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1、华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第六章第六章 共形映射共形映射共形映射的概念共形映射的概念分式线性映射分式线性映射几个常见区域间的分式线性映射几个常见区域间的分式线性映射几个初等函数所构成的映射华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of sci
2、ence and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 6.1 6.1 共形映射的概念共形映射的概念一、解析函数的导数的几何意义一、解析函数的导数的几何意义内内任任意意一一点点，是是内内解解析析，在在区区域域设设DzDzfw0)( 0)(0 zf的的几几何何意意义义：考考察察)(0zf 点点的的有有向向光光滑滑曲曲线线，平平面面内内一一条条过过是是设设0zzCC0z ttzzC)(:其其参参数数方方程程为为增增大大的的方方向向。其其正正向向为为 t)(,0)(000tzztz
3、 ),(0 tlz的的方方向向。的的正正向向为为割割线线zzl0华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方方向向相相同同。的的方方向向与与所所以以00ttzzl )()(00000tzttzzzztt 时时，当当Tl的的极极限限位位置置是是切切线线割割线线T C0zlz一致。一致。的方向与的方向与于是切线于是切线)(0tzT )(a
4、rg0tz 即即华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物uvo 0w C0zlz)(zfw ttzzC),(: ttzfw),(:角角为为：处处的的切切线线与与实实轴轴正正向向夹夹在在)(00zfw )()(arg)(arg000tzzftw )(arg)(arg00tzzf )(arg0zf华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变
5、换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物00000(1)arg(),arg()( )wCzfzfzwf zz像曲线在的切线方向可由曲线在处的切线旋转角度得到 称为在点转动角(导数辐角的几何意义);0(2)C(z转动角的大小、方向与过的曲线的形状无关转动角的不变性);上式表明：上式表明：于是 )(arg)(arg)(arg000tzzwzf的映射下，的映射下，在在)(zfw
6、 华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物12( )CCwf z12、经映射后,像曲线 、的夹角为:12 uvoxyo12121221(CCzxCC0设、在处切线与 轴正向夹角为 、 ，则、夹角 切线正向)为。12 12 )(arg()(arg(0102zfzf 华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课
7、程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物00,iizzrewwe令00( )()iiwwf z - f zezzz- zre00()isesr :取极限00|()|limzzfzs的几何意义：的几何意义：)(0zf 0zz0wwr 0称为曲线在z 点的伸缩率(导数模的几何意义)。s:( )wf z保角性在处具有保持两曲线夹角的大小、方向不变性。0z华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积
8、分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(1)保角性; (2)伸缩率不变性。20( )=z21 2w= f zzzi 例 求映射在转动角及伸缩率。00()|fzzC伸缩率的不变性:伸缩率|只与有关,而与过的曲线的形状无关。点点具具有有性性质质：在在则则映映射射内内解解析析，在在区区域域设设定定理理：000)(, 0)(,)(zzfwzfDzDzfw 哪一部分缩小？哪一部分缩小？平面的哪
9、一部分放大？平面的哪一部分放大？并说明映射将并说明映射将z华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( 12 )2( 121)4fiii ( )1 2arg42f zii 所以在转动角为,伸缩率为|4i|=4。:( )222(1)fzzz解22)2(222)(yxzzf 41)2(1)(22 yxzf而而大大。的的圆圆内内部部缩缩小小
10、，外外部部放放为为圆圆心心，半半径径为为把把以以所所以以，映映射射21242 zzzw华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义：定义：00)()()(zzfwzNzfw在在有有定定义义，若若在在某某设设 )(zfw 率率不不变变性性，则则称称处处具具有有保保角角性性和和保保伸伸缩缩处处是是保保角角的的；在在0z二、共形映射的概念
11、二、共形映射的概念则则称称之之为为映映射射，且且为为内内每每一一点点都都是是保保角角的的，在在若若1-1)(Dzfw 推论推论：处处是是保保角角的的。在在则则为为解解析析函函数数，若若若若000)(, 0)()(zzfDzzfzfw 共共形形映映射射。华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物共形映射中的两个基本问题：共形映射中的两个
12、基本问题：，平平面面上上的的区区域域及及已已知知共共形形映映射射Dzzfw)()1( *Dw平平面面上上的的相相应应区区域域求求，平平面面上上的的已已知知区区域域，使使它它将将求求一一共共形形映映射射Dzzfw)()2( *Dw平平面面上上的的指指定定区区域域映映射射成成华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物221?w= zzyx
13、xwz例 试求在映射下,平面上的直线及的像曲线.在这两条曲线的交点处是否具有保角性旋转角、伸缩率是多少,w=u ivzx iy 解:令2222()2w=zu ivx iyxyxyi则变为:即222uxyvxy 1:zCyxw平面上直线在平面上的像曲线是120:2uvy平面上的上半虚轴。平面上的上半虚轴。W华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有
14、一个活的生物2:1:zCx 平面上直线在平面上的像曲线是w平面上的一条抛物线2w=z1C2C0z0 xy0uvi 2 yvyu21:22)1(42uv 即即华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物011,yxxzi 与的交点为0041122(1)2 20izizidwziedz 200012 22w= zzizwi 映射在交点处是保
15、角的,且旋转角为,4伸缩率为,的像= 。华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1. 分式线性映射及其分解分式线性映射及其分解 2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质6.2 分式线性映射及其性质 共形性共形性保圆性保圆性保对称性保对称性 3. 确定分式线性映射的条件确定分式线性映射的条件华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变
16、换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物形形如如)0( bcaddczbazw.射射的的映映射射称称为为分分式式线线性性映映为为复复常常数数。、其其中中dcba,. 0 bcad).(0常常数数复复否否则则cww 2)(dczbcadw :定定义义数数在在整整个个扩扩充充平平面面上上有有补补充充定定义义使使分分式式线线性性函函 zcacdzwc/0，时时当当一一. 分式线
17、性映射及其分解分式线性映射及其分解.0 wzc时时，定定义义，在在时时当当华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,1cadczcadbc ,0时时当当 cdczbazw , ,逆逆映映射射仍仍为为分分式式线线性性则则映映射射其其映映射射. .- -为为11dczbazw 所所以以)()()(dczcadbccadczcadadba
18、zcw 1, dcz令令 ,dbzdaw ,0时时当当 c0)( bcadacwbdwz华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物称称为为反反演演映映射射。zwkhkzw1)2()0()1( 因此，分式线性映射可分解为因此，分式线性映射可分解为.称称为为线线性性映映射射华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教
19、案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)0(1 khkzw线线性性映映射射、hzwk ,1时时当当xyoozhzw hzw hzuv平平移移映映射射。)(x)(y 21hyvhxu于于是是21ihhhiyxzivuw 设设)(z)(w称为称为华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and tec
20、hnology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoozkzw kzw :)0(的的映映射射过过程程 khkzwuv。最最后后平平移移向向量量倍倍或或缩缩短短伸伸长长再再将将旋旋转转先先将将hrzz,)(|, 则则设设时时当当,0 irekkzwh zrewi 称称为为时时,1zewri 称称为为时时,0rzw 旋旋转转映映射射相相似似映映射射)(x)(y华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of scienc
21、e and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyouvohkzw 面面上上另另一一个个三三角角形形。平平下下可可得得在在映映射射平平面面上上的的三三角角形形对对于于例例如如，whkzwz ,不不改改变变图图形形的的形形状状显显然然，映映射射)0( khkzw华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把
22、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物zw12 反反演演映映射射、:对对称称点点的的作作法法对对称称。关关于于圆圆周周和和则则称称且且出出发发的的射射线线上上在在由由圆圆心心圆圆外外点点及及若若圆圆内内点点的的圆圆周周半半径径为为是是以以原原点点为为中中心心设设CBAROBOAOBARC,|,2 OBANRC。关关于于圆圆周周的的对对称称点点为为圆圆心心规规定定 O:关关于于圆圆周周的的对对称称点点华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and
23、 technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物zwwwzw1,:111 分分解解为为将将点点。是是关关于于单单位位圆圆周周的的对对称称与与所所以以由由于于11, 1|wzwz :1,1的的几几何何作作法法作作出出点点则则得得到到由由关关于于实实轴轴对对称称与与再再根根据据zwzww )(ux)(vyozw1w iierwwerzw 11111 irez 设设 irez 则则华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china univers
24、ity of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质.,性性质质出出一一般般分分式式线线性性映映射射的的从从而而得得性性质质先先讨讨论论以以上上两两种种映映射射的的共共形形性性)1(zw1 对对于于映映射射0;011 wzwzzwzw)0(012 zzw.10是是保保角角的的时时，所所以以，当当zwz 由于由于因此因此1wz 在在 扩充复平面上是一一的映射扩充复平面上是一一的映射。华东理工大学华东理工大学复变函数
25、与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物处处的的像像曲曲线线的的夹夹角角下下在在映映射射处处曲曲线线的的夹夹角角等等于于它它们们规规定定：01 zi) )(zfw 将将z映成映成)(0 ww当当时，作时，作,1z若若)1(fw 在在0处是保角的，则称处是保角的，则称)(zfw 在在z处是保角的；处是保角的；即有即有将将ii) )(zfw )(0 zz映成映成w当当
26、时，作时，作,1w若若)(1zf在在0zz 处是保角的，则称处是保角的，则称)(zfw 在在0zz 处是保角的；处是保角的；华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物iii) )(zfw z映成映成w当当时，作时，作,1,1zw若若)1(1f在在0处是保角的，则称处是保角的，则称)(zfw 在在z处是保角的。处是保角的。将将华东理工大
27、学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物时时，当当 z.01点点是是保保角角的的在在 zw.1点点是是保保角角的的在在 zzw.1点点是是保保角角的的在在 wwz.01点点是是保保角角的的在在即即 zzw.1映映射射在在扩扩充充复复平平面面上上为为共共形形所所以以，zw )01( w解解析析，且且华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变
28、函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物:类似方法可推得类似方法可推得:于于是是，有有以以下下结结论论性质性质1.平平面面上上共共形形映映射射分分式式线线性性映映射射是是扩扩充充复复.)0(是是共共形形映映射射在在扩扩充充复复平平面面上上线线性性映映射射 khkzwwz1,1 .0点的保角性点的保角性在在 hk华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案
29、课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物保保圆圆性性)2(.,伸伸缩缩的的合合成成映映射射旋旋转转是是平平移移因因为为bazw .,即即具具有有保保圆圆性性圆圆周周映映射射成成在在扩扩充充复复平平面面上上把把圆圆周周所所以以，bazw 平平面面上上的的圆圆周周平平面面上上的的圆圆周周所所以以，wCzbazwLwlzbazw平平面面上上的的直直线线平平面面上上的的直直线线 我们规定：我们规定： 直线是
30、半径为无穷大的圆周直线是半径为无穷大的圆周。华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物30 ,1zw 对对于于,1ivuzwiyxz 令令2222yxyvyxxu 2222vuvyvuux 或或得得代代入入将将zwiyxz1 0)(:22 dcybxyxaC圆圆周周0,0/1/1 zwzwzzzw/1 ？代入圆的方程得代入圆的方程得华
31、东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0)(:22 dcybxyxaC圆圆周周 圆圆周周圆圆周周Cda0,.圆圆性性因因此此，反反演演映映射射具具有有保保 圆圆周周直直线线Cda0, 0 直直线线圆圆周周Cda0, 0 直直线线直直线线Cda0, 00)(:221 acvbuvudzw所以，所以，0)(:22 acvbuvud华东理
32、工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,即即具具有有保保圆圆性性平平面面上上的的圆圆周周成成扩扩充充平平面面上上圆圆周周映映射射分分式式线线性性映映射射将将扩扩充充wz性质性质2综上所述我们有：综上所述我们有：那么它就映射那么它就映射半径为有限的圆周，半径为有限的圆周，如果有一点映射成无穷远点，如果有一点映射成无穷远点，那那么它就映射
33、成直线。么它就映射成直线。在分式线性映射下，在分式线性映射下，如果给定的如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点，圆周或直线上没有点映射成无穷远点，华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3 3 保对称性保对称性首先我们来阐明关于圆周的对称点的一个重要特性，首先我们来阐明关于圆周的对称点的一个重要特性，即即12,z z是关于圆周是
34、关于圆周C的对称点的充要条件是通过的对称点的充要条件是通过12,z z的任何圆周的任何圆周L与与C正交正交事实上，如果事实上，如果C是一条直线结论显然成立。是一条直线结论显然成立。0:|,CzzR如果如果 0z z 2z 1zCL当当L为过为过12,z z的直线时，的直线时，则则L一定通过圆心一定通过圆心0,z因此因此C与与L正交。正交。当当L为半径有限的为半径有限的圆周时，圆周时， 由点由点0z作作L的切线，的切线，,z 切点为切点为因此由平面解析几因此由平面解析几何知识得何知识得华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china univers
35、ity of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2202010|zzzzzzR 因此因此z 在圆周在圆周C上，上，L的切线为的切线为C半径，半径，即即C与与L正交。正交。反过来，反过来，设设L是过是过12,z z的与的与C正交的任意圆周，正交的任意圆周，那么特别连接那么特别连接12,z z的直线必与的直线必与C正交，正交，因此必通过因此必通过C的圆心，的圆心，如果如果L是半径为有限的圆周，是半径为有限的圆周，那么那么L与与C在交点在交点z 处正交，处
36、正交， 因此因此C的半径的半径0z z 为为L的切线，的切线，所以有所以有2220100| |zzzzzzR 因此因此12,z z为关于圆周为关于圆周C的对称点。的对称点。因此因此z 在圆周在圆周C上，上， 0z z 2z 1zCL华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理3 3L设设12,z z是关于圆周是关于圆周C的对称点
37、，的对称点， 则在分式线性则在分式线性映射下，映射下， 它们的像它们的像12,w w一定是关于一定是关于C的像曲线的像曲线称点。称点。的对的对映射的这种性质称为映射的这种性质称为保对称性保对称性。证证设通过设通过12,w w的任意圆周为的任意圆周为L 是经过是经过12,z z的的圆周圆周C 由分式线性映射过来的，由分式线性映射过来的，所所由于由于C与与C 正交，正交，以以L与与L 正交，正交，( (保角性）的对称点。的对称点。因此因此12,w w是关于圆周是关于圆周L华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of s
38、cience and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物的的条条件件唯唯一一确确定定分分式式线线性性映映射射三三、这这个个映映射射为为可可以以证证明明、分分别别映映射射为为、线线性性映映射射把把则则存存在在唯唯一一分分式式、的的点点平平面面上上也也给给定定三三个个不不同同扩扩充充在在、平平面面上上给给定定三三个个不不同同点点扩扩充充在在定定理理,.321321321321wwwzzzwwwwzzzz231321231321:zzzzzzzzwwwwwwww 称之为对应点公式
39、称之为对应点公式华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)3 , 2 , 1(),3 , 2 , 1()3 , 2 , 1(),0( kdczbazwkwkzbcaddczbazwkkkkk即即依依次次将将设设证明证明)2 , 1( ,)()( kdczdczbcadzzwwkkk因因而而有有)()()()()()(12212211
40、21dczdczzzzzbcadzzdczdczdczdczbcadzzwwww )2 , 1( ,)()(333 kdczdczbcadzzwwkkk华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(:1231321231321zzzzzzzzwwwwwwww故故23132313zzzzwwww 同同理理)()(12dczdcz 注：注
41、： （1 1） 式式(1)(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。是三对点所确定的唯一的一个映射。 ).(,)1()2(321ratiocrosswwww 的的交交比比个个点点左左端端的的式式子子通通常常称称为为四四式式所求分式线性映射所求分式线性映射因此，式因此，式(1)(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。说明分式线性映射具有保交比不变性。等等使使公公式式简简化化。利利用用一一些些特特殊殊点点（如如在在实实际际应应用用时时，常常常常会会), 0)3( zz华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of scien
42、ce and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物。的的项项换换为为中中含含有有则则只只需需将将对对应应点点公公式式中中有有一一个个为为或或如如果果1,)2( kkwz则则它它可可表表示示为为有有是是一一分分式式线线性性映映射射，且且推推论论：若若,)()()(2211wzfwzfzfw 为为复复常常数数）kzzzzkwwww(2121 21, 0 ww特特别别地地，若若为为复复常常数数）则则有有kzzzzkw(21 华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变
43、换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例的的分分式式线线性性映映射射。映映射射为为求求把把 321321, 1, 01, 1wwwzizz由由对对应应点点公公式式，有有iizzww 111:111:10由此得：由此得：izziww 1211为为所所求求分分式式线线性性映映射射。zziw 11解：解：华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East c
44、hina university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物;,)(,)1(00的内部的内部为为的内部映射的内部映射则则内部内部在在内部内部在在若若CCCzfCz ;,)(,00的的外外部部为为的的内内部部映映射射则则外外部部在在内内部部在在若若CCCzfCz 的外部。的外部。射为射为的内部映的内部映否则否则的内部的内部的内部映射为的内部映射为则则同同绕向相绕向相依依与与依依若若CCCCwwwCzzzC ,)2(321321确定对应区域确
45、定对应区域的两个方法：的两个方法：.)(的的外外部部的的内内部部，就就是是映映射射成成的的内内部部，不不是是映映射射为为周周，圆圆映映射射为为圆圆周周下下，将将圆圆周周在在分分式式线线性性映映射射CCCCCzfw 定理定理华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物?,2, 11什什么么区区域域下下映映成成在在映映射射圆圆弧弧所所围围区
46、区域域的的二二半半径径为为与与中中心心分分别别在在izizwzz 例例解解 wizwizii0,交交点点且且互互相相正正交交与与两两圆圆弧弧的的交交点点为为.2角角形形区区域域的的为为顶顶点点张张角角为为映映射射后后的的区区域域是是以以原原点点 22)21()21(121 iwCz取取)(第第三三象象限限角角分分线线上上的的点点华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实
47、我的猜测没有错：表里边有一个活的生物43 第第二二象象限限的的分分角角线线由由保保角角性性 22CC第第三三象象限限的的分分角角线线 11CCxy(z)1-1i-i2c1c12 oizizw 2c1cuv(w)o华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物上半平面上半平面单位圆内部单位圆内部单位圆内部单位圆内部单位圆内部单位圆内部 6.
48、3 6.3 常见的分式线性映射常见的分式线性映射上半平面上半平面上半平面上半平面华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,实实轴轴必必将将实实轴轴故故也也为为实实数数均均为为实实数数时时当当 wdczbazwdcbakkk.0)Im(0)Im(的的分分式式线线性性映映射射求求将将 wz例例解解,),3 , 2 , 1( ,即即实实
49、轴轴上上的的点点设设 kRzdczbazwk,)0(0)(2实实轴轴变变成成实实轴轴是是同同向向的的即即时时为为实实数数且且当当又又 bcadzdczbcadw.,平平面面上上半半平平面面上上半半因因此此wz华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0)Im(0)Im(, 0, wzdczbazwbcaddcba将将分分式式映映射射线
50、线性性且且均均为为实实数数时时即即，当当uv(w)2w1w3w2z1z3zxy(z)华东理工大学华东理工大学复变函数与积分变换复变函数与积分变换课程教案课程教案East china university of science and technology我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0)Im(0)Im( zz也也将将具具有有这这一一形形式式的的映映射射平面平面下半下半平面平面上半上半将将为实数为实数其中其中wzwzbcaddcbadczbazw0)Im(0)Im(0, .,:1323211