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1、双曲线 专题复习一、考点解析1 双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F1、 F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c0：(1)当 ac 时， P 点不存在2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b2 1 (a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 图形性质范围xa 或 x a， yRxR，y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0， a)，A2(0，a) 渐近线y bax yabx离心率eca，e(1， )，其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫
2、做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、 b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0) 二、规律、结论1 双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中 2a|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值(2)2a0，b0)的一条渐近线的斜率为bab2a2c2a2a2e21.可以看出， 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小三、典型例题题型一求双曲线的标准方程例 1(1)(2011 山东 )已知双曲线x2a2y2b2 1 (a0，b0)和椭圆x216y291 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲
3、线的方程为_(2)与双曲线x2 2y22 有公共渐近线，且过点M(2， 2)的双曲线方程为_思维启迪 ：设双曲线方程为x2a2y2b21，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c. 答案(1)x24y231(2)y22x241 解析(1)椭圆x216y291 的焦点坐标为F1(7，0)，F2(7，0)，离心率为e74.由于双曲线x2a2y2b21 与椭圆x216y29 1 有相同的焦点，因此a2b27. 又双曲线的离心率ea2b2a7a，所以7a2 74，所以 a 2，b2c2a2 3，故双曲线的方程为x2
4、4y231. (2)设与双曲线x22y2 1 有公共渐近线的双曲线方程为x22y2k，将点 (2， 2)代入得 k222 (2)2 2. 双曲线的标准方程为y22x241. 探究提高求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2y2b2 ( 0)，再由条件求出 的值即可求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点M(0,12)解(1)设双曲线的
5、标准方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - x2a2y2b21 或y2a2x2b21 (a0，b0)由题意知， 2b12，eca54. b6，c 10，a8. 双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361. (2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a12. 又 2c26，c13.b2c2a225. 双曲线的标准方程为y2144x2251. 题型二双曲线
6、的几何性质例 2中心在原点， 焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1， F2， 且|F1F2|2 13，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为37. (1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值思维启迪：(1)分别设出椭圆方程为x2a2y2b21 (ab0)，双曲线方程为x2m2y2n21 (m0，n0)(2)由已知条件分别求出a、b、m、n 的值(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cosF1PF2. 解(1)由已知： c13，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为 m、n，则am4713a313m，解得 a
7、7，m3.b6，n 2. 椭圆方程为x249y2361，双曲线方程为x29y241. (2)不妨设 F1、 F2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以 |PF1|10，|PF2|4. 又|F1F2|213，cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10242 2 132210445. 探究提
8、高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于eca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c 的一个关系式，利用b2c2a2消去 b，然后变形求e，并且需注意e1. (1)(2012大纲全国 )已知 F1、F2为双曲线C：x2y22 的左、右焦点，点P在 C 上， |PF1| 2|PF2|，则 cos F1PF2() A.14B.35C.34D.45(2)(2011浙江 )已知椭圆C1：x2a2y2b21 (ab0)与双曲线C2：x2y241 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B 两点，若 C
9、1恰好将线段AB 三等分，则() Aa2132Ba213 Cb212Db22 答案(1)C(2)C 解析(1)由 x2 y2 2 知， a22， b22，c2a2b24，a2，c2. 又 |PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，|PF1|4 2，|PF2|22. 又 |F1F2|2c4，由余弦定理得cosF1PF24 22 2 2242242 2 234. (2)由题意知， a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得 (5a25)x25a2a40，直线截椭圆的弦长d52a4 5a25a2523a，解得 a2112，b
10、212. 题型三直线与双曲线的位置关系例 3过双曲线x23y261 的右焦点F2，倾斜角为30 的直线交双曲线于A，B 两点， O 为坐标原点， F1为左焦点(1)求|AB|；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - (2)求 AOB 的面积思维启迪： 写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y 得关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|；求 O 到直线的距离，代入面积公式得AOB 的面积(1)解由双曲
11、线的方程得a3，b6，ca2b23，F1( 3,0)，F2(3,0)直线 AB 的方程为 y33(x 3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y33x3 ，x23y261，得 5x26x 270. x1x265，x1x2275. |AB|1k2|x1x2| 1332 x1x224x1x243362510851635. (2)解直线 AB 的方程变形为3x3y330. 原点 O 到直线 AB 的距离为d|33|32 3232. SAOB12|AB| d121635321235. 探究提高双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把
12、直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则 |AB|1k2|x1x2|. 已知椭圆C1的方程为x24y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线 l：ykx2与双曲线C2恒有两个不同的交点A 和 B，且OA OB2(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围解(1)设双曲线 C2的方程为x2a2y2b21 (a0，b0)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 则 a2413，c24，再由 a2b2 c2，得 b21，故 C2的方程为x23y21. (2)将 ykx2代入x23y21，得(1 3k2)x2 6 2kx90. 由直线 l 与双曲线C2交于不同的两点，得13k20 6 2k236 13k236 1 k20，k213且 k22，得 x1x2y1y22，3k273k212，即3k293k210，解得13k23.由 得13k20，b0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称
14、轴垂直，因此直线l 的方程为 l：xc 或 x c，代入x2a2y2b21 得 y2b2(c2a21)b4a2，yb2a，故 |AB|2b2a，依题意2b2a4a，b2a22，c2a2a2e212，e3. 5 已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，3)且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 答案x23y291 或y253x251 解析双曲线 C 的离心率为2，21b2a2，ba
15、3，可设双曲线C 的标准方程为x2a2y23a21 或y2a2x23a21，把 P(2，3)代入得， a23 或a253，所求双曲线C 的标准方程为x23y291 或y253x251. 6 双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m_. 答案14解析由题意知 a21，b21m，则 a1， b1m. 1m2，解得 m14. 7 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C 的离心率为 _答案62解析如图， B1F1B260 ，则 c3b，即 c23b2，由 c23(c2a2)，得c2a232，则 e62. 8 (10 分)已知椭圆D：x2
16、50y225 1 与圆 M：x2(y5)29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程解椭圆 D 的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c5. 设双曲线G 的方程为x2a2y2b21 (a0，b0)，渐近线方程为bx ay 0 且 a2b225，又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为r3. |5a|b2 a2 3，得 a 3，b4，双曲线 G 的方程为x29y2161. 9 (12 分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
17、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10)(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1 MF20；(3)求 F1MF2的面积(1)解e2，可设双曲线方程为x2y2 . 过点 P(4，10)， 1610 ，即 6. 双曲线方程为x2y26. (2)证明方法一由(1)可知，双曲线中ab6，c23，F1(2 3，0)，F2(23，0)，kMF1m323，kMF2m323，kMF1 kMF2m29 12m23. 点 (3，m)在双曲线上，
18、 9m26，m23，故 kMF1 kMF2 1，MF1 MF2，MF1 MF20. 方法二MF1(3 2 3， m)，MF2(233， m)，MF1 MF2(32 3) (32 3)m2 3m2. M 点在双曲线上，9 m26，即 m230，MF1 MF20. (3)解F1MF2的底 |F1F2|43，由(2)知 m 3. F1MF2的高 h|m|3，SF1MF2124336. B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 15 分) 1 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
19、() A.2 B.3 C.312D.512名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 答案D 解析设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为ybax，而 kBFbc，ba (bc) 1，整理得b2ac. c2a2ac0，两边同除以a2，得 e2e10，解得 e152或 e152(舍去 )，故选 D. 2 已知点 F 是双曲线x2a2y2b21 (a0，b0)的左焦点，点E 是该双曲线
20、的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若 ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是() A(1， ) B(1,2) C(1,12) D(2， ) 答案D 解析根据双曲线的对称性，若ABE 是钝角三角形，则只要0BAE|EF|就能使 BAEac， 即 b2a2ac，即 c2ac2a20， 即 e2e20，得 e2 或 e1，故 e2.故选 D. 3 若点 O 和点 F(2,0)分别为双曲线x2a2 y21 (a0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为() A323， ) B32 3， ) C.74，D.74，答案B 解
21、析由 a214，得 a3，则双曲线方程为x23y21. 设点 P(x0，y0)，则x203 y201，即 y20 x2031. OP FPx0(x02)y20 x202x0 x2031 43x034274，x03，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 故OP FP的取值范围是32 3， )，故选 B. 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 4 (2012 重庆 )设 P 为直线 yb3ax 与双曲线x2a2
22、y2b21 (a0，b0)左支的交点， F1是左焦点，PF1垂直于 x 轴，则双曲线的离心率e_. 答案3 24解析直线 yb3ax 与双曲线x2a2y2b21 相交，由yb3ax，x2a2y2b21消去 y 得 x32a4，又 PF1垂直于 x 轴， 3 2a4c，即 eca324. 5 设点 F1，F2是双曲线x2y231 的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|4|PF2|，则 PF1F2的面积为 _答案3 15 解析据题意， |PF1|43|PF2|，且 |PF1|PF2|2，解得 |PF1|8，|PF2|6. 又|F1F2|4，在 PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2|
23、PF1|2|PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|78. 所以 sinF1PF21cos2F1PF2158，所以 S PF1F212681583 15. 6 已知双曲线x2a2y2b21 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 _答案53解析由定义，知 |PF1|PF2|2a. 又|PF1|4|PF2|，|PF1|83a， |PF2|23a. 在 PF1F2中，由余弦定理，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
24、 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 得 cosF1PF2649a249a24c2283a23a17898e2. 要求 e 的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当 cos F1PF2 1 时，得 e53，即 e 的最大值为53. 三、解答题7 (13 分)直线 l：ykx 1与双曲线C：2x2y21 的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数 k 的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由解(1)将直线 l 的方程 ykx1 代入双曲线C 的方程2x
25、2y21 后，整理得 (k22)x22kx20.依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故k22 0， 2k28 k22 0，2kk220，2k220.解得 k 的取值范围是2k2. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1， y1)、(x2，y2)，则由 式得x1x22k2k2，x1 x22k22.假设存在实数k，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 F(c,0)则由 FAFB 得： (x1c)(x2c)y1y20. 即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0. 整理得 (k21)x1x2(kc)(x1x2)c21 0.把 式及 c62代入 式化简得5k226k60. 解得 k665或 k665?(2，2)(舍去)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 可知存在k665使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -