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1、绝密 启用 前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本 试 卷 共 4 页，23 小 题，满 分 150 分，考 试 用 时 120 分 钟。注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。用 2B 铅 笔 将试 卷 类 型（B）填 涂 在 答 题 卡 的 相 应 位 置 上。2 作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其
2、它 答 案。答 案 不 能 答 在 试 卷 上。3 非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按以 上 要 求 作 答 无 效。4 考 生 必 须 保 证 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四
3、个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的。1 已 知 集 合 24 2 6 0 M x x N x x x，则 M N=A 4 3 x x B 4 2 x x C 2 2 x x D 2 3 x x 2 设 复 数 z 满 足=1 i z，z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(x，y)，则A 2 2+1 1()x y B 2 21(1)x y C 2 2(1)1 y x D 2 2(+1)1 y x 3 已 知0.2 0.32 log 0.2 2 0.2 a b c，则A a b c B a c b C c a b D b c a 4 古 希 腊 时 期，人 们 认
4、为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是5 12（5 120.618，称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚脐 的 长 度 之 比 也 是5 12 若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 105 cm，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长度 为 26 cm，则 其 身 高 可 能 是A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190 cm5 函 数 f(x)=2si
5、ncosx xx x在,的 图 像 大 致 为A B C D 6 我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化 每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列 的 6 个 爻 组 成，爻 分 为阳 爻“”和 阴 爻“”，如 图 就 是 一 重 卦 在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻的 概 率 是A 516B 1132C 2132D 11167 已 知 非 零 向 量 a，b 满 足|2|a b，且()a b b，则 a 与 b 的 夹 角 为A 6B 3C 23D 568 如 图 是 求112122的 程 序 框 图，图 中
6、 空 白 框 中 应 填 入A A=12 A B A=12A C A=11 2 A D A=112 A9 记nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 已 知4 50 5 S a，则A 2 5na n B 3 10na n C 22 8nS n n D 2122nS n n 10 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为1 21,0 1,0 F F()，()，过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点 若2 2|2|A F F B，1|A B B F，则 C 的 方 程 为A 2212xy B 2 213 2x y C 2 214 3x y D 2 215 4x y 11 关 于
7、函 数()sin|sin|f x x x 有 下 述 四 个 结 论：f(x)是 偶 函 数 f(x)在 区 间（2,）单 调 递 增 f(x)在,有 4 个 零 点 f(x)的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是A B C D 12 已 知 三 棱 锥 P-A B C 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上，P A=P B=P C，A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，E，F分 别 是 P A，A B 的 中 点，C E F=90，则 球 O 的 体 积 为A 6 8 B 6 4 C 6 2 D 6 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，
8、每 小 题 5 分，共 20 分。13 曲 线23()exy x x 在 点(0)0，处 的 切 线 方 程 为_ 14 记 S n 为 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 若21 4 613a a a，则 S5=_ 15 甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获 胜，决 赛 结 束）根 据 前期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜 的概 率 为 0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互
9、独 立，则 甲 队 以 4 1 获 胜 的 概 率 是_ 16 已 知 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的 左、右 焦 点 分 别 为 F1，F2，过 F1 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线分 别 交 于 A，B 两 点 若1F A A B，1 20 F B F B，则 C 的 离 心 率 为_ 三、解 答 题：共 70 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生都 必 须 作 答。第 22、23 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：
10、共 60 分。17(12 分)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，设2 2(sin sin)sin sin sin B C A B C（1）求 A；（2）若 2 2 a b c，求 sin C 18（12 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A1 B1 C1 D1 的 底 面 是 菱 形，A A1=4，A B=2，B A D=60，E，M，N 分 别 是 B C，B B1，A1 D 的 中 点（1）证 明：M N 平 面 C1 D E；（2）求 二 面 角 A-M A1-N 的 正 弦 值 19（12 分）已 知 抛 物 线 C：y2=3 x 的 焦
11、 点 为 F，斜 率 为32的 直 线 l 与 C 的 交 点 为 A，B，与 x 轴 的 交 点 为 P（1）若|A F|+|B F|=4，求 l 的 方 程；（2）若 3 A P P B，求|A B|20（12 分）已 知 函 数()sin ln(1)f x x x，()f x 为()f x 的 导 数 证 明：（1）()f x 在 区 间(1,)2 存 在 唯 一 极 大 值 点；（2）()f x 有 且 仅 有 2 个 零 点 21（12 分）为 了 治 疗 某 种 疾 病，研 制 了 甲、乙 两 种 新 药，希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效，为 此 进 行 动 物 试 验
12、试 验 方案 如 下：每 一 轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效 进 行 对 比 试 验 对 于 两 只 白 鼠，随 机 选 一 只 施 以 甲 药，另 一 只 施以 乙 药 一 轮 的 治 疗 结 果 得 出 后，再 安 排 下 一 轮 试 验 当 其 中 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 比 另 一 种 药 治 愈 的 白鼠 多 4 只 时，就 停 止 试 验，并 认 为 治 愈 只 数 多 的 药 更 有 效 为 了 方 便 描 述 问 题，约 定：对 于 每 轮 试 验，若 施 以 甲 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 乙 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 甲 药 得 1 分，乙 药
13、 得 1 分；若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈且 施 以 甲 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1 分，甲 药 得 1 分；若 都 治 愈 或 都 未 治 愈 则 两 种 药 均 得 0 分 甲、乙 两 种 药 的 治 愈 率 分 别 记 为 和，一 轮 试 验 中 甲 药 的 得 分 记 为 X（1）求 X 的 分 布 列；（2）若 甲 药、乙 药 在 试 验 开 始 时 都 赋 予 4 分，(0,1,8)ip i 表 示“甲 药 的 累 计 得 分 为 i 时，最 终 认为 甲 药 比 乙 药 更 有 效”的 概 率，则00 p，81 p，1 1 i i i ip ap b
14、p c p(1,2,7)i，其 中(1)a P X，(0)b P X，(1)c P X 假 设 0.5，0.8(i)证 明：1 i ip p(0,1,2,7)i 为 等 比 数 列；(ii)求4p，并 根 据4p 的 值 解 释 这 种 试 验 方 案 的 合 理 性（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程（10 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为2221141txttyt，（t 为 参
15、数）以 坐 标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 23 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（10 分）已 知 a，b，c 为 正 数，且 满 足 a b c=1 证 明：（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2 0 1 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 解 析
16、一、选择 题：本 题共 1 2 小题，每 小题 5 分，共 6 0 分。在每 小题给 出的 四个选 项中，只有 一项是 符合 题目要 求的。1.已 知 集 合 24 2 6 0 M x x N x x x，则 M N=A.4 3 x x B.4 2 x x C.2 2 x x D.2 3 x x【答 案】C【分 析】本 题 考 查 集 合 的 交 集 和 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法，渗 透 了 数 学 运 算 素 养 采 取 数 轴 法，利 用 数 形 结 合 的 思 想解 题【详 解】由 题 意 得，4 2,2 3 M x x N x x，则 2 2 M N x x 故 选 C
17、总 结：不 能 领 会 交 集 的 含 义 易 致 误，区 分 交 集 与 并 集 的 不 同，交 集 取 公 共 部 分，并 集 包 括 二 者 部 分 2.设 复 数 z 满 足=1 i z，z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(x，y)，则A.2 2+1 1()x y B.2 2(1)1 x y C.2 2(1)1 x y D.2 2(+1)1 y x【答 案】C【分 析】本 题 考 点 为 复 数 的 运 算，为 基 础 题 目，难 度 偏 易 此 题 可 采 用 几 何 法，根 据 点（x，y）和 点(0，1)之 间 的 距离 为 1，可 选 正 确 答 案 C【详 解】,(1
18、),z x y i z i x y i 2 2(1)1,z i x y 则2 2(1)1 x y 故 选 C 总 结：本 题 考 查 复 数 的 几 何 意 义 和 模 的 运 算，渗 透 了 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 公 式 法 或 几 何 法，利用 方 程 思 想 解 题 3.已 知0.2 0.32log 0.2,2,0.2 a b c，则A.a b c B.a c b C.c a b D.b c a【答 案】B【分 析】运 用 中 间 量 0 比 较,a c，运 用 中 间 量1 比 较,b c【详 解】2 2log 0.2 log 1 0,a 0.2 02 2
19、 1,b 0.3 00 0.2 0.2 1,则 0 1,c a c b 故 选 B 总 结：本 题 考 查 指 数 和 对 数 大 小 的 比 较，渗 透 了 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 中 间 变 量 法，利 用 转 化 与化 归 思 想 解 题 4.古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是5 12（5 120.618，称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至
20、肚 脐的 长 度 之 比 也 是5 12 若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 105cm，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为26 cm，则 其 身 高 可 能 是A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm【答 案】B【分 析】理 解 黄 金 分 割 比 例 的 含 义，应 用 比 例 式 列 方 程 求 解【详 解】设 人 体 脖 子 下 端 至 腿 根 的 长 为 x cm，肚 脐 至 腿 根 的 长 为 y cm，则26 26 5 1105 2xx y，得42.07,5.15 x c m y c m 又 其 腿 长
21、为 105cm，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26cm，所 以 其 身 高 约 为42 07+5 15+105+26=178 22，接 近 175cm 故 选 B 总 结：本 题 考 查 类 比 归 纳 与 合 情 推 理，渗 透 了 逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素 养 采 取 类 比 法，利 用 转 化 思 想 解 题 5.函 数 f(x)=2sincosx xx x在，的 图 像 大 致 为A.B.C.D.【答 案】D【分 析】先 判 断 函 数 的 奇 偶 性，得()f x是 奇 函 数，排 除 A，再 注 意 到 选 项 的 区 别，利 用 特 殊 值 得 正 确
22、 答 案【详 解】由2 2sin()()sin()()cos()()cosx x x xf x f xx x x x，得()f x是 奇 函 数，其 图 象 关 于 原 点 对 称 又2214 22()1,2()2f 2()01f 故 选 D 总 结：本 题 考 查 函 数 的 性 质 与 图 象，渗 透 了 逻 辑 推 理、直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 性 质 法 或 赋 值 法，利 用 数 形 结 合 思 想 解 题 6.我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化 每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列 的 6 个 爻 组 成，爻 分 为
23、阳爻“”和 阴 爻“”，如 图 就 是 一 重 卦 在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的 概率 是A.516B.1132C.2132D.1116【答 案】A【分 析】本 题 主 要 考 查 利 用 两 个 计 数 原 理 与 排 列 组 合 计 算 古 典 概 型 问 题，渗 透 了 传 统 文 化、数 学 计 算 等 数 学 素 养，“重 卦”中 每 一 爻 有 两 种 情 况，基 本 事 件 计 算 是 住 店 问 题，该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 是 相 同 元 素 的 排 列 问 题，利 用 直 接 法 即 可 计 算【详 解
24、】由 题 知，每 一 爻 有 2 中 情 况，一 重 卦 的 6 爻 有62情 况，其 中 6 爻 中 恰 有 3 个 阳 爻 情 况 有36C，所 以该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的 概 率 为3662C=516，故 选 A 总 结：对 利 用 排 列 组 合 计 算 古 典 概 型 问 题，首 先 要 分 析 元 素 是 否 可 重 复，其 次 要 分 析 是 排 列 问 题 还 是 组 合问 题 本 题 是 重 复 元 素 的 排 列 问 题，所 以 基 本 事 件 的 计 算 是“住 店”问 题，满 足 条 件 事 件 的 计 算 是 相 同 元素 的 排 列 问 题 即 为 组
25、 合 问 题 7.已 知 非 零 向 量 a，b 满 足 a=2 b，且（a b）b，则 a 与 b 的 夹 角 为A.6B.3C.23D.56【答 案】B【分 析】本 题 主 要 考 查 利 用 平 面 向 量 数 量 积 数 量 积 计 算 向 量 长 度、夹 角 与 垂 直 问 题，渗 透 了 转 化 与 化 归、数 学 计 算等 数 学 素 养 先 由()a b b 得 出 向 量,a b 的 数 量 积 与 其 模 的 关 系，再 利 用 向 量 夹 角 公 式 即 可 计 算 出 向 量夹 角【详 解】因 为()a b b，所 以2()a b b a b b=0，所 以2a b b
26、，所 以 cos=22|12|2a b ba b b，所 以a与 b 的 夹 角 为3，故 选 B 总 结：对 向 量 夹 角 的 计 算，先 计 算 出 向 量 的 数 量 积 及 各 个 向 量 的 摸，在 利 用 向 量 夹 角 公 式 求 出 夹 角 的 余 弦值，再 求 出 夹 角，注 意 向 量 夹 角 范 围 为0,8.如 图 是 求112122的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入A.A=12 A B.A=12A C.A=11 2 A D.A=112 A【答 案】A【分 析】本 题 主 要 考 查 算 法 中 的 程 序 框 图，渗 透 阅 读、分 析 与 解
27、决 问 题 等 素 养，认 真 分 析 式 子 结 构 特 征 与 程 序 框 图结 构，即 可 找 出 作 出 选 择【详 解】执 行 第 1 次，1,1 22A k 是，因 为 第 一 次 应 该 计 算1122=12 A，1 k k=2，循 环，执 行第 2 次，2 2 k，是，因 为 第 二 次 应 该 计 算112122=12 A，1 k k=3，循 环，执 行 第 3 次，2 2 k，否，输 出，故 循 环 体 为12AA，故 选 A 总 结：秒 杀 速 解 认 真 观 察 计 算 式 子 的 结 构 特 点，可 知 循 环 体 为12AA9.记nS 为 等 差 数 列 na 的
28、前 n 项 和 已 知4 50 5 S a，则A.2 5na n B.3 10na n C.22 8nS n n D.2122nS n n【答 案】A【分 析】等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 本 题 还 可 用 排 除，对 B，55 a，44(7 2)10 02S，排 除 B，对 C，24 5 5 40,2 5 8 5 0 10 5 S a S S，排 除 C 对 D，24 5 5 410,4 2 4 0 0 52S a S S，排 除 D，故 选 A【详 解】由 题 知，4 15 14 4 3 024 5dS aa a d，解 得132ad，2 5na n，故 选
29、 A 总 结：本 题 主 要 考 查 等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式，渗 透 方 程 思 想 与 数 学 计 算 等 素 养 利 用 等 差 数 列通 项 公 式 与 前 n 项 公 式 即 可 列 出 关 于 首 项 与 公 差 的 方 程，解 出 首 项 与 公 差，在 适 当 计 算 即 可 做 了 判 断 1 0.已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为1 21,0 1,0 F F()，()，过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点.若2 22 A F F B，1A B B F，则 C 的 方 程 为A.2212xy B.2 213 2x y C.2
30、214 3x y D.2 215 4x y【答 案】B【分 析】可 以 运 用 下 面 方 法 求 解：如 图，由 已 知 可 设2F B n，则2 12,3 A F n B F A B n，由 椭 圆 的 定 义 有1 2 1 22 4,2 2 a B F B F n A F a A F n 在1 2A F F 和1 2B F F 中，由 余 弦 定 理 得2 22 12 22 14 4 2 2 2 cos 4,4 2 2 cos 9n n A F F nn n B F F n，又2 1 2 1,A F F B F F 互 补，2 1 2 1cos cos 0 A F F B F F，两 式
31、 消 去2 1 2 1cos cos A F F B F F,，得2 23 6 11 n n，解 得32n 2 2 22 4 2 3,3,3 1 2,a n a b a c 所 求 椭 圆 方 程 为2 213 2x y，故 选 B【详 解】如 图，由 已 知 可 设2F B n，则2 12,3 A F n B F A B n，由 椭 圆 的 定 义 有1 2 1 22 4,2 2 a B F B F n A F a A F n 在1A F B 中，由 余 弦 定 理 推 论 得2 2 214 9 9 1cos2 2 3 3n n nF A Bn n 在1 2A F F 中，由 余 弦 定 理
32、 得2 214 4 2 2 2 43n n n n，解 得32n 2 2 22 4 2 3,3,3 1 2,a n a b a c 所 求 椭 圆 方 程 为2 213 2x y，故 选 B 总 结：本 题 考 查 椭 圆 标 准 方 程 及 其 简 单 性 质，考 查 数 形 结 合 思 想、转 化 与 化 归 的 能 力，很 好 的 落 实 了直 观 想 象、逻 辑 推 理 等 数 学 素 养 1 1.关 于 函 数()sin|sin|f x x x 有 下 述 四 个 结 论：f(x)是 偶 函 数 f(x)在 区 间（2,）单 调 递 增 f(x)在,有 4 个 零 点 f(x)的 最
33、 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是A.B.C.D.【答 案】C【分 析】画 出 函 数 sin sin f x x x 的 图 象，由 图 象 可 得 正 确，故 选 C【详 解】sin sin sin sin,f x x x x x f x f x 为 偶 函 数，故 正 确 当2x 时，2sin f x x，它 在 区 间,2 单 调 递 减，故 错 误 当 0 x 时，2sin f x x，它 有 两 个 零 点：0；当 0 x 时，sin sin 2sin f x x x x，它 有 一 个 零 点：，故 f x在,有 3 个 零 点：0，故 错 误 当 2
34、,2 x k k k N 时，2sin f x x；当 2,2 2 x k k k N 时，sin sin 0 f x x x，又 f x 为 偶 函 数，f x 的 最 大 值 为 2，故 正 确 综 上 所 述，正 确，故 选 C 总 结：化 简 函 数 sin sin f x x x，研 究 它 的 性 质 从 而 得 出 正 确 答 案 1 2.已 知 三 棱 锥 P-A B C 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上，P A=P B=P C，A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，E，F 分别 是 P A，A B 的 中 点，C E F=90，则 球 O 的 体
35、积 为A.8 6 B.4 6 C.2 6 D.6【答 案】D【分 析】本 题 也 可 用 解 三 角 形 方 法，达 到 求 出 棱 长 的 目 的 适 合 空 间 想 象 能 力 略 差 学 生 设 2 P A P B P C x，,E F 分 别 为,P A A B 中 点，/E F P B，且12E F P B x，A B C 为 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，3 C F 又 90 C E F 213,2C E x A E P A x A E C 中 余 弦 定 理 2 24 3cos2 2x xE A Cx，作 P D A C 于 D，P A P C，D Q 为 A C 中
36、点，1cos2A DE A CP A x，2 24 3 14 2x xx x，2 21 22 1 22 2x x x，2 P A P B P C，又=2 A B B C A C，,P A P B P C 两 两垂 直，2 2 2 2 6 R，62R，34 4 6 663 3 8V R，故 选 D.【详 解】,P A P B P C A B C 为 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，P A B C 为 正 三 棱 锥，P B A C，又 E，F 分 别 为 P A、A B 中 点，/E F P B，E F A C，又 E F C E，,C E A C C E F 平 面 P A C，P B
37、 平 面 P A C，2 P A B P A P B P C，P A B C 为 正 方 体 一 部 分，2 2 2 2 6 R，即36 4 4 6 6,62 3 3 8R V R，故 选 D 总 结：本 题 考 查 学 生 空 间 想 象 能 力，补 型 法 解 决 外 接 球 问 题 可 通 过 线 面 垂 直 定 理，得 到 三 棱 两 两 互相 垂 直 关 系，快 速 得 到 侧 棱 长，进 而 补 型 成 正 方 体 解 决 二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 2 0 分。1 3.曲 线23()exy x x 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 _ _ _
38、 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3 0 x y.【分 析】本 题 根 据 导 数 的 几 何 意 义，通 过 求 导 数，确 定 得 到 切 线 的 斜 率，利 用 直 线 方 程 的 点 斜 式 求 得 切 线 方 程【详 解】详 解：/2 23(2 1)3()3(3 1),x x xy x e x x e x x e 所 以，/0|3xk y 所 以，曲 线23()exy x x 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为3 y x，即3 0 x y 总 结：准 确 求 导 数 是 进 一 步 计 算 的 基 础，本 题 易 因 为 导 数 的 运 算 法 则 掌 握 不 熟，二
39、 导 致 计 算 错 误 求 导 要“慢”，计 算 要 准，是 解 答 此 类 问 题 的 基 本 要 求 1 4.记 S n 为 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 若21 4 613a a a，则 S5=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1213.【分 析】本 题 根 据 已 知 条 件，列 出 关 于 等 比 数 列 公 比q的 方 程，应 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式，计 算 得 到5S 题 目 的 难度 不 大，注 重 了 基 础 知 识、基 本 计 算 能 力 的 考 查【详 解】设 等 比 数 列 的 公 比 为q，由 已 知21 4 61
40、,3a a a，所 以3 2 51 1(),3 3q q 又 0 q，所 以 3,q 所 以55151(1 3)(1)12131 1 3 3a qSq 总 结：准 确 计 算，是 解 答 此 类 问 题 的 基 本 要 求 本 题 由 于 涉 及 幂 的 乘 方 运 算、繁 分 式 分 式 计 算，部 分考 生 易 出 现 运 算 错 误 1 5.甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获 胜，决 赛 结 束）根 据 前 期比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”设 甲
41、队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜 的 概 率 为0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队 以 4 1 获 胜 的 概 率 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】0.1 8.【分 析】本 题 应 注 意 分 情 况 讨 论，即 前 五 场 甲 队 获 胜 的 两 种 情 况，应 用 独 立 事 件 的 概 率 的 计 算 公 式 求 解 题 目 有 一定 的 难 度，注 重 了 基 础 知 识、基 本 计 算 能 力 及 分 类 讨 论 思 想 的 考 查【详 解】前 五 场 中 有 一 场 客 场 输 时，甲 队 以 4:1
42、 获 胜 的 概 率 是30.6 0.5 0.5 2 0.108,前 五 场 中 有 一 场 主 场 输 时，甲 队 以 4:1 获 胜 的 概 率 是2 20.4 0.6 0.5 2 0.072,综 上 所 述，甲 队 以 4:1 获 胜 的 概 率 是 0.108 0.072 0.18.q 总 结：由 于 本 题 题 干 较 长，所 以，易 错 点 之 一 就 是 能 否 静 心 读 题，正 确 理 解 题 意；易 错 点 之 二 是 思 维 的 全面 性 是 否 具 备，要 考 虑 甲 队 以 4:1 获 胜 的 两 种 情 况；易 错 点 之 三 是 是 否 能 够 准 确 计 算 1
43、 6.已 知 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的 左、右 焦 点 分 别 为 F1，F2，过 F1 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别交 于 A，B 两 点 若1F A A B，1 20 F B F B，则 C 的 离 心 率 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2.【分 析】本 题 考 查 平 面 向 量 结 合 双 曲 线 的 渐 进 线 和 离 心 率，渗 透 了 逻 辑 推 理、直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 几 何法，利 用 数 形 结 合 思 想 解 题【详 解】如 图，由1,F A A B 得
44、1.F A A B 又1 2,O F O F 得 OA 是 三 角 形1 2F F B 的 中 位 线，即2 2/,2.B F O A B F O A 由1 20 F B F B，得1 2 1,F B F B O A F A 则1 2,O B O F O F 有2 2 1 12 2,O B F B F O O B F O F B 1A O B A O F 又 OA 与 OB 都 是 渐 近 线，得2 1,B O F A O F 则0260 B O F 又 渐 近 线 OB 的 斜 率 为0tan 60 3ba，所 以 该 双 曲 线 的 离 心 率为2 21()1(3)2c bea a 总 结
45、：此 题 若 不 能 求 出 直 角 三 角 形 的 中 位 线 的 斜 率 将 会 思 路 受 阻，即 便 知 道 双 曲 线 渐 近 线 斜 率 和 其 离心 率 的 关 系，也 不 能 顺 利 求 解，解 题 需 要 结 合 几 何 图 形，关 键 得 到02 1 260,B O F A O F B O A 即 得到 渐 近 线 的 倾 斜 角 为060,从 而 突 破 问 题 障 碍 三、解答 题：共 7 0 分。解答 应写出 文字 说明、证明过 程或 演算步 骤。第 1 7 21 题为 必考 题，每个 试题 考生都 必须 作答。第 2 2、2 3 题为 选考 题，考 生根 据要求 作
46、答。（一）必 考题：共 6 0 分。1 7.V A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，设2 2(sin sin)sin sin sin B C A B C（1）求 A；（2）若2 2 a b c，求 sin C【答 案】（1）3A；（2）6 2sin4C.【分 析】（1）利 用 正 弦 定 理 化 简 已 知 边 角 关 系 式 可 得：2 2 2b c a bc，从 而 可 整 理 出 cos A，根 据 0,A 可求 得 结 果；（2）利 用 正 弦 定 理 可 得 2 sin sin 2 sin A B C，利 用 sin sin B A C、两 角 和
47、 差 正 弦 公式 可 得 关 于 sin C 和 cos C 的 方 程，结 合 同 角 三 角 函 数 关 系 解 方 程 可 求 得 结 果.【详 解】（1）22 2 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C 即：2 2 2sin sin sin sin sin B C A B C 由 正 弦 定 理 可 得：2 2 2b c a bc 2 2 21cos2 2b c aAb c 0,A 3A=（2）2 2 a b c，由 正 弦 定 理 得：2 sin sin 2 sin A B C 又 sin sin sin co
48、s cos sin B A C A C A C，3A3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C 整 理 可 得：3sin 6 3cos C C 2 2sin cos 1 C C 223sin 6 3 1 sin C C 解 得：6 2sin4C或6 24因 为6sin 2sin 2 sin 2sin 02B C A C 所 以6sin4C，故6 2sin4C.（2）法 二：2 2 a b c，由 正 弦 定 理 得：2 sin sin 2 sin A B C 又 sin sin sin cos cos sin B A C A C A C，3A3 3 12 cos sin 2si
49、n2 2 2C C C 整 理 可 得：3sin 6 3cos C C，即 3sin 3cos 2 3sin 66C C C 2sin6 2C 512C 或11123A 且 A C 512C 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 6 4 6 4 6 4 4C 总 结：本 题 考 查 利 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 解 三 角 形 的 问 题，涉 及 到 两 角 和 差 正 弦 公 式、同 角 三 角 函 数 关 系的 应 用，解 题 关 键 是 能 够 利 用 正 弦 定 理 对 边 角 关 系 式 进 行 化 简，得 到 余 弦 定 理 的 形 式 或
50、 角 之 间 的 关 系.1 8.如 图，直 四 棱 柱 A B C D A1 B1 C1 D1 的 底 面 是 菱 形，A A1=4，A B=2，B A D=60，E，M，N 分 别 是 B C，B B1，A1 D 的 中 点（1）证 明：M N 平 面 C1 D E；（2）求 二 面 角 A-M A1-N 的 正 弦 值【答 案】（1）见 解 析；（2）105.【分 析】（1）利 用 三 角 形 中 位 线 和1 1/A D B C 可 证 得/M E N D，证 得 四 边 形 M N D E 为 平 行 四 边 形，进 而 证 得/M N D E，根 据 线 面 平 行 判 定 定 理