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1、学而不思则惘，思而不学则殆2014-2015 学年度师大附中期末数学试卷一、选择题 (每小题 5 分，共 60 分) 1直线30 xyk的倾斜角是（）A65 B32 C3 D6【答案】 A【解析】试题分析：直线30 xyk的斜率335,tan,336k考点：直线的倾斜角与斜率2利用一球体毛坯切削后得到一个几何体，该几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是直角边长为1 的等腰直角三角形，则毛坯球体的体积最小应为（）A23 B43 C32 D8 23【答案】 C【解析】试题分析：由三视图可知原几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，可将其补全为一个正方体，当正方体为球的内接正方体时球的体积最
2、小，此时正方体的体对角线为球的直径长为3，所以球的体积为23)23(343V，答案选C考点：空间几何体的结构特征与球的体积计算公式3若点(1, 1)在圆022myxyx外，则m的取值范围是（）A0m B21m C210m D210m【答案】 C【解析】试 题 分 析 ：022myxyx可 化 为myx21)21()21(22， 则021m，即21m；因为点(1, 1)在圆外，所以01111m，即0m；所以210m考点： 1圆的方程；2点与圆的位置关系4设 m ， n 表示两条不同直线，,表示两个不同的平面，下列说法正确的是（）A若/m，则 mB若mn， n，则 mC若m，mn，则/ /nD若m
3、，n，则mn【答案】 D【解析】试题分析：选项A直线 m可以与平面平行、相交或在平面内；选项B直线 m可以与平面平行、垂直或在平面内；选项 C直线 n 还可以在平面内；选项 D是正确的，答案选D考点：空间中线面位置关系的判定与性质5已知2log 3a、0.52b、2log 12c，则下列不等式中成立的是（）Aacb Babc Ccab Dbac【答案】 A【解析】试题分析：13log2，所以1a，10b，1c，所以bca，故选 A考点： 1对数 2指数6若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45且腰和上底均为1 的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A222 B122 C22 D12【答
4、案】 C【解析】试题分析：斜二测直观图中一个底角为45且腰和上底均为1，所以另一底边长为21，平面图形是直角梯形与两底边垂直的腰长为2，面积为22考点：斜二测画法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆7在ABC中，若1AB，3AC，ABACBC，则AB BCBC（）A.32 B.12 C.12 D.32【答案】 B【解析】试题分析：由| |ABACBC知，ABAC，所以ABC是直角三角形. ，|2BC，利用数量积的几何意义得1 1122|AB BCBA BCBCBC，选 B.考点：平面向量.8设
5、),(baP是函数3)(xxf图像上任意一点，则下列各点中一定在该图像上的是（）A),(1baP B),(2baP C),(3baP D),(4baP【答案】 B【解析】对于3)(xxf，)()(xfxf，即函数3)(xxf为奇函数，图像关于原点对称；则),(baP关于原点的对称点),(baQ一定在3)(xxf的图像上，故选B.考点：函数的奇偶性.9已知函数f （x）=2sinx（0）在区间 3,4 上的最小值是2，则的最小值等于（）A32 B23 C2 D3 【答案】 B【解析】试题分析：3434xx，最小值是23,322最小值是23考点：三角函数单调性与最值10已知点233 2P,Q,，直
6、线20axy与线段PQ相交 ,则 a 的取值范围是（）A.43aB.43aC.052aD.43a或12a【答案】 C 【解析】试题分析：20axy恒过点 T （0， 2） ,作出示意图知直线20axy与线段PQ相交必须直线的斜率0TQTPkak，又25TPk，所以052a考点：直线斜率的应用11 已 知, x y是 直 线40kxy（0k） 上 一 动 点 ，是 圆C:2220 xyy的一条切线，是切点，若线段长度最小值为2，则k的值为（）A.3 B.212 C.2 2 D.2【答案】 D【解析】试题分析：过圆心C作直线40kxy的垂线，垂足为P，过 P作圆的切线PA ，此时 线 段长 度 最
7、 小 值 为2， CP=5， 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 得21451dk，则215,2kk，由于0k，则2k，选 D；考点：直线与圆的位置关系；12已知( )f x为定义在R上的偶函数，当0 x时，有(1)( )f xf x，且当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆0,1)x时，2( )log (1)f xx，给出下列命题(2014)( 2015)0ff；函数( )f x在定义域上是周期为2 的函数；直线yx与函数( )f x的图象有2 个交点；函数( )f x的值域为(
8、 1,1).其中正确的是A.， B.， C.， D.，【答案】 C【解析】试题分析： 由于当0 x时， 有(1)( )f xf x， 所以)() 1()2(xfxfxf，从而当)2, 1x时，)1 ,01x有xxf2log) 1(，又)1()1)1(xfxfxxfxf2log)() 1(xxf2log)(即)2, 1 ,log) 1 , 0),1(log)(22xxxxxf；再注意( )f x为定义在R上的偶函数，所以可作出函数( )fx的图象如下：对于)2015()010072()2015()2014(ffff01log)1 (0) 110072()0(2fff，故正确；排除B；对于由图象可
9、知函数不是周期函数，故是错误的；排除A、 D对于由图象可知直线yx与函数( )f x的图象只有1 个交点，故错误；对于由图象可知函数的值域为( 1,1)，故正确 .故选 C.考点：函数的图象及性质.二、填空题 (每小题 5分，共 20 分) 13已知平面向量(2, 1)a，向量(1,1)b，向量( 5,1)c 若()/kabc，则实数k的值为【答案】12【解析】试题分析：()/kabc1(2,1) / /(5,1)255.2kkkkk考点：向量平行的坐标表示14如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO ABC D ，AC的中点 E与 AB的中点 F 的距离为【答案】a 15
10、若0a，0b，且0)ln(ba，则ba11的最小值是【答案】 4【解析】试题分析：n（ a+b） =0， a+b=1 所以ba11=（ba11） （ a+b） =2+（abba）2+2.a bb a=2+2=4所小值 4。考点：均值不等式。16.已知 A,B是球 O 的球面上两点， OA与 OB垂直，C为该球面上的动点， 若三棱锥 O-ABC体积的最大值为4，则球 O的体积为【答案】32考点： 1直线与平面垂直的性质和判定；2三棱锥的体积公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆三、解答题17
11、（本小题满分10 分）如图所示，在四边形ABCD中，BD2，且1AD，3CD，33cosB.（1）求ACD的面积；（2）若32BC，求AB的长 .【答案】（1）2； （2）4AB.【解析】试题分析： （ 1）利用二倍角的余弦求得D的余弦值，从而得其正弦值，进而可求得ACD的面积；（2）利用余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得AB.试题解析： （1）BD2，33cosB， 211c o s22c o sc o s2BBD，), 0(D，322cos1sin2DD，1AD，3CD，23223121sin21DCDADSACD；（2）在ACD中，12cos2222DDCADDCADAC，32AC，
12、32BC，ACBABBACsinsin，BABBBABBABBABBsin332cossin22sin)2sin(sin32，4AB. 考点： 1. 三角恒等变换；2. 正余弦定理解三角形.18 （本小题满分12 分）已知函数62sin3xxf的部分图像如图所示（1）写出xf的最小正周期及图中ooyx ,的值；（2）求xf在区间12,2上的最大值和最小值【答案】（1）xf的最小正周期为22，3,67ooyx（2）最大值0，最小值3【解析】试题分析：（1）图象易得xf的最小正周期为22，3,67ooyx（2）找到函数单调区间，判断所求区间12,2上的最大值点和最小值点即可试题解析：（1）xf的最
13、小正周期为22，3,67ooyx 5分12,2x，0,6562x， 于是062x时，即12x时，xf取得最大值0；当262x时，即3x时，xf取得最小值3 12分考点：三角函数的图象与性质19 （本小题满分12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD 是直角梯形，AB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆AD ，AB CD ， PC 底面 ABCD ，PC=AB=2AD=2CD=2，E是 PB的中点（）求证：平面EAC 平面 PBC ；（）求二面角P-AC-E 的余弦值；（）求直线P
14、A与平面 EAC所成角的正弦值【答案】（）见解析； （）36 （）32【解析】试题分析：（）由 PC平面 ABCD ，得到 AC PC 由 AC2+BC2=AB2，得到 ACBC AC 平面 PBC 即得平面EAC 平面 PBC （）由（）知AC 平面 PBC ，根据 ACCP ，AC CE ，知 PCE即为二面角P-AC-E 的平面角在 PCB中，得到PE=CE=26，由余弦定理得cos PCE（）作PFCE ，F 为垂足由（）知平面EAC 平面 PBC ，推出 PF平面 EAC ，连接 AF，得到 PAF就是直线PA与平面 EAC所成角 11分由 sin PAF =PAPF得到直线PA与平
15、面 EAC所成角的正弦值试题解析：（） PC平面 ABCD ，AC平面 ABCD ， ACPC AB=4 ，AD=CD=2 ， AC=BC=2AC2+BC2=AB2， AC BC 又 BC PC=C ， AC 平面 PBC AC平面 EAC ，平面 EAC 平面 PBC 4分（）由（）知AC 平面 PBC ，AC CP ，ACCE ， PCE即为二面角P-AC-E 的平面角 6分PC=AB=2AD=2CD=2，在 PCB中，可得PE=CE=26，cosPCE=CECPPECECP2222=36 9分（）作PFCE ，F 为垂足由（）知平面EAC 平面 PBC ，平面平面EAC 平面 PBC=C
16、E ，PF平面 EAC ，连接 AF ，则 PAF就是直线PA与平面 EAC所成角 11分由（）知CE=26， PF=332，sin PAF =PAPF=32，即直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值为32 13分考点： 1. 垂直关系； 2. 空间的角 .20 （本小题满分12 分）已知数列na是等比数列， 首项11a，公比0q，其前n项和为nS，且11Sa，33Sa，22Sa成等差数列 .（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足nnbana)21(1，nT为数列nb的前n项和，若mTn恒成立，求m的最大值 .【答案】 (1)121nna； （2）m的最大值1.【解析】试题分析： (
17、1) 等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了；（3）一般地，如果数列na是等差数列，nb是等比数列，求数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆nnba的前n项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列nb的公比，然后做差求解；（
18、 4）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（ 1）xfa恒成立maxxfa， （ 2）xfa恒成立minxfa.试题解析：（1）由题意可知：3311222()()()SaSaSa当1q时，不符合题意； 1分当1q时，qqqqqq1111)11(2223，qqqqq12)1 (222，142q，412q， 2分0q，21q, 3分11a，1)21(nna. 4分（2）nnbana)21(1，nnban)21()21(，12nnnb， 5分122232211nnnT（1）nnnT2232221232（2）)2()1(得：nnnnT2222112 6分12)1(22121nnnnnnnnT2)1(
19、1 8分mTn恒成立，只需mTnmin)( 9分02)1(2) 1(211nnnnnnnnTTnT为递增数列，当1n时，1)(minnT， 11分1m，m的最大值为1. 12分考点： 1、等比数列的前n项和公式； 2、错位相减求数列的和；3、恒成立的问题.21 （本小题满分12 分）已知圆M的圆心在直线240 xy上，且与x轴交于两点( 5,0)A,(1,0)B（）求圆M的方程；（）求过点C (1,2)的圆M的切线方程；（）已知( 3,4)D，点P在圆M上运动，求以AD,AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程【答案】（1）22(2)(1)10 xy； （2）350 xy（3）轨迹方程
20、为22(5)10 xy，除去点( 1,8)和( 3,4)【解析】试题分析：（1）利用“圆心定位置，半径定大小”先求出圆心坐标，再求AMr，进而写出圆的方程； （2）先利用点与圆的位置关系得到点在圆上，利用切线与切点与圆心连线互相垂直求出切线方程；（ 3）利用平行四边形的对角线互相垂直和中点坐标公式进行求解试题解析：（）因为圆M与x轴交于两点( 5,0)A,(1,0)B，所以圆心在直线2x上由2,240 xxy得2,1.xy即圆心M的坐标为( 2,1) 2分半径223110r,所以圆M的方程为22(2)(1)10 xy 4分（）由C坐标可知点C在圆M上，由CMk13得切线的斜率为3，故过点C (
21、1,2)的圆M的切线方程为350 xy 8分（）设00( , ),(,)Q x yP xy， 因为ADQP为平行四边形，所以其对角线互相平分，即0035,224.22xxyy解得002,4.xxyy 1 0分又P在圆M上，代入圆的方程得22(22)(41)10 xy，即所求轨迹方程为22(5)10 xy，除去点( 1,8)和( 3,4) 13分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆考点： 1圆的标准方程；2圆的切线方程；3点的轨迹方程22 （本小题满分12 分）已知函数2( )22f xxaxa
22、b，且(1)0f（1）若( )f x在区间(2,3)上有零点，求实数a的取值范围；（2）若( )f x在0,3上的最大值是2，求实数a的的值【答案】（1）322a; （2）12a或12a.【解析】试题分析：（1）由(1)0f，得1b. 又( )fx在区间(2,3)上有零点可得(2)0(3)0ff.或者可用求根公式求得另一零点, 使其在区间(2,3)内. （2）函数fx的图像是开口向上的抛物线, 对称轴为xa. 讨论对称轴xa与区间0,3的关系 , 根据函数的单调性求其最大值.试题解析：解： （1）由(1)0f，得1b（2 分）又( )fx在区间(2,3)上有零点，且( )f x的一个零点是1；所以，(2)023032(3)04802faafa（ 6 分）（2）2( )221f xxaxa，对称轴为xa当0a时，max(0)212ffa，则12a；当03a时，2max( )212ff aaa，则12a，或12a（舍去） ；当3a时，max(3)482ffa，则52a（舍去）；综上：12a或12a（12 分）考点： 1 函数的零点 ;2 单调性求最值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页