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1、精选优质文档-倾情为你奉上河 北 科 技 师 范 学 院河北科技师范学院装订线系（部）班 级学 号姓 名2009 2010学年第二学期 07级数学与应用数学专业 实变函数 试卷（A）卷及答案题 号一二三四合计得 分阅卷人 得 分阅卷人得 分阅卷人一、 判断题（每题2分，共20分）1.若是的真子集，则必有。 （）2.必有比小的基数。 （）3.一个点不是的聚点必不是的内点。 （）4.无限个开集的交必是开集。 （）5.若，则。 （）6.任何集都有外测度。 （）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （）8.可测集的所有子集都可测。 （）9.若在可测集上可测，则在的任意子集上也可测。（） 10.在
2、上可积必积分存在。 （）专心-专注-专业得 分阅卷人二、填空题（每空2分，共20分）1.设是中无理数集，则 。2.设，则 ， 。3.设，则 ， 。4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 得分阅卷人5.设是上的集，则 。6.设是闭集，是开集，则是 闭 集。7.闭区间 上的有界函数可积的充要条件是 是上的几乎处处的连续函数 。8. 函数是 可积也是 可积的。三、计算题（每题10分，共20分）1.计算。（提示：使用Lebesgue控制收敛定理）解：设，则（1） 因在上连续，所以是可测的；（2）；（3）因为显然在上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有2. 设试计算。解：因为有理
3、数集的测度为零，所以 于， 于。于是 得分阅卷人四、证明题（每题8分，共40分）1. 证明：证明： = 2. 设是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。3. 证明：若，则为可测集。证明：对任意点集，显然成立着 。另一方面，因为，而，所以，于是。又因为，所以，从而 。总之，。故是可测集。 4. 可测集上的函数为可测函数充分必要条件是对任何有理数，集合是可测集。5. 证明区间上的任何单调函数为有界变差函数，并求全变差。