2022年完整word版,概率论与数理统计复习资料要点总结 .pdf

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1、1 概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1事件的关系ABABAABBABA2运算规则（1）BAABABBA（2）)()()()(BCACABCBACBA（3）)()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA3概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP（2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P（5）)(1)(APAP（6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）)()()()()()()()(AB

2、CPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP若nBBB,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性：BA,独立)()()(BPAPABP（注意独立性的应用）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页2 第二章随机变量与

3、概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，iipxXP)(满足（ 1）0ip， （2）iip=1 （3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2 连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（ 1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(； （3）对任意Ra，0)(aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pBpXP)1(，pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2, 1 ,0,)(，npnpqPoisson分布)(P,2, 1 ,0,!)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1,)(1kpqkX

4、Pkp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(，2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24 分布函数)()(xXPxF，具有以下性质（1）1)(,0)(FF； （2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6） 对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数， 且在)(xf连续点上，)()(xfxF5 正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布) 1 , 0(N的分布函数，则有（1）5.0)0(； （2）)(1)(xx； （3）

5、若),(2NX，则)()(xxF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页3 （4）以u记标准正态分布)1 ,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP6 随机变量的函数)(XgY（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（ 2 ）X连 续 ，)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 ， 且 有 一 阶 连 续 导 数 ， 则|)(|)()(11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章随机变量的数字特征1期望(1) 离散时iiipxXE)(，iiipxgXgE)()(；(2) 连续时dxxxfX

6、E)()(，dxxfxgXgE)()()(；(3) 二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(，dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(； （5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX ,独立时，)()()(YEXEXYE2方差（1）方差222)()()()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX ,独立时，)()()(YDXDYXD3协方差（1）)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),(),(YXabCovb

7、YaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX ,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页4 4相关系数)()(),(YXYXCovXY；有1|XY，1)(,1|baXYPbaXY5k阶原点矩)(kkXE，k阶中心矩kkXEXE)(第五章大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式2)(|)(|XDXEXP或2)(1|)(|XDXEX

8、P2大数定律3中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE， 则),(21nnNXnii近似， 或),(121nNXnnii近似或)0,1(1NnnXnii近似，（ 2） 设m是n次 独 立 重 复 试 验 中A发 生 的 次 数 ，pAP)(， 则 对 任 意x， 有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX，则),(npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值niiXnX11（)(XE，nXD2)(） ；样本方差niiXXn

9、S122)(11（22)(SE）样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(12统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(2222212nXXXn，其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1 , 0(N，若)(),(2212nYnX且独立，则)(212nnYX；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页5 （2）t分布)(/ntnYXt，其中)(),1 ,0(2nYNX且独立；（3）F分布),(/

10、2121nnFnYnXF，其中)(),(2212nYnX且独立，有下面的性质),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布（1）)/,(2nNX；（2）)()(11222nXnii；（3）)1() 1(222nSn且与X独立；（4）)1(/ntnSXt；（5）)2()()(21212121nntnnnnSYXt，2) 1()1(212222112nnSnSnS（6）)1, 1(/2122222121nnFSSF第七章参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数； （2）求

11、对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （4）令导数或偏导数为 0， 解出极大似然估计 （如无解回到 （1）直接求最大值， 一般为 minix或 maxix）3估计量的评选原则(1)无偏性：若)?(E，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间2已知nxu/2nux2未知nsxt/)1(2nsntx2未知222)1(sn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页6 复习资料一、填空题（15 分）题型一：概

12、率分布的考察【相关公式】 （P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（ E）方差（ D）（ 01）分布01p1(1),0,1kkP Xkppkp(1)pp二项分布101np(1),0,1,kn knP Xkppkknnp(1)npp负二项分布101rp1(1)1,1,rkrkP Xkpprkr rrp2(1)rpp几何分布01p1(1)1,2,kPXkppk1p21pp超几何分布,()()N M aMNnN,max0,min ,MNMknkP XkNkknNMkn M为整数nMN11nMMNnNNN泊松分布0!0,1,2,keP Xkkk均匀分布ab1,axbba( )f x0,其他2ab2

13、()12ba【相关例题】1、设( , )XU a b:，()2E X，1()3D Z，则求 a，b 的值。21( , ),()2,(),3()12,21231,3.XU a b E XD XabbaababQ:解：根据性质：解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页7 2、已知( ,),()0.5,()0.45Xb n pE XD X:,则求 n，p 的值。0.5,(1)0.450.1.npnppp解：由题意得：解得：题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】 （P163）2/2,1-/XnXzn为已知 由枢轴

14、量，得到的一个置信水平为的置信区间：【相关例题】1、（样本容量已知）1225( ,0.81),5,0.99XNXXXX已知总体为样本 且则 的置信度的置信区间为：/20.0250.9550.18 1.964.6472,5.35285Xzzn解：代入公式得：2、（样本容量未知）123( ,1),0.9510.88,18.92.nXNXXXX:已知为样本容量 若关于的置信度的置信区间，求样本容量2227.847.843.9224.XzXzznnnnn解：由题意知：样本长度为，则有：代入数据，得：题型三：方差的性质【相关公式】 （P103）21( )0,2()(),()()3,()()( )D CC

15、D CXC D XD XCD XCX YD XYD XD Y为常数。， 为常数。相互独立【相关例题】1、12121212(2,4),(0,9),(2).XXXUXNXXD XX:已知，两变量，且相互独立求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 44 页8 1221212(2,4),(0,9)()1(2)()4()4936123XUXbaD XXD XD XQ:解：题型四：2t分布、分布的定义【相关公式】 （P140、P138）21232222122221(0,1),( ),/.2,(0,1),.nnXYnX YXtYnnttt

16、nXXXXNXXXnn:设且相互独立，则称随机变量服从自由度为的 分布，记为设是来自总体的样本 则称统计量服从自由度为的分布 记为【相关例题】1、2(0,1),(4),/XXYX YYn:若且相互独立？(4)/XtYn:答：2、302123301,0,1 ,?iiXXXXNX:若变量服从则30221(30).iiX:答：题型五：互不相容问题【相关公式】 （P4）,ABAB若则称事件与事件是互不相容的。【相关例题】1、()0.6,().P AA BP AB若互不相容求,()( ()()( )0.6A BABP ABP A SBP AABP AQ解：互不相容二、选择题（15 分）题型一：方差的性质

17、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页9 【相关公式】 （见上，略）【相关例题】 （见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】 （P105）【相关例题】(0,2),(3,9), ?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN答：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2 ,01xx设( )Xfx0,其他已知,P XaP Xaa则求 。2011212|0

18、2022aP XaP XaP XaaxdxxaaQ解：由题意，得：即有：又三、解答题（70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】?全概率公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页10 n1122SP()=|()|()()(|)( )=()(|) ( )(|).innESAEBAP A BP BP A BP BP A BP BP ABP B AP AP AP A B P BP A B P B12设实验的样本空间为， 为 的事件， B，B，B为 的划分，且0,则有：P? 其中有：。特别地：当

19、n 2时，有：?贝叶斯公式：i100(1,2, ),()(|)()(|)( )(|) ()=()(|) ( )(|)()(|) ( )(|) ()iiiiniijESAEAP BinP B AP A B P BP BAP AP A B P BP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P B12n设实验的样本空间为。 为 的事件 ,B ，B，B 为S的一个划分，且 P，则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供原件的份额1 0.02 0.15 2

20、0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。（见下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 44 页11 11223311121=(1,2,3).1()(|)()(|)()(|)()0.020.150.010.800.030.050.0125(2)(|)()0.020.15(|)0.24()0.0125(|ABiiB

21、P AP ABP BP A BP BP A BP BP A BP BP BAP AP BA解：设取到一只次品，在 厂取到产品且、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有：由贝叶斯公式有：22333(|)()0.010.80)0.64()0.0125(|) ()0.030.05(|)0.12( )0.0125P A BP BP AP A BP BP BAP A答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有m 枚正品硬币，n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽），在袋中任意取一枚，将他掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？=B=rP|,1=,(),(|),(|)1.2

22、1()(|)()2|.1()(|)()(|)()2rrrAA BmnP AP AP B AP B AmnmnmP ABP B A P AmnP A BmnP BP B A P AP B A P Amnmn解：设所抛掷的硬币是正品，抛掷 次都得到国徽，本题即求得：即有：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏 2%（这一事件记为A1） ，损坏 10% （这一事件记为A2） ，损坏 90% （这一事件记为A3） ，且知 P （A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3 件，发现这三件都是好的（这一事件记为B） ，12

23、3(|),(|),(|)()P AB P AB P AB试求这里物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。（见下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 44 页12 333123123112233333111(|)0.98 , (|)0.9 ,(|)0.1()0.8, ()0.15, ()0.05()(|) ()(|) ()(|) ()0.980.80.90.150.10.050.8624(|) ()0.983 0.8(|)0( )0.8624P B AP B AP B AP AP AP AP BP B A P

24、 AP B A P AP B A P AP B A P AP ABP B解：由题意可知：23.8731(|)0.1268(|)0.0001P ABP AB4、将 A、B、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出其他字母的概率都是（1-） /2.今将字母串AAAA 、 BBBB 、CCCC 之一输入信道， 输入 AAAA 、 BBBB 、 CCCC的概率分别为p1、p2、p3（p1+p2+p3=1 ） ，已知输出为ABCA 。问输入AAAA的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。）2233331232212231=AAAA=CCCC=ABCA|.()(|) ( )(|)

25、 ( )(|) ( )111()()()2221()()(|)( )2(|)11()()()()22ABBBBBCDP A DP DP D A P AP D B P BP D C P CppppP ADP D A P AP A DP DP Dp解：设输入为， = 输入为，输入为，输出为，依题意求3231111123111()2111(31)1()()(1)222pppppapppppp题型二： 1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】 已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x) 求分布函数抓住公式：( )1f x dx， 且对于任意实数， 有：212211

26、()()( )xP xXxF xF xf x dxx。【相关例题】（1）设随机变量X 的分布函数为：0,1xFX（X）= ln,1xxe1,xe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 44 页13 5(2)(03)(2)2P XPXPX求、( ).xfx求概率密度（见下）(1) (2)(2)ln 2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()XXXXXP XP XPXFFPXFFdFXdxx解：1,1xex( )xfx0,其他（2）2( )()1Af xxx，是确定常数A。200+1-1+(arcta

27、narctan11AdxxAxxA解：由相关性质得：解得：（3）,036xx设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342xx，求 X 的分布函数。0,其他解：0，x0 ,030 6xxdxx2,0312xx3 622,3403xxxx232,344xxx1,4x2、正态分布 (高斯分布 ) ( )F x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 44 页14 【相关公式】（1）公式22()21( )()2xf xex其中：,为常数，则称X服从参数为的正态分布。（2）若2=(0,1).xX NZN，则（3）相关概率运算公式：12

28、2112();()();( )1().XxxP XxPxxxxXP xXxPxx【相关例题】1、（ P58 27）某地区18 岁女青年的血压（收缩压：以mmHg 计）服从N（110,122） ，在该地任选一名18 岁女青年，测量她的血压X，求：（1）105,100120;P XPX（2）确定最小的,0.05xP Xx使2(1)(110,12 )110105 1105105()1(0.42)10.66280.3372;121212100 110110120 110101010100120()()2()10.5934121212121212110110(2) 111212XNXP XPXPXPXx

29、P XxP XxPQB解：min1101()0.0512110()0.95(1.65)121101.65129.812129.8xxxxxB即有：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数10.05,0.06的正态分布，规定长度在范围10.05 0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。（见下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 44 页15 .9.93 10.0510.0510.17 10.0510.05()( 22)2(2)10.95440.060.060.060.06( )1( )10.95440.0456AP

30、AXXP APPP AP A解：设一螺栓合格 ，本题求题型三：二维随机变量的题型【相关公式】+1( , )=( , )1-2( , )( )( )3(1):()( )( )()1(2):( )( )( )(3):( )XYxyXYXYXYXYYXf x y dxdyf x y dx dyf x yfxfyZXYfffzy fy dyfx fzx dxzZXYfzfx fdxxxYZfzX、二维随机变量的求法：、联合概率密度求法 :、随机变量的函数分布：( )()XYx fx fxz dx【注意点】讨论 x,y 取值范围。【相关例题】1、（ P84 3）设随机变量（X,Y ）的概率密度为：(6)

31、,02,24kxyxy( , )f x y0,其他(1).(2)X1,Y3.(3)X1.5.(4)4.kPPP XY确定常数求求求（见下）y x 0 4 4 2 y=4-x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 44 页16 22042441(6)6|10212022218311326208841.5127(3)6208324412(4)62083xkxy dx dykxxydyky dyxy dx dyxy dx dyyxy dx dy解：解得:k=由题意即求：由题意即求：由题意即求 ( 如图)：2、（ P86 18）设

32、X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间（ 0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为：21,02yey( )Yfy0,其他12XY.XYP求和 的联合概率密度.求X解：由题意的：的概率密度如下：1,0 x1 XfX0,其他2222121( , ),01,02( , )0,(2)111112|00022221yyyyxf x yexyf x yyedy dxeddxedxxxe其他由题意 , 即求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 44 页17 3、（ P87 25）设随机变量X，Y 相互独立，且具有相同的分布，它

33、们的概率密度均为1,1xex( )f x0，其他求 Z=X+Y 的概率密度。1122( , )( )()001(2).(2)1xxzXYXYzzfx yfx fzx dxeedxzedxezx解：4、（ P87 26）设随机变量X,Y 相互独立，它们的概率密度为,0 xex( )f x0，其他求 Z=Y/X 的概率密度。00(1)20000,0.0()()( )()( )()1.10()0.xzxxzxzxXZxYf Zfx fX x fY zx dxx fX x fY zx dxXxeedxxe edxxedxzxf ZZ解：由题意知:当时，当时,综上所述，的概率密度为：21,01zz( )

34、Zfz0,0z题型四：最大似然估计的求解【相关公式】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 44 页18 (1)( )0ln( )0220ln0(1,2,3, )iiddLLddiiLLik当只有一个变量的时候，有：或；当未知变量有 的时候，有：或【相关例题 】1、设概率密度为：,01xex( )f x0,其他求 的最大似然估计.$1111( )expln( )ln( )1( )0=.nnxniiiniiniinLexlLnxdnlxddldx解：令，即有：2、（ P174 8）123,nXXXX设,? 是来自概率密度为：1,

35、01xx( ;)f x0,其他的总体的样本，未知，求的最大似然估计。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 44 页19 $1111111( )( )ln( )ln1 lnln ( )lnln ( )=0=lnnnniiiniiniiniiLxxlLnxdnlxddldnx解：令，得：题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式 】000/202220221201/(2)(1)/(1)/21(1)1:(1)XZnXtt nsnXttnsnHnSnnSn:1、正态总体均值的假设检验标准差已知（ Z检验法）：标

36、准差未知（ t 检验法） :拒绝域为：、正态总体方差的假设检验当为真时，有：拒绝域为【相关例题 】1、（ P218 3）某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01 下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 44 页20 0120=0.013.25:3.253.252=0.013-3.2523.250.3442/0.013 /5:(1)0.005(4)4.6061, 4.60

37、61(4.6061,)0.34424.6061=0.01HxHxxSXtSnttnttHBQ00解：在显著性水平下检验问题：检验统计量，=3.25,n=5 。代入数据，得观察值：=拒绝域为即：接受在3.25.的情况下可以接受假设，这批矿砂的镍含量均值为2、 （ P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005，尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著偏大？0122222210.050=0.050.0050.0050.007,9,0.005(1)80.00715.680.005:(1)(8)1

38、5.50715.6815.507=0.05HHsnnStnHQ解：在显著水平下检验问题：检验统计量：代入数据，得观察值:拒绝域为拒绝在显著性水平下能认为这批导线的标准差显著性偏大。模拟试题一一、填空题（每空3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则 P(A|B) = P( A B) = 2、设事件A 与 B 独立， A 与 B 都不发生的概率为19， A 发生且 B 不发生的概率与B发生且 A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6 个同学，求他们之中恰好有4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任

39、何人的生日在同一个月份的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 44 页21 4、 已知随机变量X 的密度函数为：,0( )1/ 4,020,2xAexxxx, 则常数 A= , 分布函数F(x)= , 概率 0.51 PX；5、设随机变量X B(2 ，p)、Y B(1 ，p)，若15/ 9P X，则 p = ，若 X 与 Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设(200,0.01),(4),XBYP且 X 与 Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,XXXL是总体

40、(0,1)XN的简单随机样本，则当k时，12222345() (3)k XXYtXXX；8、设总体(0, )0XU为未知参数，12,nXXXL为其样本，11niiXXn为样本均值，则的矩估计量为：。9、设样本129,XXXL来自正态总体( ,1.44)N a，计算得样本观察值10 x，求参数a的置信度为95% 的置信区间：；二、计算题（35 分）1、 (12 分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02( )20,xxx其它求： 1）| 21|2PX；2）2YX的密度函数( )Yy；3）(21)EX；2、(12 分)设随机变量 (X,Y)的密度函数为1/ 4,|,02,( , )0,yxxx

41、 y其他1） 求边缘密度函数( ),( )XYxy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 44 页22 2） 问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3） 计算 Z = X + Y的密度函数( )Zz；3、 （11 分）设总体X 的概率密度函数为：1,0( ),000 xexxxX1,X2,Xn是取自总体X 的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量?；2）验证估计量?是否是参数的无偏估计量。三、应用题（20 分）1、 （10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ，1/5 ，1/

42、10和 2/5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4 ，1/3 ，1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2 （10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530 ， 0.542 ， 0.510 ， 0.495 ， 0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05)？附表：模拟试题二一、填空题 (45 分，每空3 分) 1设( )0.5,(|)0.6,()0.1,P AP BAP AB则( )P B()P A

43、B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 44 页23 2 设,A B C三事件相互独立，且()()()P AP BP C，若37()64P ABC，则()P A。3设一批产品有12 件，其中 2 件次品， 10 件正品，现从这批产品中任取3 件，若用X表示取出的3 件产品中的次品件数，则X的分布律为。4设连续型随机变量X的分布函数为( )arctan( ),F xABxxR则( ,)A B，X的密度函数( )x。5设随机变量 2,2XU，则随机变量112YX的密度函数( )Yy6设,X Y的分布律分别为X-1 0 1 Y0

44、1 P1/4 1/2 1/4 P1/2 1/2 且00P XY，则(,)X Y的联合分布律为。和1 P XY7 设(,) (0,25;0,36;0.4)X YN， 则cov(,)X Y，1(31)2DXY。8设1234(,)XXXX是总体(0,4)N的样本，则当a，b时，统计量221234(2)(34)Xa XXbXX服从自由度为2 的2分布。9 设12(,)nXXXK是 总 体2( ,)N a的 样 本 ， 则 当 常 数k时 ，221?()niikXX是参数2的无偏估计量。10 设由来自总体2( ,0.9 )XN a容量为9 的样本，得样本均值x=5 ，则参数a的置信度为 0.95 的置信

45、区间为。二、计算题 (27 分) 1(15 分)设二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 44 页24 1(),02,02( , )80,xyxyx y其它（1）求XY与的边缘密度函数( ),( )XYxy；（2）判断XY与是否独立？为什么？（3）求ZXY的密度函数( )Zz。2(12 分)设总体X的密度函数为(),( )0,xexxx其中0是未知参数，12(,)nXXXK为总体X的样本，求（1）参数的矩估计量1?；（2）的极大似然估计量2?。三、应用题与证明题(28 分) 1(12 分

46、)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3 件正品和3 件次品，乙箱中仅有 3 件正品，从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3 件产品中恰有 2 件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36 位考生的成绩，算得平均成绩66.5x分，标准差15s %分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分，并给出检验过程。3(8 分)设0()1P A，证明：AB与相互独立(|)(|)P BAP BA。附表：0.950.9750.950

47、.951.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt0.9750.975(35)2.0301,(36)2.0281,tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 44 页25 模拟试题三一、填空题（每题3 分，共 42 分）1设()0.3,()0.8,P AP AB若AB与互斥，则( )P B；AB与独立，则()P B；若AB，则()P AB。2在电路中电压超过额定值的概率为1p，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；3设随机变量X的密度为34,01(

48、)0,xxx其它，则使P XaP Xa成立的常数a；0.51.5PX；4如果(,)X Y的联合分布律为Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 则,应 满 足 的 条 件 是01,01,1/ 3， 若XY与独 立 ，(31)E XY。5设( ,)XB n p，且2.4,1.44,EXDX则n，p。6设2( ,)XN a，则32XY服从的分布为。7测量铝的比重16 次，得2.705,0.029xs， 设测量结果服从正态分布2( ,)N a，参数2,a未知，则铝的比重a的置信度为95% 的置信区间为。二、 （12 分）设连续型随机变量X 的密度为：,0( )0,0 xcexxx

49、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 44 页26 （1）求常数c；（2）求分布函数( )F x；（3）求21YX的密度( )Yy三、 （15 分）设二维连续型随机变量(,)X Y的联合密度为,01,0( , )0,cxyxx y其它（ 1）求常数c；（2）求XY与的边缘密度( ),( )XYxy；（ 3）问XY与是否独立？为什么？（ 4）求ZXY的密度( )Zz；（5）求(23 )DXY。（2） 参数的极大似然估计量2?；五、 （10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1 ，它们在一定时间内需要修理

50、的概率之比为1:2:3:1 ，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。六、 （10 分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2( ,)N a，得到的10个测定值给出0.452,0.037xs %，试问可否认为水份含量的方差20.04？四、 （11 分）设总体X 的密度为(1),01( )0,xxx其它其中1是未知参数，1(,)nXXK是来自总体X 的一个样本，求（1）参数的矩估计量1?；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 44 页27 （0.05）22220.9750.9750.950.95(10)2