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1、 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示考点一：平面向量的坐标表示1. 平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2. 已知起点和终点求向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y， 使得 axi yj . 我们把有序数对 （x，y）叫做向量a 的坐标，记作a(x ， y). 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a(x ，y) 叫做向量的坐标表示. 显然： i
2、=(1,0),j =(0,1),0=(0,0). 例 1：如图，分别用基底i , j ( i , j 分别为 x 轴， y 轴正方向的单位向量) 表示 a, b, 并求它们的坐标。变式 1：如图，已知A(4,2),B(1,4), 试求AB 的坐标。已知直角坐标系x0y 中，向量 a, b, c 的模分别为2， 3， 4，方向如图所示，分别求它们的坐标。已知O是坐标原点，点A 在第一象限，OA =4 3，x0A=60, 求向量OA 的坐标。在平面直角坐标系x0y 中，向量 a 的模为 3，方向如图所示，求 a 的坐标。考点二：相等向量的坐标表示例 2：向量 a=(x+3,x23x4) 与AB相等
3、，其中A(1,2),B(3,2),则 x=_. 变式 2：已知向量a=(x2+3x，2) ，b(2x,y-4),且 a=b, 则x=_,y= _. 已 知 向 量a=(5,2),b=(x2+y2， xy)， 且a=b, 则x=_,y= _. 已知向量i =(1,0),j =(0,1) ，a=(3i+3j),则 a 的坐标是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则向量OA 的坐标是 _,向量OB 的坐标是 _,向量AB的坐标是 _. 已知 O是坐标原
4、点，点M在第二象限，OM =4，M0y=30, 则向量OM 的坐标是 _. 已 知 向 量AB =(22246,3mmn), 向 量CD=(22,3n+7), 向量EF=(m,n), 且AB=CD，求向量EF的坐标。例 3： 在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标。向量 a 表示沿东北方向移动了2 个单位长度。向量 b 表示沿西偏北60方向移动了4 个单位长度。向量 c 表示沿东偏南30方向移动了6 个单位长度。变式 3：已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2), F(-5,-6),M(2,-2),N(4,-6),求向
5、量AC ，BD，EF，MN 的坐标。考点三：平面向量的坐标运算1. 若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx2. a (x1， y1). 3. 已知点 A(x1, y1),B(x2, y2)，则AB=(2121,xx yy)例 4: 已知a=(2,1), b=( 3,4),求ab，ab，3a4b的坐标 . 解：ab（ 2,1 ）+（-3,4 ） =( 1，5) ，ab（ 2,1 ）- （-3,4 ） =(5 ， 3) ，3a4b3（2,1 ）+4（-3,4 ）= （6,3 ） +（-12,16 ）=( 6，19). 变式4：已知(3,2)a
6、r，(0,1)br，求24abrr，43abrr的坐标；已知 A（-1 ， 5）和向量a=(2,3) ，若AB=3a，则点 B的坐标为 _ 。已知a +b =(2,-8),a b =( 8,16),求a 和b . 已知点(1,1)A，( 1,5)B及12ACABu uu ru u u r，2ADABu u u ru uu r，12AEABuu u ru uu r，求点C、D、E的坐标。例 5：已知a =( 1,2) ，b =(1, 1),c =(3, 2), 且有c =pa +qb , 试求实数p,q 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 2 页，共 7 页变式 5：已知a =(2,1)，b =(1, 3),c =(3,5) ，把a ，b作为一组基底，试用a ，b 表示c 。若点 A， B， C三点的坐标分别为(2, 4),(0,6),(-8,10),则2ABBCuuu ruuu r的 坐 标 为 _.12BCACuuu ru uu r的 坐 标 为_. 已知点A( 2,4),B(3, 1),C( 3,4),且3CMCAu uu u ruu u r，2CNCBuu u ruuu r，且 M,N 及MNuuu u r的坐标。下列说法正确的有（）个向量的坐标即此向量终点的坐标位置不同的向量其坐标可能相同一个向量的坐标等于它的
8、始点坐标减去它的终点坐标相等的向量坐标一定相同A1 B2 C3 D4 考点四：向量共线的坐标表示1. 设a=(x1, y1),b=(x2, y2)（b0）,其中ba,由a=b，(x1, y1) =(x2, y2) 2121yyxx消去：x1y2x2y1=0 2. 结论：ab(b0)x1y2-x2y1=0 注意 ：1 消去时不能两式相除，y1, y2有可能为0，b0， x2, y2中至少有一个不为0. 2 充要条件不能写成2211xyxyx1, x2有可能为0. 3 从而向量共线的充要条件有两种形式：ab(b0)12210abx yx yrr. 例 6: 已知(4, 2)ar，(6,)byr，且
9、/abrr，求y解：/abrr，4260y3y变式 6：已知向量a=(1, 4),b=(-2, -8),c =(3,6),试找出其中共线的向量。下列各组向量中，共线的一组是( ) A.a=(-2, 3),b=(4, 6) B.a=(2, 3),b=(3, 2) C.a=(1,2),b=(7, 14) D.a=(-3, 2),b=(6, -14) 已知向量a=(1, 2),b=(, 1),若(a+2b)/(2a-2b),则的值等于 ( ) 已知向量a=(1, 2),b=(, 1), 若(a+2b)与(2a-b)共线 ,则的值等于 ( ) 考点五：三点共线问题例 7: 已知( 1, 1)A，(1,
10、3)B，(2,5)C，求证 :A、B、C三点共线证明：(1( 1),3( 1)(2,4)ABu uu r，(2( 1),5( 1)(3,6)ACuu u r，又26340，/ABACuuu ruu u r. 直线AB、直线AC有公共点A，A，B，C三点共线。变式 7：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页O 是坐标原点，OA=(k,12),(4,5)OBuuu r,(10, )OCkuuu r,当 k 为何值时， A、B、C 三点共线？若 A(x，-1)，B(1， 3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为_. 已知三点A
11、(1，-3)，B(8，12)，C(9，1)，证明：A、B、C 三点共线。证明下列各组点共线A=(1,2),( 3,4)B,(2,1.5)CP=(-1,2),(0.5,0)Q,(5, 6)R已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5, -3), 判断ABu uu r与CDuuu r是否共线？如果共线，是同向还是反向？已知A(4， 5)，B(1，2)，C(12，1)，D11, 6), 求直线 AC与直线 BD的交点 P的坐标。考点六：平面向量共线的坐标运算的应用例 8：已知向量a=(1, 2),b=(1, 0),c =(3,4),若为实数， (abrr)/cr, 则=( ) 变式 8：已
12、知向量a=(1, 1),b=(2,x) , 若abrr与42barr平行，则实数x 的值为（）已知三点A(4，2)，B(-6，-4)，C(x，154)三点共线，且ACCBuu u ru uu r，求及x的值。已知 ABC中， A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M、N、D 分别是 AB 、AC、BC 的中点， MN 与 AD 交于点 F，求DFuuu r向量。已知如图，点(4,0)A，B(4, 4)，(2,6)C，求 AC 和BO的交点 P的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页例 9：已知平面上的三点( 2
13、,1)A，B( 1,3)，(3,4)C，求点 D的坐标，使得四个点构成平行四边形的四个顶点。变 式9： 已 知 四 点(5,1)A，B(3, 4)，(1,3)C，(5,3)D，求证：四边形ABCD是梯形。 在 平 行 四 边 形ABCD 中 ，( 6, 7)ADu uu r，(2,3)ABuuu r，若ABCD的对称中心为E，则CEu uu r的坐标为 ( ) 已知四边形ABCD 是正方形， BE/AC，AC=CE ，EC的延长线交 BA的延长线于F，证明： AF=AE 。已知四边形ABCD 是正方形， P为对角线BD上的一点，四边形 PECF是矩形，用向量的方法证明PA=EF 。考点七：线段
14、的定比分点1. 定义：设12,pp是直线l上两点，点P是l上不同于12,pp的任意一点，则存在一个实数，使12p pppuuuu ruuur，叫做 P分有向线段12p puu uu r所成的比， P点叫做有向线段12p puu uu r的以定比为的定比分点。2. 线段的定比分点坐标公式：设 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）是平面内两个定点，点P0（x0，y0）分有向线段12PPuuu u r所成的比为，则有：11210210yyyxxx（1）而01012020 xxyyxxyy. 特别地，当点P0为内分点或者与点P1重合时，恒有0，当点 P为外分点时，恒有0（ 1）3.P 点位置与的取
15、值范围： （0p为12p p的中点）P 点位置21p p延长线上与1p重合10p p之间与0p重合02p p之间与2p重合12p p延长线上的范围10pp001pp11f不存在1p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页外分点内分点外分点例 10. 如果(1,1)P，(2,3)A，(8, 3)B， 且 C， D顺次为ABuuu r的三等分点，求PCuuu r和PDuuu r的坐标。变式 10：已知1(2,1)P，2(0,5)P，点 P 在12p p的延长线上，且122p pPPu uu uruuu r，求点 P 的坐标。例
16、 11：已知点(3,3)A，( 1,5)B，一次函数1ykx的图像与线段AB有公共点，求实数k的取值范围。变式 11：已知点(2,1)A，(3, 1)B及直线l：45yx，直线 AB与l相交于 P点，求 P点分ABuuu r的比。定比分点专项练习一、选择题1.若点 P 分AB所成的比为53，则 A 分BP所成的比是（）A.83B.38C.38D.832.设 A、B、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为3、6、10，则点 A 分BC所得的比为（）A.43B.47C.73D.373.设 P1（2， 1） ，P2（0，5） ，P 在 P1P2延长线上，使|pp1|=2|2pp|，则点 P 的坐标为（）
17、A.（ 2， 11）B.（43，3）C.（32，3）D.（2， 7）4.已知 A（m， n)，B(m，n)，点 C 分AB的比为 2，那么点 C 的坐标为（）A.（ m，n) B.( 3m，3n) C.(3m， 3n) D.(m，n) 5.已知 A（ 1， 1） ，B（ 0，1） ，则下列各点在直线AB 上的是（）A.（0，3）B.（1， 1）C.（2，4）D.（2，5）6.已知 P（4， 9） ，Q（ 2， 3） ，y 轴与线段 PQ 的交点为M，则 M 分PQ所成的比为（）A.31B.21C.2 D.3 二、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
18、- - - -第 6 页，共 7 页7.点 M（ 2，1）关于点N（ 3， 5）的对称点坐标是. 8.ABC 的顶点分别是A（7， 5） ，B（x，2） ，C（ 5，y） ，重心为G（2，1） ，则 x= ，y= . 9.已知 A（ 1， 2） ，B（4，8） ，C（5，x）三点共线，则点C 分有向线段AB所成的比 = ，x= . 10.已知两点 P1（3， 5） ，P2（ 1， 2） ，在 P1P2的延长线上有一点P，使得 |PP1|=15， 则 P 点坐标为. 11.已知 ABC 三个顶点为A（4，5） ，B（2， 1） ，C（7，2） ，M、N 分BA、AC所成的比均为1 2，则 SAM
19、NSABC= . 三、解答题12.已知 A（ 1， 4） ，B（5，2） ，线段 AB 上的三等分点依次为P1、P2，求 P1、P2点的坐标 . 13.已知 A（5， 1） ，B（ 1，7） ，C（1，2） ，求 ABC 中， A 的平分线AD 的长 . 14.已知两点 P1（1，3） ，P2（ 2，6） ，求直线P1P2上满足 |PP1|=2|2PP|的点 P 的坐标 . 答案一、 1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 二、 7.（ 8，9）8.4 6 9. 6 10 10.（ 9， 4）11.2 9 三、 12.解：由题意， P1分AB所成的比1=21设 P1（x1，y1)，则
20、x1=2115211=1 y1=2112214=2，即P1（1， 2）P2分AB所成的比2=2，设 P2（x2，y2）则 x2=21521=3，y2=211224=0 即 P2（3，0） . 13.解： |AB|=22)71()15(=10，|AC|=5，由题意|DCBDACAB=2，则 D 分BC所成的比=2，设 D（x， y)，则 x=21121=31，y=21227=311，即 D（31，311） ， |AD|=22)3111()315(=3142. 14.解：设 P（x，y）由题意PP1=22PP或PP1=22PP，则 P 分21PP所成的比 =2 或 2 若 =2，则 x=21)2(21=1，y=21623=5，此时点P 的坐标为（ 1，5）若 2，则 x=21)2() 2(1=5，y=216)2(3=9，即 P(5，9） .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页