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1、第六章第六章 共形映射共形映射6.2 共形映射的基本问题共形映射的基本问题6.1 共形映射的概念共形映射的概念6.3 分式线性分式线性映射映射6.4 几个初等函数构成的几个初等函数构成的共形映射共形映射16.1 共形映射的概念共形映射的概念 一、一、伸缩率与旋转角伸缩率与旋转角 二、二、导数的几何意义导数的几何意义 三三、共形映射共形映射 2(平均伸缩率平均伸缩率)一、一、伸缩率与旋转角伸缩率与旋转角 1.伸缩率伸缩率 映射后，映射后，可以看出，曲线被伸缩和旋转。可以看出，曲线被伸缩和旋转。如图，过如图，过 点的曲线点的曲线 经经 定义定义 称称 为曲线为曲线 经经 映射后映射后 在在 点的点
2、的伸缩率伸缩率。变成了过变成了过 点的曲线点的曲线 3切线切线 定义定义 称称 为曲线为曲线 经经 映射后映射后 在在 点的点的旋转角旋转角。2.旋转角旋转角 一、一、伸缩率与旋转角伸缩率与旋转角 如图，过如图，过 点的曲线点的曲线 经经 映射后，变成了过映射后，变成了过 点的曲线点的曲线 可以看出，曲线被伸缩和旋转。可以看出，曲线被伸缩和旋转。切线切线 这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化局部变化特征。特征。4二、二、导数的几何意义导数的几何意义 设函数设函数 在区域在区域 D 内内解析解析，且且 分析分析 由由有有 切线切线 切线切线 5二、二、
3、导数的几何意义导数的几何意义 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，且且 分析分析 1.导数的导数的几何意义几何意义 为曲线为曲线 在在 点的点的伸缩率伸缩率。为曲线为曲线 在在 点的点的旋转角旋转角。切线切线 切线切线 6切线切线 切线切线 二、二、导数的几何意义导数的几何意义 2.伸缩率不变性伸缩率不变性 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 3.旋转角不变性旋转角不变性 伸缩率均为伸缩率均为 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 旋转角均为旋转角均为 即即 72.伸缩率不变性伸缩率不变性 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 二、二、导数的几何意义
4、导数的几何意义 切线切线 切线切线 3.旋转角不变性旋转角不变性 伸缩率均为伸缩率均为 任何一条经过任何一条经过 点的曲线的点的曲线的 旋转角均为旋转角均为 4.保角性保角性 由由 即即 保持了两条曲线的交角的保持了两条曲线的交角的大小大小与与方向方向不变。不变。即即 (保保大小大小,保保方向方向)8三三、共形映射共形映射 1.第一类第一类保角映射保角映射 定义定义 若函数若函数 在区域在区域 D 内满足：内满足：(2)伸缩率不变性，伸缩率不变性，(1)保角性保角性,(保保大小大小,保保方向方向)；则称函数则称函数 为区域为区域 D 内的内的 第一类保角映射第一类保角映射。且且 若函数若函数
5、在区域在区域 D 内内解析解析，结论结论 则函数则函数 为为 区域区域 D 内的内的第一类保角映射第一类保角映射。P138定义定义 6.1 P138定理定理 6.1 9(1)在在 点，点，因此，函数因此，函数 在在 处处 其伸缩率为其伸缩率为 2，旋转角为，旋转角为 (2)在在 点，点，因此，函数的保角性不成立。因此，函数的保角性不成立。的伸缩率不变，且具有保角性，的伸缩率不变，且具有保角性，解解 函数函数 在复平面上处处解析，且在复平面上处处解析，且 P137 例例6.1 求函数求函数和和例例处的导数值，处的导数值，在在并说明其几何意义。并说明其几何意义。三三、共形映射共形映射 1.第一类第
6、一类保角映射保角映射 2.第二类第二类保角映射保角映射 定义定义 若函数若函数 在区域在区域 D 内满足：内满足：则称函数则称函数 为区域为区域 D 内的内的 第二类保角映射第二类保角映射。(2)伸缩率不变性，伸缩率不变性，(1)能保持两条曲线的交角的能保持两条曲线的交角的大小大小 不变，但不变，但方向方向相反；相反；P138定义定义 6.1 (2)伸缩率不变性，伸缩率不变性，(1)保角性保角性,(保保大小大小,保保方向方向)；函数函数例例在复平面上是第二类保角映射。在复平面上是第二类保角映射。11三三、共形映射共形映射 1.第一类第一类保角映射保角映射 2.第二类第二类保角映射保角映射 3.
7、共形映射共形映射 若函数若函数 为区域为区域 D 内的内的第一类保角映射第一类保角映射，定义定义 则称则称 为区域为区域 D 内内 时，时，的的共形映射共形映射。关键关键 要求函数还必须是要求函数还必须是一一一映射一映射(即即双方单值双方单值)。且当且当 P138定义定义 6.2 (2)伸缩率不变性，伸缩率不变性，(1)保角性保角性,(保保大小大小,保保方向方向)；12因此，它在整个复平面上因此，它在整个复平面上是第一类保角映射是第一类保角映射。可见，它可见，它不是双方单值的不是双方单值的，(2)令令 解解 (1)由于由于 在复平面上处处解析，且在复平面上处处解析，且 则则 则则 (3)如果设
8、区域如果设区域 是双方单值的是双方单值的，则它在区域则它在区域 D 内内 因此，它不是共形映射。因此，它不是共形映射。因此，它是区域因此，它是区域 D 内共形映射。内共形映射。令令 P139 例例6.3 求函数求函数例例是否为共形映射？是否为共形映射？136.2 共形映射的基本问题共形映射的基本问题 一、一、问题一问题一 二、二、问题二问题二(基本问题基本问题)14一、一、问题一问题一 的函数的函数 求象集合求象集合 对于给定的区域对于给定的区域 D 和定义在区域和定义在区域 D 上上 1.保域性定理保域性定理 定理定理 设函数设函数 在区域在区域 D 内内解析解析，且不恒为常数，且不恒为常数
9、，则其象集合则其象集合 仍然为区域。仍然为区域。意义意义 保域性定理将解析函数的保域性定理将解析函数的象集合的求解问题象集合的求解问题变成了变成了 求象区域的问题求象区域的问题。P140定理定理 6.2 15一、一、问题一问题一 2.边界对应原理边界对应原理 定理定理 设区域设区域 D 的边界为简单闭曲线的边界为简单闭曲线 C，函数，函数 在闭域在闭域 上上解析解析，且将曲线，且将曲线 C 双方单值双方单值地映射为简单地映射为简单 闭曲线闭曲线 当当 沿沿 C 的正向绕行时，相应的的正向绕行时，相应的 的绕行的绕行 方向定为方向定为 的正向，的正向，并令并令 G 是以是以 为边界的区域，则为边
10、界的区域，则 将将 D 共形映射为共形映射为 G。P140定理定理 6.3 意义意义 边界对应原理进一步将解析函数的边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题象区域的求解问题 变成了变成了求象曲线求象曲线的问题。的问题。16一、一、问题一问题一 3.求象区域的一般步骤求象区域的一般步骤 则有则有 设函数设函数 在闭域在闭域 上上解析解析，且为，且为一一映射一一映射。(1)令令 (A)(B)(2)求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 (3)求象区域求象区域.方法一方法一 沿边界沿边界 C 的正向找三点，考察象点的走向。的正向找三点，考察象点的走向。方法二方法二 在区域在区域 D 的内部
11、找一点，考察象点的位置。的内部找一点，考察象点的位置。注意注意 对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。(即将即将(B)代入曲线代入曲线C的方程化简的方程化简)17(1)由由 有有 解解 则有则有 令令 已知函数已知函数区域区域例例如图所示，如图所示，求象区域求象区域18(1)解解 (2)求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 由由(1)式式 即得象曲线即得象曲线 的方程为的方程为 曲线曲线 C 的方程为的方程为 已知函数已知函数区域区域例例如图所示，如图所示，求象区域求象区域19(1)解解 (2)求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 (3)求
12、象区域求象区域.代入函数代入函数 在在 D 的内部取一点的内部取一点 方法一方法一 得到象点得到象点 故象区域故象区域 G 在曲线在曲线 的的“内部内部”。已知函数已知函数区域区域例例如图所示，如图所示，求象区域求象区域20(1)解解 (2)求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 (3)求象区域求象区域.在在 D 的边界上取三点：的边界上取三点：方法二方法二 故象区域故象区域 G 在曲线在曲线 的的“内部内部”。已知函数已知函数区域区域例例如图所示，如图所示，求象区域求象区域21解解 设区域设区域 D 的边界为的边界为 C，其中其中 则则 C 的方程为的方程为 曲线曲线 C 对应的对应的
13、其中其中 象曲线象曲线 的方程为的方程为 即得象区域即得象区域 G 如图所示。如图所示。(2)在在 的映射下，的映射下，设区域设区域例例求它在下列映射下的象区域求它在下列映射下的象区域22二、二、问题二问题二(基本问题基本问题)对给定的区域对给定的区域 D 和和 G，求共形映射，求共形映射 使使 1.黎曼存在唯一性定理黎曼存在唯一性定理 设设 D 和和 G 是任意给的的两个是任意给的的两个单连域单连域，在它们各自的，在它们各自的边界边界 定理定理 上至少含有两个点上至少含有两个点，则则一定存在解析函数一定存在解析函数 将区将区 任意指定一点任意指定一点 和和 并任给一个实数并任给一个实数 要求函数要求函数 满足满足 且且 映射映射 的函数是的函数是唯一唯一的。的。则则 域域 D 双方单值双方单值地映射为地映射为 G。如果如果在区域在区域 D 和和 G 内内再分别再分别 P142定理定理 6.4 23对给定的单连域对给定的单连域 D,求共形映射，求共形映射，使得使得 D 映射为单位圆域。映射为单位圆域。二、二、问题二问题二(基本问题基本问题)对给定的区域对给定的区域 D 和和 G，求共形映射，求共形映射 使使 2.基本问题的基本问题的简化简化 事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共形映射。事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共形映射。记为记为 (实习实习)P139 24