）2+sinA+sinC 的取值范围为（，点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题20 （2015?湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4 个红球
28、、 6 个白球的甲箱和装有5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 4（2）若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求 X 的分布列和数学期望考点 ：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题
29、：概率与统计分析：（1）记事件 A1= 从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2= 从乙箱中摸出一个球是红球 ， 事件 B1= 顾客抽奖1 次获一等奖 ， 事件 A2= 顾客抽奖1 次获二等奖 ，事件 C= 顾客抽奖1 次能获奖 ，利用 A1，A2相互独立，互斥，B1， B2互斥，然后求出所求概率即可（2）顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验， 判断 XB求出概率，得到 X 的分布列，然后求解期望解答：解： （1）记事件 A1= 从甲箱中摸出一个球是红球，事件 A2= 从乙箱中摸出一个球是红球 ，事件 B1= 顾客抽奖 1 次获一等奖 ，事件 A2= 顾客抽奖1 次获二等奖，事件 C= 顾客
30、抽奖1 次能获奖 ，由题意 A1，A2相互独立，互斥，B1， B2互斥，且 B1=A1A2， B2=+，C=B1+B2，因为 P （A1）=，P（A2）=，所以， P（B1）=P（A1）P （A2）=，P （B2）=P（）+P（）=+=，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=（2）顾客抽奖1 次可视为3 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1 次获一等奖的概率为：所以 XB于是， P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=故 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）=3 =点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分
31、布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 521 （2015?湖南）如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3 和 6的正方形， AA1=6，且 AA1底面 ABCD ，点 P、Q 分别在棱DD1、BC 上（1）若 P是 DD1的中点，证明：AB
32、1PQ；（2）若 PQ平面 ABB1A1，二面角PQDA 的余弦值为，求四面体ADPQ 的体积考点 ：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质专题 ：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（1）首先以 A 为原点， AB ，AD ，AA1所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q 在棱 BC 上，从而可设Q（6，y1，0） ，只需求即可；（2）设 P（0，y2，z2） ，根据 P 在棱 DD1上，从而由即可得到 z2=122y2，从而表示点P 坐标为 P（0，y2，122y2） 由 PQ平面 ABB1A1便知道与平面 ABB1A1的法向量垂直， 从而得出
33、y1=y2，从而 Q 点坐标变成Q（6，y2，0） ，设平面 PQD 的法向量为，根据即可表示，平面 AQD 的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P 点坐标，从而求出三棱锥PAQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥PAQD 的体积，从而求出四面体的体积解答：解：根据已知条件知AB ，AD ，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0， 0，0） ，B（6，0，0） ，D（0，6，0） ，A1（0，0，6） ，B1（3，0，6） ，D1（0，3，6） ；Q 在棱 BC 上，设 Q（6，y1，0） ，0 y1 6；（1）证明：若P
34、 是 DD1的中点，则P；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 6，；AB1PQ；（2）设 P（0，y2，z2） ， y2， z2 0，6，P在棱 DD1上；，01；（0，y26，z2）= （0， 3，6） ；z2=122y2；P（0， y2，122y2） ；平面 ABB1A1的一个法向量为；PQ 平面 ABB1A1；=6（y1y2）=0；y1=y2；Q（6，y2，0） ；设平面 PQD 的法向量为，则：；，取
35、 z=1，则；又平面 AQD 的一个法向量为；又二面角 P QDA 的余弦值为；解得 y2=4，或 y2=8（舍去）；P（0， 4，4） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 7三棱锥 P ADQ 的高为 4，且；V四面体ADPQ=V三棱锥PADQ=点评：考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两
36、平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式22 （13 分） （2015?湖南）已知抛物线C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与 C2的公共弦长为2（ ）求 C2的方程；（ ）过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A、B 两点，与 C2相交于 C、D 两点，且与同向（ ）若 |AC|=|BD| ，求直线l 的斜率；（ ）设 C1在点 A 处的切线与x 轴的交点为M，证明：直线l 绕点 F 旋转时， MFD 总是钝角三角形考点 ：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题 ：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）根据两个曲线的焦点相同，得
37、到 a2b2=1，再根据 C1与 C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（）设出点的坐标， （）根据向量的关系，得到（x1+x2）24x1x2=（x3+x4）24x3x4，设直线l 的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于 k 的方程，解得即可；（）根据导数的几何意义得到C1在点 A 处的切线方程，求出点M 的坐标，利用向量的乘积 AFM 是锐角，问题得以证明解答：解： （）抛物线C1：x2=4y 的焦点 F 的坐标为（ 0，1） ，因为 F 也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1， ，又 C1与 C2的公共弦长为2，C1与 C2的都关于 y 轴对称，且C1的方程
38、为x2=4y，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 8由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为（，） ，所以=1， ，联立 得 a2=9，b2=8，故 C2的方程为+=1（）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， C（x3，y3） ，A（x4，y4） ，（）因为与同向，且 |AC|=|BD| ，所以=，从而 x3x1=x4 x2，即 x1x2=x3x4，于是（x1+x2）2 4x1x2=（x3+x4）24x
39、3x4，设直线的斜率为k，则 l 的方程为y=kx+1 ，由，得 x24kx4=0，而 x1，x2是这个方程的两根，所以 x1+x2=4k，x1x2=4，由，得（ 9+8k2）x2+16kx64=0，而 x3，x4是这个方程的两根，所以 x3+x4=，x3x4=，将代入 ，得 16（k2+1）=+，即 16（k2+1）=，所以（ 9+8k2）2=16 9，解得 k=（）由 x2=4y 得 y =x，所以 C1在点 A 处的切线方程为yy1=x1（xx1） ，即 y=x1xx12，令 y=0，得 x=x1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
40、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 9M（x1，0） ，所以=（x1， 1） ，而=（ x1，y11） ，于是?=x12y1+1=x12+10，因此 AFM 是锐角，从而 MFD=180 AFM 是钝角，故直线 l 绕点 F 旋转时， MFD 总是钝角三角形点评：本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k 的方程，计算量大，属于难题23 （13 分） （2015?湖南）已知a0，函数 f（x）=eaxsinx（x 0，+） 记 xn为
41、 f（x）的从小到大的第n（n N*）个极值点证明：（ ）数列 f （xn）是等比数列；（ ）若 a，则对一切n N*，xn|f（xn）|恒成立考点 ：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用专题 ：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（ ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0 的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（ ） 由 sin =， 可得对一切n N*， xn|f （xn）|恒成立即为 n ea（n）恒成立 ?， 设 g（t）=（t0） ，求出导数，求得最小值，由恒成立思想即
42、可得证解答：证明： （） f （x）=eax（asinx+cosx）=?eaxsin（x+ ） ，tan =，0 ，令 f （x）=0，由 x 0，x+ =m ，即 x=m ，m N*，对 k N，若（ 2k+1） x+ （ 2k+2） ，即（ 2k+1） x（ 2k+2） ，则 f （x） 0，因此在（m1） ，m ）和（ m ，m ）上 f（x）符号总相反于是当 x=n ，n N*，f（x）取得极值，所以xn=n ，n N*，此时 f（xn） =ea（n）sin（n ）=（ 1）n+1ea（n）sin，易知 f（xn） 0，而=ea是常名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
43、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2 0数，故数列 f （xn）是首项为 f（x1）=ea（）sin ，公比为 ea的等比数列；（ ）由 sin =，可得对一切n N*，xn|f（xn）|恒成立即为 n ea（n）恒成立 ?，设 g（t）=（t0） ，g （t）=，当 0t1 时， g （t） 0，g（t）递减，当t1 时， g （t） 0，g（t）递增t=1 时， g（t）取得最小值，且为e因此要使 恒成立，只需g（1）=e，只需 a，当 a=，tan =，且
44、0，可得 ，于是 ，且当 n 2时， n 2 ，因此对 n N*，axn= 1，即有 g（axn） g（1）=e=，故 亦恒成立综上可得，若a，则对一切n N*，xn|f（xn）|恒成立点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2 12015年湖南省高考数学试卷（理科）一
45、、选择题，共10 小题，每小题5 分，共 50 分1 （ 5 分） （2015?湖南）已知=1+i（ i 为虚数单位），则复数z=（）A1+i B1i C1+i D1i 2 （ 5 分） （2015?湖南）设A、B 是两个集合，则“ AB=A ” 是“ A? B” 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3 （ 5 分） （2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）ABCD4（5 分）（2015?湖南）若变量 x、 y 满足约束条件， 则 z=3xy 的最小值为 （）A7 B1 C1D25 （ 5 分） （2015?湖南）设函数f（x
46、） =ln（1+x） ln（1x） ，则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数 B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数 D偶函数，且在（0，1）上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2 26 （5 分） （2015?湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则 a= （）ABC6D6 7 （5 分） （2015?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000
47、个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“ 若 XN=（ ，a2） ，则P（ X + ）=0.6826p（ 2 X +2 ）=0.9544A2386 B2718 C3413 D4772 8 （ 5 分） （2015?湖南）已知A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且AB BC，若点 P 的坐标为（ 2，0） ，则 |的最大值为（）A6B7C8D99 （ 5 分） （2015?湖南）将函数f（x） =sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x1） g（x2）|=2 的 x1、x2，有 |x1x2|m
48、in=，则 =（）ABCD10 （5 分） （2015?湖南）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=） （）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2 3ABCD二、填空题，共5 小题，每小题5 分，共 25 分11 （5 分） （2015?湖南）（x1）dx=12 （5 分） （2015?湖南）在一
49、次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员成绩由好到差编号为135 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是13 （5 分） （2015?湖南）设F 是双曲线 C：=1 的一个焦点若C 上存在点P，使线段 PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为14 （5 分） （2015?湖南）设Sn为等比数列 an的前 n 项和，若 a1=1，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则an=15 （5 分） （ 2015?湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数 g（x）=f（x）b 有两个零点，则a的取值范围是名师资料总
50、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2 4三、简答题，共1 小题，共75 分， 16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16 （6 分） （2015?湖南）如图，在O 中，相较于点E 的两弦 AB ，CD 的中点分别是M，N，直线 MO 与直线 CD 相较于点F，证明：（1）MEN+ NOM=180 （2）FE?FN=FM ?FO选修 4-4：坐标系与方程17 （6 分）