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1、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 回顾：回顾：1.什么是平面向量基本定理？2.什么是向量的夹角？夹角的范围是多少？夹角为多少度时两向量垂直？第1页/共17页导入：光滑斜面上一个木块受到重力的作用，如图，它的效果等价于和的合力效果，即叫做把重力分解.第2页/共17页 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.正交分解时向量分解中常见的一种情形.第3页/共17页思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？第4页/共17页思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C
2、(3,4),D(5,7).设 ，填空：（1）（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：115（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话，如何表示？表示出来？可以的话，如何表示？3547第5页/共17页探究探究:平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 00，180180 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作 a，b，如图如图.为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角.你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？的夹
3、角的取值范围应如何约定为宜？baabA AB BO O第6页/共17页思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则，则称称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab.互相垂直互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？一组基底？ba第7页/共17页思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解.如图，向如图，向量量i、j是两个互相垂直的单位向量，向是两个互相垂直的单位向量，向量量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且|a|=4|=4，以向量，以向量i、
4、j为基底，向量为基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P第8页/共17页思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，作为基底，对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数定理知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj.我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向）叫做向量量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上的坐标，轴上的坐
5、标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示.那么那么x x、y y的的几何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y第9页/共17页平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示第10页/共17页OxyA 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序实数对唯一表示.第11页/共17页 例1 如图，分别用基底 ，表示向量 、，并求出它们的坐标。AA1A2第12页/共17页解：如图可知同理，第13页/共17页总结：总结：1.正交分解的概念2.向量的坐标标示第14页/共17页小结作业小结作业 1.1.平面向量基本定理是建立在向量加
6、平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点一个承前起后的重要知识点.2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是00或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是90.90.第15页/共17页 3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意标的对应关系，它使得向量具有代数意义义.将向量的起点平移到坐标原点，则平将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标移后向量的终点坐标就是向量的坐标.作业：作业：P102P102习题习题2.3B2.3B组：组：3 3，4.4.第16页/共17页